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  • 2021-06-16 发布

【数学】北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)试题(解析版)

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北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)‎ 数学试题 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.集合的子集个数为( )‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,‎ ‎∴集合A的子集个数为个,‎ 故选:D.‎ ‎2.函数的定义域为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,得或.‎ ‎∴函数的定义域为.‎ 故选:C.‎ ‎3.下列函数中,最小正周期为的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的最小正周期为,故排除A;‎ 由函数的最小正周期为,故排除B;‎ 由函数的最小正周期为,故排除C;‎ 由正切函数的最小正周期的公式,可得函数的最小正周期为,故D满足条件,‎ 故选:D.‎ ‎4.已知数列的前n项和,则( )‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由数列的前n项和,‎ 当时,,‎ 则.‎ 故选:B.‎ ‎5.设,为非零向量,则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】,为非零向量,‎ ‎“”展开为:‎ ‎∴“”是“”的充要条件.‎ 故选:C.‎ ‎6.已知抛物线M:的焦点与双曲线N:的一个焦点重合,则( )‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点坐标为,‎ 双曲线的方程为,,,则.‎ 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,‎ 所以,即.‎ 故选:D.‎ ‎7.已知函数,则( )‎ A. 是奇函数,且在定义域上是增函数 B. 是奇函数,且在定义域上是减函数 C. 是偶函数,且在区间上是增函数 D. 是偶函数,且在区间上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,函数,则有,解可得,‎ 即的定义域为;‎ 设任意,,则函数为奇函数;‎ ‎,其导数,‎ 在区间上,,则为上的减函数;‎ 故选:B.‎ ‎8.如图所示,一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形,俯视图为等腰直角三角形,则该棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为三棱锥体.如图所示:‎ 所以:,由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形,‎ 所以,所以.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.在中,,,,则边上的高等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中,,,,‎ 由余弦定理可得:,‎ 可得,‎ 设边上的高为h,则,‎ 即,解得:.‎ 故选:B.‎ ‎10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为a,b,c(,且a,b,);选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是( )‎ A. 每场比赛的第一名得分a为4‎ B. 甲至少有一场比赛获得第二名 C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名 ‎【答案】C ‎【解析】∵甲最后得分为16分,‎ ‎∴,‎ 接下来以乙为主要研究对象,‎ ‎①若乙得分名次为:1场第一名,3场第二名,则,则,而,则,‎ 又,,此时不合题意;‎ ‎②若乙得分名次为:1场第一名,2场第二名,1场第三名,则,则,‎ 由,且a,b,可知,此时没有符合该不等式的解,不合题意;‎ ‎③若乙得分名次为:1场第一名,1场第二名,2场第三名,则,则,‎ 由,且a,b,可知,此时没有符合该不等式的解,不合题意;‎ ‎④若乙得分名次为:1场第一名,3场第三名,则,此时显然,,‎ 则甲的得分情况为3场第一名,1场第三名,共分,‎ 乙的得分情况为1场第一名,3场第三名,共分,‎ 丙的得分情况为4场第二名,则,即,此时符合题意.‎ 综上分析可知,乙在四场比赛中没有获得过第二名.‎ 故选:C.‎ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.已知复数,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵复数,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎12.已知直线的倾斜角为,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的斜率,‎ ‎∴直线的倾斜角.∴.‎ 故答案:.‎ ‎13.已知双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可知离心率 由双曲线的焦点在x轴上,渐近线方程为:‎ 故答案为: .‎ ‎14.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十,即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;地支有十二,即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表:‎ 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ‎…‎ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ‎…‎ 干支 纪年 甲子年 乙丑年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 ‎…‎ ‎2049年是新中国成立100周年.这一百年,中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法,2049年是己巳年,则2059年是______年;使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.‎ ‎【答案】 (1). 己卯 (2). 60.‎ ‎【解析】根据题意,天干有十,即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,‎ 地支有十二,即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥;‎ 其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉,甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳,…,‎ 若2049年是己巳年,则2059年是己卯年;‎ 天干是以10为公差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,‎ 则天干地支共有60种组合,即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年;‎ 故答案为:己卯,60.