【数学】2019届一轮复习人教B版 二项式定理 学案 8页

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用二项式定理求展开式中的特定项或指定项的系数 从近三年高考情况来看，二项式定理是高考的重点内容，主要考查二项展开式的通项，二项式系数，展开式的系数等知识，难度控制在中低档，以选择题、填空题的形式出现，解题时应熟练基本概念、基本运算，充分利用方程思想及等价转化思想.‎ ‎2017新课标全国Ⅰ6‎ ‎2017新课标全国Ⅲ 4 :学 XX ][ :学。 。 。X。X。 ]‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 14‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 10[ :学 ]‎ ‎★★★★★‎ 二项式系数和与各项的系数和问题 ‎2015新课标全国Ⅱ 15‎ ‎★★★★‎ 考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数 调研1 6的展开式中的常数项是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】二项式6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－rr＝，∴当r＝2时，Tr＋1是常数项，此时T3＝.学 ‎ 调研2 在的展开式中,含项的系数为 A．30 B．20‎ C．15 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为的展开式的通项为,所以的展开式中含项的系数为，故选C.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.‎ ‎2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求 ,再将 的值代回通项求解,注意 的取值范围（）.‎ ‎（1）第项：：此时 +1=m,直接代入通项.‎ ‎（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.‎ ‎（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.‎ 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数 调研1 已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝‎ A．－4 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ ‎【答案】D ‎【解析】展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D. 学 ‎ 调研2 （，且为常数）的展开式中，的系数为，则___________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】展开式中的系数为，则由，即，解得．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和 的取值范围及它们之间的大小关系．‎ 考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别 调研1 设,则 _________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】令x＝1可得,令x＝0可得,所以＝2. 学 ‎ 调研2 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是，则展开式中二项式系数最大的项为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知,第五项的系数为，第三项的系数为，则有，化简可得，解得(舍去).由知第5项二项式系数最大.此时.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－rbr.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x)n，各项的系数与二项式系数是相等的．‎ 考点4 二项式定理的综合应用 调研1 设，则二项式展开式中含项的系数是 A．80 B．640‎ C．−160 D．−40‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，,则二项式)5,即)5，故展开式的通项公式为，得，故展开式中含x2项的系数为，故选A.‎ 调研2 已知的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则该展开式中所有有理项的项数为 A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】C学 ‎ ‎【解析】由题意可知：，..‎ 要求该展开式中的有理项，只需令，，所有有理项的项数为6项.故选C.‎ ‎1．（广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试）已知的展开式中常数项为，则的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.‎ ‎2．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））的展开式中x2y2的系数为 A．70 B．80 ‎ C．－1 D．－80‎ ‎【答案】A ‎ 3．（福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)）已知二项式，则展开式的常数项为 A． B． ‎ C． D．49‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 二项式中的常数项产生在中，分别是,‎ 它们的和为，故选B．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题. 解题时，首先将 变形为，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.学 ‎ ‎4．（湖北省荆州市2018届高三质量检查（III））已知，若，则 A．−5 B．−20 ‎ C．15 D．35‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5．（吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.‎ 的展开式的通项公式为，令，得.‎ ‎∴展开式中含项的系数是，故选D．‎ ‎【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎1．（2017新课标全国卷Ⅰ理 ）展开式中的系数为 A．15 B．20‎ C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎2．（2017新课标全国卷Ⅲ理 ）的展开式中的系数为 A． B．‎ C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 由展开式的通项公式可得：‎ 当时，展开式中的系数为；‎ 当时，展开式中的系数为，‎ 则的系数为.‎ 故选C．‎ ‎【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.‎ ‎（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎3．（2015新课标全国卷I理 ）的展开式中， 的系数为 A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎【答案】C ‎4．（2016新课标全国卷Ⅰ理 ）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.‎ ‎【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.‎ ‎5．（2015新课标全国卷II理 ）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ ‎【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．‎