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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)江苏专版5-2平面向量的基本定理及坐标表示学案

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第二节平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:‎ 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ λa=(λx1,λy1),|a|=.‎ ‎(2)向量坐标的求法:‎ ‎①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),‎ ‎||=.‎ ‎3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎[小题体验]‎ ‎1.已知M(3,-2),N(-5,2),且= ,则点P的坐标为________.‎ 解析:设P(x,y),则=(x-3,y+2),‎ 又=(-8,4)=(-4,2),‎ ‎∴解得故点P的坐标为(-1,0).‎ 答案:(-1,0)‎ ‎2.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.‎ 解析:因为a∥b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.‎ 答案:-6 ‎ ‎3.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若=5e1,=3e2,则 ‎=________.(用e1,e2表示)‎ 解析:在矩形ABCD中,因为O是对角线的交点,所以==(+)= (+)=(5e1+3e2)=e1+e2.‎ 答案:e1+e2‎ ‎1.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.‎ ‎2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.‎ 解析:设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),即解得故顶点D的坐标为(1,5).‎ 答案:(1,5)‎ ‎2.已知向量m=(λ-1,1),n=(λ-2,2),若m∥n,则λ=________,此时|n|=________.‎ 解析:由m∥n可得2(λ-1)=λ-2,解得λ=0,此时|n|==2.‎ 答案:0 2   ‎[题组练透]‎ ‎1.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为________.‎ 解析:以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系.‎ 由题图可得e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),‎ 因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),‎ 则解得故a=-2e1+e2.‎ 答案:a=-2e1+e2‎ ‎2.如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.‎ 解析:设=k,k∈R.‎ 因为=+=+k=+k(-)=+k=(1-k)+,‎ 又=m+,‎ 所以解得k=,m=.‎ 答案: ‎3.(易错题)如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.‎ 解:因为=-=a-b,‎ ==a-b,‎ 所以=+=a+b.‎ 因为=a+b,‎ 所以=+=+ ‎==a+b,‎ 所以=-=a+b-a-b=a-b.‎ 综上,=a+b,=a+b,=a-b.‎ ‎[谨记通法]‎ 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.‎ ‎(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.‎   ‎[题组练透]‎ ‎1.已知向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b=________.‎ 解析:由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)=(-3,4).‎ 答案:(-3,4)‎ ‎2.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为________.‎ 解析:=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),‎ 设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),‎ 所以即故N(2,0).‎ 答案:(2,0)‎ ‎3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,‎ ‎(1)求3a+b-3c;‎ ‎(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(3)求M,N的坐标及向量的坐标.‎ 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).‎ ‎(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)‎ ‎=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).‎ ‎(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),‎ 所以 解得 ‎(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,‎ 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).‎ 所以M(0,20).‎ 又因为=-=-2b,‎ 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),‎ 所以N(9,2),所以=(9,-18).‎ ‎[谨记通法]‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.‎ ‎(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.‎   ‎[典例引领]‎ 已知O为坐标原点,向量=(3,-4),=(5,-3),=(4-m,m+2).