2018届二轮复习推理与数列的结合：类比与归纳学案（全国通用） 9页

专题32 推理与数列的结合：类比与归纳 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)‎ ‎ 2.了解数列中与推理相关的思想与方法；‎ ‎ 3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.函数的迭代：设是的函数，对任意，记，则称函数为的次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其通常具备某些特征（特征与）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到的通式 ‎2.周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。‎ ‎3.数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）‎ ‎4.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列。例如：表示第行第列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。‎ 应用举例:‎ 类型一：与通项公式有关的推理 例1：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：C 类型二、与数列的性质有关的推理 例2：若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列.若数列是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ）‎ A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列是等差数列，则是等差数列。这个命题是正确的，证明如下：‎ 证明：设等差数列的公差为，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为等差数列 ‎ ‎ ‎ 为公差是的等差数列 答案：B 例3：对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：C 类型三、与前n项和数阵有关的推理 例4：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字出现在（ ）‎ A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列 思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第行最后一个数为，所以考虑离较近的完全平方数：，所以位于第行，因为是第44行的最后一个数，所以为第45行中第个数，即位于第45行第78列 ‎ 答案：B 例5：从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：C 例6：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设是位于这个三角形数中从上往下数第行，从左往右数第列的数，如 若，则 ( )‎ A. 111 B. ‎110 C. 108 D. 105‎ 思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知一定在奇数行中，先确定的值，因为奇数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以第个奇数，因为，所以可得为第个奇数，考虑前面的奇数共占了多少行。由第行由个奇数可得：前个奇数行内奇数共有，前个奇数行内奇数共有，而，所以在第个奇数行中，即，再考虑的值，第31个奇数行最后一个奇数为，因为，所以为第32个奇数行的第47个数，即，从而 ‎ 答案：C 方法、规律归纳:‎ ‎（一）归纳推理：‎ ‎1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 ‎2、处理归纳推理的常见思路：‎ ‎（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 ‎（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）‎ ‎（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 实战演练:‎ ‎1．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】观察下列各式： ，…，则 （ ）‎ A. 199 B. ‎123 C. 76 D. 28‎ ‎【答案】B ‎ 即a10+b10=123，． 故选B ‎2．在数列中， ，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 可以看出四个循环一次故 故选B ‎3．已知数列满足， ，则数列的前40项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ ‎4．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为(　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5．【天津市静海县六校2018届高三上学期期中联考】若数列中， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， 即奇数项偶数项构成的数列均为常数列，又 ‎ 故选C ‎6．数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时， ，当时， ，所以，则 ， ，选B.‎ ‎7．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质可得成等比 ，故选D.‎ ‎8．【陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟考试】等差数列中， 是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：等差数列的通项公式.‎ ‎9．【浙江省嘉兴市第一中学2017届高三适应性考试】已知数列中的任意一项都为正实数，且对任意，有，如果，则的值为（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，则，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，从而，因为，所以．‎ ‎10．【湖南省株洲市2017届高三一模】已知数列的前项和为,,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D