‎ ‎15.已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论:‎ ‎①“水滴”图形与y轴相交,最高点记为A,则点A的坐标为;‎ ‎②在集合P中任取一点M,则M到原点的距离的最大值为3;‎ ‎③阴影部分与y轴相交,最高点和最低点分别记为C,D,则;‎ ‎④白色“水滴”图形的面积是.‎ 其中正确的有______.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】对于①中,方程中,‎ 令,得,‎ 所以,其中,所以,所以,‎ 解得;‎ 所以点,点,点,点,所以①错误;‎ 对于②中,由,设,‎ 则点M到原点的距离为 ‎,‎ 当时,,d取得最大值为3,所以②正确;‎ 对于③中,由①知最高点为,最低点为,‎ 所以,③正确;‎ 对于④中,“水滴”图形是由一个等腰三角形,两个全等的弓形,和一个半圆组成;‎ 计算它的面积是,‎ 所以④正确;‎ 综上知,正确的命题序号是②③④.‎ 故答案为:②③④.‎ 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图,四边形为正方形,,,,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明:因为,,所以,‎ 因为,,‎ 所以平面.‎ ‎(2)解:因为平面,平面,平面,‎ 所以,.‎ 因为四边形为正方形,所以.‎ 如图建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ ‎,,.‎ 设平面的法向量为,‎ 则,即 令,则,.于是.‎ 平面的法向量为.‎ 设直线与平面所成的角为,所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎17.已知等差数列的前n项和为,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若等比数列满足,且公比为q,从①;②;③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列的前n项和.‎ 解:(Ⅰ)设等差数列公差为d,又因为,且,所以,故,‎ 所以;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,又,所以.‎ 若选择条件①,可得,‎ ‎;‎ 若选择条件②,可得,‎ ‎;‎ 若选择条件③,可得,‎ ‎.‎ ‎18.为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如下:‎ ‎(Ⅰ)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率;‎ ‎(Ⅱ)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导,记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S,现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,可得基本事件总数为.‎ 参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所,随机选择2所学校共种,‎ 所以 ‎(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.‎ ‎,,.‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ ‎(Ⅲ)答案不唯一.‎ 答案示例1:可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下:‎ 指导前,甲同学总考核为“优”的概率为:.‎ 指导前,甲同学总考核为“优”的概率非常小,一旦发生,就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ 答案示例2:无法确定.理由如下:‎ 指导前,甲同学总考核为“优”的概率为:.‎ 虽然概率非常小,但是也可能发生,所以,无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,;‎ ‎(Ⅲ)当时,若曲线在曲线的上方,求实数a的取值范围.‎ ‎(Ⅰ)解:因为,定义域,所以.令,解得.‎ 随x的变化,和的情况如下:‎ x ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 由表可知函数在时取得极大值,无极小值;‎ ‎(Ⅱ)证明:令(),‎ 由得,于是,故函数是上的增函数.‎ 所以当时,,即;‎ ‎(Ⅲ)解:当时,由(Ⅱ)知,满足题意.‎ 令,.‎ 当时,若,,‎ 则在上是减函数.‎ 所以时,,不合题意.‎ 当时,,则在上是减函数,所以,不合题意.‎ 综上所述,实数a的取值范围.‎ ‎20.已知椭圆C:()经过,两点.O为坐标原点,且的面积为.过点且斜率为k()的直线l与椭圆C有两个不同的交点M,N,且直线,分别与y轴交于点S,T.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求直线l的斜率k的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)设,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)因为椭圆C:经过点,‎ 所以解得.‎ 由的面积为可知,,‎ 解得,‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线l方程为,,.‎ 联立,消y整理可得:.‎ 因为直线与椭圆有两个不同的交点,‎ 所以,解得.‎ 因为,所以k的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)因为,,,.‎ 所以直线的方程是:.‎ 令,解得.‎ 所以点S的坐标为.‎ 同理可得:点T的坐标为.‎ 所以,,.‎ 由,,‎ 可得:,,‎ 所以.‎ 同理.‎ 由(Ⅱ)得,,‎ 所以 所以的范围是.‎ ‎21.已知无穷集合A,B,且,,记,定义:满足时,则称集合A,B互为“完美加法补集”.‎ ‎(Ⅰ)已知集合,.判断2019和2020是否属于集合,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)设集合,.‎ ‎(ⅰ)求证:集合A,B互为“完美加法补集”;‎ ‎(ⅱ)记和分别表示集合A,B中不大于n()的元素个数,写出满足的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)‎ 解:(Ⅰ)由,得是奇数,‎ 当,时,,‎ 所以,;‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)首先证明:对于任意自然数p可表示为唯一一数组(,,,…,,…,),‎ 其中,1;,1,…,k,,‎ 使得,,1;,1,…,k,,‎ 由于这种形式的自然数p至多有个,且最大数不超过.‎ 由,1;,1,…,k,,每个都有两种可能,‎ 所以这种形式的自然数p共有个结果.‎ 下证 ‎,‎ 其中,1;,1;,1,…,k,,则.‎ 假设存在中,取i最大数为j,‎ 则 ‎,‎ 所以不可能.‎ 综上,任意正整数p可唯一表示为 显然,,‎ 满足,所以集合A,B互为“完美加法补集”.‎ ‎(ⅱ).‎