‎ ‎(1)若D,求证:对任意实数m,都有∥;‎ ‎(2)若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足什么条件?‎ 解:(1) 证明:由题意,=-=(2,1),=-=.‎ 因为2-1·(m-4)=0,所以∥.‎ ‎(2)=-=(2,1),=-=(1-m,m+6).‎ 若点A,B,C能构成三角形,则A,B,C三点不共线.‎ 当A,B,C三点共线时,存在λ使=λ,即(2,1)=λ(1-m,m+6),‎ 得解得m=-.‎ 所以当m≠-时,点A,B,C能构成三角形.‎ ‎[由题悟法]‎ ‎1.平面向量共线的充要条件的2种形式 ‎(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.‎ ‎(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.‎ ‎2.共线问题解含参,列出方程求得解 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.‎ ‎[即时应用]‎ ‎1.(2018·海安期末)若A(2,3),B(3,2),C三点共线,则实数m的值为________.‎ 解析:∵A(2,3),B(3,2),C,‎ ‎∴=(1,-1),=,‎ 又∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴=,解得m=.‎ 答案: ‎2.(2018·苏州中学检测)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ=________.‎ 解析:因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),‎ 所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.‎ 答案:0‎ ‎3.(2019·连云港调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,x),若a∥b,则实数x=________.‎ 解析:由向量a=(1,2),b=(-2,x),且a∥b,‎ 可得x=-2×2=-4.‎ 答案:-4‎ 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 ‎1.(2019·南通检测)已知点A(-1,2),B(2,8).若=-,=,则的坐标为________.‎ 解析:∵A(-1,2),B(2,8),∴=(-3,-6),‎ 则=-=(1,2),==(2,4),‎ ‎∴=-=(2,4)-(1,2)=(1,2).‎ 答案:(1,2)‎ ‎2.(2018·南京学情调研)设向量a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b.若a∥c,则实数x的值是________.‎ 解析:因为a=(1,-4),b=(-1,x),所以c=a+3b=(-2,-4+3x).又a∥c,所以-4+3x-8=0,解得x=4.‎ 答案:4‎ ‎3.(2018·苏州中学测试)已知A(2,1),B(3,5),C(3,2),=+t (t∈R),若点P在第二象限,则实数t的取值范围是________.‎ 解析:设点P(x,y),则由=+t (t∈R),‎ 得(x-2,y-1)=(1,4)+t(1,1)=(1+t,4+t),‎ 所以解得 由点P在第二象限,得 所以-5<t<-3.‎ 答案:(-5,-3)‎ ‎4.(2018·苏州期末)已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),则m+n的值为________.‎ 解析:∵向量=(m,5),=(4,n),‎ ‎∴=-=(4-m,n-5),‎ 又=(7,6),∴解得m=-3,n=11,‎ ‎∴m+n=8.‎ 答案:8‎ ‎5.(2019·启东月考)已知向量a=,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为________.‎ 解析:a-2b=,2a+b=(16+x,x+1),‎ 由(a-2b)∥(2a+b),‎ 得(8-2x)(x+1)=(16+x),‎ 解得x=4(负值舍去).‎ 答案:4‎ ‎6.(2018·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别为x轴,y轴上一点,且AB=2,若点P(2,),则|++|的取值范围是________.‎ 解析:因为AB=2,所以AB的中点M在以原点为圆心,1为半径的圆上运动(如图所示),则|++|=|2+|,当M点为射线OP与圆的交点时,|2+|的最小值为7,当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时,|2+|的最大值为11,所以|++|的取值范围是[7,11].‎ 答案:[7,11]‎ 二保高考,全练题型做到高考达标 ‎1.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=________.‎ 解析:由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),‎ 所以解得所以c=(-23,-12).‎ 答案:(-23,-12)‎ ‎2.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,=λ+,则实数λ的值为________.‎ 解析:由题意知=(-3,0),=(0,),‎ 则=(-3λ,),‎ 由∠AOC=30°,知以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°,‎ 所以tan 150°=,即-=-,所以λ=1.‎ 答案:1‎ ‎3.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若=+λ (λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ=________.‎ 解析:设P(x,y),则由=+λ,得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ),所以x=5λ+4,y=7λ+5.又点P在直线x-2y=0上,故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ ‎=-.‎ 答案:- ‎4.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=________(用a,b表示).‎ 解析:如图,因为=a,=b,‎ 所以=+=+=a+b.‎ 因为E是OD的中点,‎ 所以=,‎ 所以|DF|=|AB|.所以==(-)=×=-=a-b,‎ 所以=+=a+b+a-b=a+b.‎ 答案:a+b ‎5.