【数学】2020届一轮复习人教B版复数代数形式的四则运算学案 8页

‎ 复数代数形式的四则运算 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。‎ ‎2. 会进行复数乘法和除法运算。‎ ‎3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用。‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、复数的加减运算 ‎1.复数的加法、减法运算法则：‎ 设，（），我们规定：‎ 要点诠释：‎ ‎（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，‎ 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．‎ ‎（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。‎ ‎2.复数的加法运算律:‎ 交换律：z1+z2=z2+z1‎ 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)‎ 要点二、复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式：‎ 代数形式：（）‎ 几何表示：‎ ‎①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；‎ ‎②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.‎ 要点诠释：‎ 复数复平面内的点平面向量 ‎2．复数加、减法的几何意义：‎ 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.‎ 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，‎ 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量 要点诠释：‎ 要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：‎ ‎（1）利用几何意义可以把几何图形的变     换转化成复数运算去处理 ‎（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。‎ 要点三、复数的乘除运算 ‎1．共轭复数：‎ 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。‎ 通常记复数的共轭复数为。‎ ‎2．乘法运算法则：‎ 设，（），我们规定：‎ 要点诠释：‎ ‎1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.‎ ‎2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。‎ ‎3．乘法运算律：‎ ‎(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 ‎ ‎ (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3‎ ‎ (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3‎ 要点四、复数运算的一些技巧：‎ ‎1. 的周期性：如果n∈N，则有：‎ ‎，，，（）‎ ‎2. ‎ ‎3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，‎ 即，其中z=x+yi（x，y∈R）．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、复数的加减运算 例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)‎ ‎ （2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)‎ ‎【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i ‎（2） 解法一：‎ 原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。‎ 解法二：‎ ‎(1―2i)―(2―3i)=―1+i，‎ ‎(3―4i)―(4―5i)=―1+i，‎ ‎……‎ ‎(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。‎ 将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。‎ ‎【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=―2―i，求,‎ ‎(2) 已知z1=(3x+y)+(y―4x)i，z2=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z1―z2， ‎ ‎【答案】‎ ‎ (1) z1+z2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i ‎(2) z1－z1=(3x+y)+(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)]i =‎ ‎(5x－3y)+(x+4y)i，‎ 类型二、复数的乘除运算 例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．‎ ‎【思路点拨】‎ 第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．‎ ‎(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；‎ 解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.‎ ‎(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)‎ ‎＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；‎ 解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.‎ ‎【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中 ‎(－2i)·4i＝8，而不是－8.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．‎ ‎【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题1】‎ ‎【变式2】计算：（1）；（2）；（3）‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2），‎ ‎（3）‎ ‎【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题2】‎ ‎【变式3】计算：（1) （2） .‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎（2）.‎ 例3.(2015 新课标Ⅰ)设复数满足，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意，不能出错。‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴1+z=i－zi ‎∴(1+i)z=i－1‎ ‎∴|z|=1‎ 故选A ‎【总结升华】1 先写成分式形式 ‎2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)‎ ‎3 化简成代数形式就得结果 举一反三：‎ ‎【变式1】复数等于（ ）．‎ A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i ‎【解析】 ，故选C．‎ ‎【变式2】 计算：（1）（2）‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2），‎ 类型三. 复数代数形式的四则运算 例4. 计算下列各式：‎ ‎（1）；（2）。‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）‎ ‎。‎ ‎（2）‎ ‎。‎ ‎【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3） ； ‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【变式2】计算：； ‎ ‎【答案】方法一：‎ 原式。‎ 方法二（技巧解法）：‎ 原式。‎ 考点4 共轭复数的有关计算 ‎【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】‎ 例5.，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.‎ ‎【思路点拨】先将的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果， ‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 【总结升华】以z、的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】(2018 上海)若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=________‎ ‎【答案】6‎ 复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，‎ 则 ‎＝(1＋2i)(1－2i)＋1‎ ‎＝1－4i2＋1‎ ‎＝2＋4‎ ‎＝6．‎ 故答案为：6‎ ‎【变式2】设z的共轭复数是，,，则＝ .‎ ‎【答案】设（），则，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，，‎ 当，时，；‎ 当，时，.‎ 故.‎ 类型四. 复数的几何意义 例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1）， ‎ ‎ C（―1，―2），求D点对应的复数。‎ ‎【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。‎ ‎【解析】‎ ‎ 解法一：设D（x，y），则。‎ ‎。‎ 因为，‎ ‎∴（x―1，y―2）=（1，―3），得。‎ ‎∴D点对应的复数为2―i。‎ 解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。‎ 设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得。‎ ‎∴D点对应的复数为2―i。‎ ‎【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若在复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为―4+6i，则对应的复数是____。‎ ‎【答案】‎ 由复数加减法的几何意义可得，其对应的复数为 。‎ ‎【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题4】‎ ‎【变式2】 已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？‎ ‎【答案】设，‎ 则 所以即（）.‎ 以为圆心，为半径的圆去掉原点和后剩下的部分.‎