- 612.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
典型高考数学试题解读与变式2018版
考点47 条件概率与二项的分布
【考纲要求】
了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;理解n次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单问题.
【命题规律】
条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查,在解答题中出现时难度较大.
【典型高考试题变式】
(一)二项分布
例1.【2017课标II】一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则 .
【答案】
【变式1】已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.
【答案】
【解析】由E(X)=np,D(X)=np(1-p),得解得.
【变式2】设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为________.
【答案】
【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,
由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,
则事件A恰好发生一次的概率为C××=.
(二)条件概率
例2.(2014·课标Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
【解析】设“一天的空气质量为优良”为事件A,“连续两天为优良”为事件AB,
则已知某天的空气质量为优良,随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A).
由条件概率可知,P(B|A)====0.8,故选A.
【名师点睛】计算条件概率有两种方法.
(1)利用定义P(B|A)=;
(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数,则P(B|A)=.
【变式1】先后掷骰子(骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x、y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x、y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【变式2】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( )
A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75
【答案】D
【解析】设目标被击中为事件B,目标被甲击中为事件A,
则由P(B)=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8,
得P(A|B)====0.75.
【数学思想】
(1)函数方程思想.
(2)转化与化归思想.
【温馨提示】
(1)条件概率的问题中:①事件A与事件B有时是相互独立事件,有时不是相互独立事件,要弄清P(AB)的求法.②当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=.
(2)注意二项分布满足的条件:学
①每次试验中,事件发生的概率是相同的.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.
【典例试题演练】
1.(黑龙江省大庆第一中学2014届高三下学期第二阶段考试数学(理)试题) 先后掷骰子(骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x、y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x、y中有偶数,且x≠y”,则概率P (B|A)=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】事件A为“为偶数”所包含的基本事件数有,,,,共18种,事件AB为“x、y中有偶数,且x≠y ,x+y为偶数”, 所包含的基本事件数有
,共6种,由条件概率计算公式可得P(B|A)=.
2. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】P(A)==,P(B)==,又A⊇B,则P(AB)=P(B)=,所以P(B|A)===.
3.()某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
【答案】A
4.【2017年第一次全国大联考(新课标卷Ⅱ)】甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛,每人限报其中一项,记事件“4名同学所报比赛各不相同”,事件“甲同学独报一项比赛”,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,故选A.
5. 某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;命中次数为X,得分为Y,则E(X),D(Y)分别为( )
A.0.6,60 B.3,12 C.3,120 D.3,1.2
【答案】C
【解析】X~B(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2.D(Y)=100D(X
)=120,故选C.
6.若ξ~B(n,p),且=6,=3,则P(ξ=1)的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】np=6,npq=3,∴q=,p=1-q=,n=12.∴p(ξ=1)=C·=3·2-10,故选C.
7. 设随机变量X服从正态分布N(3,4),若P(X<2a-3)=P(X>a+2),则a=( )
A.3 B. C.5 D.
【答案】D
【解析】因为X服从正态分布N(3,4),P(X<2a-3)=P(X>a+2).所以2a-3+a+2=6,a=.
8. 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
9. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.
【答案】5
【解析】由E(X)=np,D(X)=np(1-p),得解得p=.
10. 甲袋中有2个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中随机地取出一球,则取出的球是白球的概率是________.
【答案】
【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”,B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”.
所以P(A)=,P(A)=,P(B|A)=,P(B|A)=.
P (B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=×+×=.
11. 如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.
【答案】
【解析】依题意得,P(A)==,P(AB)==,则由条件概率的意义可知,P(B|A)==.
12. 【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品,测量这些产品的某项技术指标值,得到的频率分布直方图如图.
(1)估计该技术指标值平均数;
(2)在直方图的技术指标值分组中,以落入各区间的频率作为取该区间值的频率,若,则产品不合格,现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测,记不合格产品的个数为,求的数学期望.
【解析】(1) ,
(2)由频率分布直方图可知,
所以,所以
13. 【2017江西师大附中、临川一中联考】某理 考生参加自主招生面试,从7道题中(4道理 题3道文 题)不放回地依次任取3道作答.学+
(1)求该考生在第一次抽到理 题的条件下,第二次和第三次均抽到文 题的概率;
(2)规定理 考生需作答两道理 题和一道文 题,该考生答对理 题的概率均为,答对文 题的概率均为,若每题答对得10分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文),求其所得总分的分布列与数学期望.
【解析】(1)记“该考生在第一次抽到理 题为事件A”,“该考生第二次和第三次均抽到文 题为事件B”,则,.
所以该考生在第一次抽到理 题的条件下,第二次和第三次抽到文 题的概率为.
(2)的可能取值为0,10,20,30,则,
,
,
.
所以的分布列为
0
10
20
30
所以,的数学期望.
14. 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队总得分.
(1)求随机变量的分布列及其数学期望E;
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
【解析】(1)的可能取值为0,1,2,3
;;
;,
所以的分布列为
0
1[ :学 ]
2
3
,
15. 【2017年第一次全国大联考(山东卷)】某社区为丰富居民节日活动,组织了“迎新春”象棋大赛,已知由1,2,3号三位男性选手和4,5号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮,设三位男性选手在一至三轮胜出的概率依次是;两名女性选手在一至三轮胜出的概率依次是.
(1)若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛,每名选手只比赛一局,共五局比赛,求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率;
(2)若一位男性选手因身体不适退出比赛,剩余四人参加个人比赛,比赛结果相互不影响,设表示该组选手在四轮中胜出的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】(1)记两名女性选手比赛次序恰好不相邻为事件A,则五人不同的比赛次序为种,
事件A对应的比赛次序为种,所以.
(2)男性选手在三轮中胜出的概率为;两名女性选手在三轮中胜出的概率为.由题意可知男性选手三轮中胜出的人数;
女性选手三轮比赛中胜出的人数,显然. 所以可取.
.
..
.. 学
所以的分布列为
0
1
2
3
4
[
所以.
另,.