【数学】北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）试题（解析版） 17页

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）‎ 数学试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.集合的子集个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴集合A的子集个数为个，‎ 故选：D.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得或.‎ ‎∴函数的定义域为.‎ 故选：C.‎ ‎3.下列函数中，最小正周期为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的最小正周期为，故排除A；‎ 由函数的最小正周期为，故排除B；‎ 由函数的最小正周期为，故排除C；‎ 由正切函数的最小正周期的公式，可得函数的最小正周期为，故D满足条件，‎ 故选：D.‎ ‎4.已知数列的前n项和，则（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由数列的前n项和，‎ 当时，，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎5.设，为非零向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】，为非零向量，‎ ‎“”展开为：‎ ‎∴“”是“”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎6.已知抛物线M：的焦点与双曲线N：的一个焦点重合，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点坐标为，‎ 双曲线的方程为，，，则.‎ 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，‎ 所以，即.‎ 故选：D.‎ ‎7.已知函数，则（ ）‎ A. 是奇函数，且在定义域上是增函数 B. 是奇函数，且在定义域上是减函数 C. 是偶函数，且在区间上是增函数 D. 是偶函数，且在区间上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，函数，则有，解可得，‎ 即的定义域为；‎ 设任意，，则函数为奇函数；‎ ‎，其导数，‎ 在区间上，，则为上的减函数；‎ 故选：B.‎ ‎8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体.如图所示：‎ 所以：，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，‎ 所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎ ‎ ‎9.在中，，，，则边上的高等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，，，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 可得，‎ 设边上的高为h，则，‎ 即，解得：.‎ 故选：B.‎ ‎10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 每场比赛的第一名得分a为4‎ B. 甲至少有一场比赛获得第二名 C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名 ‎【答案】C ‎【解析】∵甲最后得分为16分，‎ ‎∴，‎ 接下来以乙为主要研究对象，‎ ‎①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，‎ 又，，此时不合题意；‎ ‎②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，‎ 由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；‎ ‎③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，‎ 由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；‎ ‎④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，‎ 则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，‎ 乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，‎ 丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意.‎ 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名.‎ 故选：C.‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.已知复数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵复数，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎12.已知直线的倾斜角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的斜率，‎ ‎∴直线的倾斜角.∴.‎ 故答案：.‎ ‎13.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可知离心率 由双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为：‎ 故答案为: .‎ ‎14.天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：‎ 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ‎…‎ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ‎…‎ 干支 纪年 甲子年 乙丑年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 ‎…‎ ‎2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.‎ ‎【答案】 (1). 己卯 (2). 60.‎ ‎【解析】根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，‎ 地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；‎ 其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，‎ 若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；‎ 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，‎ 则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；‎ 故答案为：己卯，60.‎ ‎15.已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：‎ ‎①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；‎ ‎②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；‎ ‎③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；‎ ‎④白色“水滴”图形的面积是.‎ 其中正确的有______.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】对于①中，方程中，‎ 令，得，‎ 所以，其中，所以，所以，‎ 解得；‎ 所以点，点，点，点，所以①错误；‎ 对于②中，由，设，‎ 则点M到原点的距离为 ‎，‎ 当时，，d取得最大值为3，所以②正确；‎ 对于③中，由①知最高点为，最低点为，‎ 所以，③正确；‎ 对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；‎ 计算它的面积是，‎ 所以④正确；‎ 综上知，正确的命题序号是②③④.‎ 故答案为：②③④.‎ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图，四边形为正方形，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎（1）证明：因为，，所以，‎ 因为，，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：因为平面，平面，平面，‎ 所以，.‎ 因为四边形为正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即 令，则，.于是.‎ 平面的法向量为.‎ 设直线与平面所成的角为，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎17.已知等差数列的前n项和为，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.‎ 解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，又因为，且，所以，故，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，又，所以.‎ 若选择条件①，可得，‎ ‎；‎ 若选择条件②，可得，‎ ‎；‎ 若选择条件③，可得，‎ ‎.‎ ‎18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：‎ ‎（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；‎ ‎（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.‎ 参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，‎ 所以 ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.‎ ‎，，.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ ‎（Ⅲ）答案不唯一.‎ 答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ 答案示例2：无法确定.理由如下：‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.‎ 虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）解：因为，定义域，所以.令，解得.‎ 随x的变化，和的情况如下：‎ x ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 由表可知函数在时取得极大值，无极小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：令（），‎ 由得，于是，故函数是上的增函数.‎ 所以当时，，即；‎ ‎（Ⅲ）解：当时，由（Ⅱ）知，满足题意.‎ 令，.‎ 当时，若，，‎ 则在上是减函数.‎ 所以时，，不合题意.‎ 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.‎ 综上所述，实数a的取值范围.‎ ‎20.已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，‎ 所以解得.‎ 由的面积为可知，，‎ 解得，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线l方程为，，.‎ 联立，消y整理可得：.‎ 因为直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 所以，解得.‎ 因为，所以k的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）因为，，，.‎ 所以直线的方程是：.‎ 令，解得.‎ 所以点S的坐标为.‎ 同理可得：点T的坐标为.‎ 所以，，.‎ 由，，‎ 可得：，，‎ 所以.‎ 同理.‎ 由（Ⅱ）得，，‎ 所以 所以的范围是.‎ ‎21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.‎ ‎（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设集合，.‎ ‎（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；‎ ‎（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）‎ 解：（Ⅰ）由，得是奇数，‎ 当，时，，‎ 所以，；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），‎ 其中，1；，1，…，k，，‎ 使得，，1；，1，…，k，，‎ 由于这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过.‎ 由，1；，1，…，k，，每个都有两种可能，‎ 所以这种形式的自然数p共有个结果.‎ 下证 ‎，‎ 其中，1；，1；，1，…，k，，则.‎ 假设存在中，取i最大数为j，‎ 则 ‎，‎ 所以不可能.‎ 综上，任意正整数p可唯一表示为 显然，，‎ 满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”.‎ ‎（ⅱ）.‎