已知a,c是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2),|c|=2,且a∥c,则向量c=________.‎ 解析:设向量c=(x,y),因为a,c是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2),|c|=2,且a∥c,可得2x=y,并且x2+y2=20,解得x=2,y=4或x=-2,y=-4.所以c=(2,4)或c=(-2,-4).‎ 答案:(2,4)或(-2,-4)‎ ‎6.(2018·白蒲中学高三期末)若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.‎ 解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以即所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).‎ 答案:(0,2)‎ ‎7.(2018·溧水高级中学测试)如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是________.‎ 解析:由题意得,=k (k<0),又|k|=<1,所以-1<k<0.又因为B,A,D三点共线,所以=λ+(1-λ),所以m+n=kλ+k(1-λ),所以m=kλ,n=k(1-λ),所以m+n=k,从而m+n∈(-1,0).‎ 答案:(-1,0) ‎ ‎8.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.‎ 解析:以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),‎ 则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),‎ 所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).‎ 因为c=λa+μb,‎ 所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),‎ 即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,‎ 解得λ=-2,μ=-,所以=4.‎ 答案:4‎ ‎9.(2019·淮安一模)已知a=(1,0),b=(2,1).‎ ‎(1)当k为何值时,k a-b与a+2b共线;‎ ‎(2)若=2a+3b,=a+m b,且A,B,C三点共线,求m的值.‎ 解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),‎ a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).‎ ‎∵k a-b与a+2b共线,‎ ‎∴2(k-2)-(-1)×5=0,‎ 解得k=-.‎ ‎(2)∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴存在实数λ,使得=λ,‎ 即2a+3b=λ(a+mb)=λa+λmb,‎ 又a与b不共线,∴解得m=.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t),a∥.‎ ‎(1)若||=||,求向量的坐标;‎ ‎(2)求y=cos2θ-cos θ+t2的最小值.‎ 解:(1)因为=(cos θ-1,t),‎ 又a∥,所以2t-cos θ+1=0.‎ 所以cos θ=2t+1.①‎ 又因为||=||,所以(cos θ-1)2+t2=5.②‎ 由①②得,5t2=5,所以t2=1.所以t=±1.‎ 当t=1时,cos θ=3(舍去),当t=-1时,cos θ=-1,‎ 所以B(-1,-1),所以=(-1,-1).‎ ‎(2)由(1)可知t=,‎ 所以y=cos2θ-cos θ+=cos2θ-cos θ+=+= 2-,‎ 所以,当cos θ=时,ymin=-.‎ 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 ‎1.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足=(+),=+,则△APD的面积为________.‎ 解析:法一:取BC的中点E,连接AE,由于△ABC是边长为4的正三角形,则AE⊥BC,=(+),又=(+),所以点D是AE的中点,AD=.取=,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知=+=+.而△APD是直角三角形,‎ AF=,所以△APD的面积为××=.‎ 法二:以A为原点,以BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 因为等边三角形ABC的边长为4,‎ 所以B(-2,-2),C(2,-2),‎ 由题知=(+)=[(-2,-2)+(2,-2)]=(0,-),‎ =+=(0,-)+(4,0)=,‎ 所以△ADP的面积为S=||·||=××=.‎ 答案: ‎2.(2018·启东中学检测)在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ,使得=λ+(1-λ)成立,此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,则“向量关于和的终点共线分解系数”为________.‎ 解析:设=(x,y),则由∥a,知x+y=0,于是=(x,-x),设=λ+(1-λ),则有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即于是4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.‎ 答案:-1‎ ‎3.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;‎ ‎(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.‎ 解:(1)因为四边形OACB是平行四边形,‎ 所以=,即(a,0)=(2,2-b),‎ 解得 故a=2,b=2.‎ ‎(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),‎ 由A,B,C三点共线,得∥,‎ 所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以2(a+b)=ab≤2,‎ 即(a+b)2-8(a+b)≥0,‎ 解得a+b≥8或a+b≤0.‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以a+b≥8,‎ 即a+b的最小值是8.‎ 当且仅当a=b=4时,“=”成立.‎

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