2019届二轮（理科数学）知识拓展数列放缩技巧课件（24张）（全国通用） 24页

知识拓展:数列放缩技巧 内容简介 高考中利用放缩方法证明不等式 , 文科涉及较少 , 但理科却常常出现 ( 虽然数列在高考中已有所降温 ). 放缩法证明不等式有法可依 , 但具体到题 , 又常常没有定法 , 它综合性强 , 形式复杂 , 运算要求高 , 往往能考查考生思维的严密性、深刻性以及提取和处理信息的能力 , 较好地体现高考的甄别功能 . 放缩法是不等式证明中一种常用的方法 , 也是一种非常重要的方法 . 在证明过程中 , 适当地进行放缩 , 可以化繁为简、化难为易 , 达到事半功倍的效果 . 但放缩的范围较难把握 , 常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象 . 因此 , 使用放缩法时 , 如何确定放缩目标尤为重要 . 要想正确确定放缩目标 , 就必须根据欲证结论 , 抓住题目的特点 . 掌握放缩技巧 , 真正做到弄懂弄通 , 并且还要根据不同题目的类型 , 采用恰到好处的放缩方法 , 才能把题解活 , 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力 , 分析问题和解决问题的能力 . 在有些数列的题目中 , 要根据不等式的性质通过放缩 , 将问题化归为我们熟悉的内容进行求解 . 本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 . 1. 放缩法证明数列不等式的理论依据 —— 不等式的性质 (1) 传递性 : 若 a>b,b>c, 则 a>c( 此性质为放缩法的基础 , 即若要证明 a>c, 但无法直接证明 , 则可寻找一个中间量 b, 使得 a>b, 从而将问题转化为只需证明 b>c 即可 ). (2) 若 a>b,c>d, 则 a+c>b+d, 此性质可推广到多项求和 : 若 a 1 >f(1),a 2 >f(2),…,a n >f(n), 则 a 1 +a 2 +…+a n >f(1)+f(2)+…+f(n). (3) 若需要用到乘法 , 则对应性质为 : 若 a>b>0,c>d>0, 则 ac>bd, 此性质也可推广到多项连乘 , 但要求涉及的不等式两侧均为正数 . 注 : 这些性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 . ③错位相减 : 通项公式为“等差 × 等比”的形式 ; ④ 裂项相消 : 通项公式可拆成两个相邻项的差 , 且原数列的每一项裂项之后正负能够相消 , 进而在求和后式子中仅剩有限项 . (2) 与求和相关的不等式的放缩技巧 : ① 在数列中 ,“ 求和看通项” , 所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ; ②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向 , 这将决定对通项公式是放大还是缩小 ( 应与所证的不等号同方向 ); ③ 在放缩时 , 对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢 , 常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢 ; ④ 若放缩后求和发现放“过”了 , 即与所证矛盾 , 通常有两条道路选择 : 第一个方法是微调 : 看能否让数列中的一些项不动 , 其余项放缩 . 从而减小放缩的程度 , 使之符合所证不等式 ; 第二个方法就是推翻了原有放缩 , 重新进行设计 , 选择放缩程度更小的方式再进行尝试 . (3) 放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧 : ① 裂项相消 : 在放缩时 , 所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点 , 即作差的两项可视为同一数列的相邻两项 ( 或等距离间隔项 ); 注 : 此方法会存在风险 , 所猜出的等比数列未必能达到放缩效果 , 所以是否选择利用等比数列进行放缩 , 受数列通项公式的结构影响 . (4) 与数列中的项相关的不等式问题 : ① 此类问题往往从递推公式入手 , 若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ; 例题精讲 考点一 裂项放缩 【例2】 设数列{a n }为单调递增的等差数列,a 1 =1,且a 3 ,a 6 ,a 12 依次成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (1) 解 : 设 {a n } 的公差为 d, 由题得 =a 3 · a 12 . (a 1 +5d) 2 =(a 1 +2d) · (a 1 +11d), 解得 d=1, 所以 a n =n. 考点二 类等差 ( 比 ) 放缩 【 例 3】 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 满足 2S n =a n+1 -2 n+1 +1(n∈ N * ), 且 a 1 ,a 2 +5,a 3 成等差数列 . (1) 求 a 1 的值 ; (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . 解 : (1)2S n =a n+1 -2 n+1 +1,2S n+1 =a n+2 -2 n+2 +1 相减得 :a n+2 =3a n+1 +2 n+1 . 2S 1 =a 2 -3 ⇔ a 2 =2a 1 +3,a 3 =3a 2 +4=6a 1 +13, a 1 ,a 2 +5,a 3 成等差数列⇔ a 1 +a 3 =2(a 2 +5) ⇔ a 1 =1. (2)a 1 =1,a 2 =5 得 a n+1 =3a n +2 n 对∀ n∈ N * 均成立 ,a n+1 =3a n +2 n ⇔ a n+1 +2 n+1 =3(a n +2 n ) 得 :a n +2 n =3(a n-1 +2 n-1 )=3 2 (a n-2 +2 n-2 )= … =3 n-1 (a 1 +2) ⇔ a n =3 n -2 n . 点击进入 课时训练