2018届二轮复习（理）专题八　数学思想方法与高考数学文化(选用)第2讲课件（全国通用） 38页

第 2 讲　分类讨论思想、转化与化归思想 数学思想解读 1 . 分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时 ， 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 ， 然后对每一类分别研究 ， 给出每一类的结论 ， 最终综合各类结果得到整个问题的解答 . 实质上分类讨论就是 “ 化整为零 ， 各个击破 ， 再集零为整 ” 的数学思想 . 2 . 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时 ， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形 ， 也就是转化到另一种情境使问题得到解决 ， 这种转化是解决问题的有效策略 ， 同时也是获取成功的思维方式 . 热点一　分类讨论思想的应用 应用 1 　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 探究提高　 1. 指数函数、对数函数的单调性取决于底数 a ， 因此 ， 当底数 a 的大小不确定时 ，应分 0< a <1 ， a >1 两种情况讨论 . 2 . 利用等比数列的前 n 项和公式时 ， 若公比 q 的大小不确定 ， 应分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 两种情况进行讨论 ， 这是由等比数列的前 n 项和公式决定的 . 解析　 (1) 当 n ＝ 1 时 ， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 － 2 ， 解得 a 1 ＝ 2. 因为 S n ＝ 2 a n － 2 ， 当 n ≥ 2 时 ， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2 ， 两式相减得 ， a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ， 则数列 { a n } 为首项为 2 ， 公比为 2 的等比数列 ， 则 S 5 － S 4 ＝ a 5 ＝ 2 5 ＝ 32. 探究提高　 1. 圆锥曲线形状不确定时 ， 常按椭圆、双曲线来分类讨论 ， 求圆锥曲线的方程时 ， 常按焦点的位置不同来分类讨论 . 2 . 相关计算中 ， 涉及图形问题时 ， 也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论 . 应用 3 　由变量或参数引起的分类讨论 【例 3 】 (2017· 郑州质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)ln x － a ( x － 1). (1) 当 a ＝ 4 时，求曲线 y ＝ f ( x ) 在 (1 ， f (1)) 处的切线方程； (2) 若当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x )>0 ，求 a 的取值范围 . 探究提高　 1.(1) 参数的变化取值导致不同的结果 ， 需对参数进行讨论 ， 如含参数的方程、不等式、函数等 . (2) 解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率 k 存在或不存在 ， 涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论 . 2 . 分类讨论要标准明确、统一 ， 层次分明 ， 分类要做到 “ 不重不漏 ”. 【 训练 3 】 (2015· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ a (1 － x ). (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 当 f ( x ) 有最大值，且最大值大于 2 a － 2 时，求 a 的取值范围 . 热点二　转化与化归思想 应用 1 　特殊与一般的转化 探究提高 　 1. 一般问题特殊化 ，使问题处理变得直接、简单 . 特殊问题一般化 ， 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律 ， 从而达到成批处理问题的效果 . 2 . 对于某些选择题、填空题 ， 如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时 ， 可以把题中变化的量用特殊值代替 ， 即可得到答案 . 应用 2 　函数、方程、不等式之间的转化 【例 5 】 　已知函数 f ( x ) ＝ 3e | x | . 若存在实数 t ∈ [ － 1 ，＋ ∞ ) ，使得对任意的 x ∈ [1 ， m ] ， m ∈ Z 且 m >1 ，都有 f ( x ＋ t ) ≤ 3e x ，试求 m 的最大值 . 解 　 ∵ 当 t ∈ [ － 1 ，＋ ∞ ) 且 x ∈ [1 ， m ] 时， x ＋ t ≥ 0 ， ∴ f ( x ＋ t ) ≤ 3e x ⇔ e x ＋ t ≤ e x ⇔ t ≤ 1 ＋ ln x － x . ∴ 原命题等价转化为：存在实数 t ∈ [ － 1 ，＋ ∞ ) ，使得不等式 t ≤ 1 ＋ ln x － x 对任意 x ∈ [1 ， m ] 恒成立 . 令 h ( x ) ＝ 1 ＋ ln x － x (1 ≤ x ≤ m ). 探究提高　 1. 函数与方程、不等式联系密切 ， 解决方程、不等式的问题需要函数帮助 . 2 . 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助 ， 因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 ， 一般可将不等关系转化为最值 ( 值域 ) 问题 ， 从而求出参变量的范围 . 探究提高　 1. 第 (1) 题是正与反的转化 ， 由于不为单调函数有多种情况 ， 先求出其反面 ， 体现 “ 正难则反 ” 的原则 . 题目若出现多种成立的情形 ， 则不成立的情形相对很少 ， 从后面考虑较简单 ， 因此 ， 间接法多用于含有 “ 至多 ”“ 至少 ” 及否定性命题情形的问题中 . 2 . 第 (2) 题是把关于 x 的函数转化为在 [0 ， 4] 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题 . 在处理多变元的数学问题时 ， 我们可以选取其中的参数 ， 将其看作是 “ 主元 ” ，而把其它变元看作是参数 . 【 训练 6 】 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax － 1 ， g ( x ) ＝ f ′( x ) － ax － 5 ，其中 f ′( x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对满足－ 1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值，都有 g ( x )<0 ，则实数 x 的取值范围为 ________. 解析　 由题意 ， 知 g ( x ) ＝ 3 x 2 － ax ＋ 3 a － 5 ， 令 φ ( a ) ＝ (3 － x ) a ＋ 3 x 2 － 5 ， － 1 ≤ a ≤ 1. 对－ 1 ≤ a ≤ 1 ， 恒有 g ( x )<0 ， 即 φ ( a )<0 ， 1. 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解 ( 或分割 ) 成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 . 对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题 ( 或综合性问题 ) 分解为小问题 ( 或基础性问题 ) ，优化解题思想，降低问题难度 . 常见的分类讨论问题： (1) 集合：注意集合中空集 ∅ 讨论 . (2) 函数：对数函数或指数函数中的底数 a ，一般应分 a ＞ 1 和 0 ＜ a ＜ 1 的讨论，函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 有时候分 a ＝ 0 和 a ≠ 0 的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论 . (3) 数列：由 S n 求 a n 分 n ＝ 1 和 n ＞ 1 的讨论；等比数列中分公比 q ＝ 1 和 q ≠ 1 的讨论 . (4) 三角函数：角的象限及函数值范围的讨论 . (5) 不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论 . (6) 立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论 . (7) 平面解析几何：直线点斜式中 k 分存在和不存在，直线截距式中分 b ＝ 0 和 b ≠ 0 的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 . (8) 排列、组合、概率中的分类计数问题 . (9) 去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 . 2. 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法 . 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 .