2018届二轮复习集合与常用逻辑用语课件（江苏专用） 43页

第 1 讲　 集合 与常用逻辑用语 专题一　 集合 与常用逻辑用语、不等式 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1. (2013· 江苏 ) 集合 { － 1,0,1} 共有 ________ 个子集 . 解析　 由于集合中有 3 个元素 ， 故 该集合有 2 3 ＝ 8( 个 ) 子集 . 8 1 2 3 4 2. (2015· 陕西改编 ) 设集合 M ＝ { x | x 2 ＝ x } ， N ＝ { x |lg x ≤ 0} ，则 M ∪ N ＝ ________. 解析　 由题意得 M ＝ {0,1} ， N ＝ (0,1] ， 故 M ∪ N ＝ [0,1]. [0,1] 1 2 3 4 解析　 若 p 成立，设 a 1 ， a 2 ， … ， a n 的公比为 q ， 1 2 3 4 ( a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ … ＋ a n － 1 a n ) 2 ＝ ( a 1 a 2 ) 2 (1 ＋ q 2 ＋ … ＋ q 2 n － 4 ) 2 ，故 q 成立， 故 p 是 q 的充分条件 . 取 a 1 ＝ a 2 ＝ … ＝ a n ＝ 0 ， 则 q 成立，而 p 不成立，故 p 不是 q 的必要条件 . 答案　 充分不必要 1 2 3 4 1 2 3 4 答案　 2 考情考向分析 1. 集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题 . 2. 高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断 . 热点一　集合的关系及运算 热点分类突破 1. 集合的运算性质及重要结论 (1) A ∪ A ＝ A ， A ∪ ∅ ＝ A ， A ∪ B ＝ B ∪ A . (2) A ∩ A ＝ A ， A ∩ ∅ ＝ ∅ ， A ∩ B ＝ B ∩ A . (3) A ∩ ( ∁ U A ) ＝ ∅ ， A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U . (4) A ∩ B ＝ A ⇔ A ⊆ B ， A ∪ B ＝ A ⇔ B ⊆ A . 2. 集合运算中的常用方法 (1) 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2) 若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3) 若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解 . R (2) 对于非空集合 A ， B ，定义运算： A  B ＝ { x | x ∈ A ∪ B ，且 x ∉ A ∩ B } ，已知 M ＝ { x | a < x < b } ， N ＝ { x | c < x < d } ，其中 a 、 b 、 c 、 d 满足 a ＋ b ＝ c ＋ d ， ab < cd <0 ，则 M  N 等于 ________. 解析　 由已知 M ＝ { x | a < x < b } ， ∴ a < b ， 又 ab <0 ， ∴ a <0< b ， 同理可得 c <0< d ，由 ab < cd <0 ， c <0 ， b >0 ， 又 ∵ a ＋ b ＝ c ＋ d ， ∴ a － c ＝ d － b ， 又 ∵ c <0 ， b >0 ， ∴ d － b <0 ， 因此， a － c <0 ， ∴ a < c <0< d < b ， ∴ M ∩ N ＝ N ， ∴ M  N ＝ { x | a < x ≤ c 或 d ≤ x < b } ＝ ( a ， c ] ∪ [ d ， b ). 答案　 ( a ， c ] ∪ [ d ， b ) 思维升华 (1) 集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助 Venn 图或数轴求解 . (2) 对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证 . 跟踪演练 1 　 (1) 设集合 A ＝ {( x ， y )| x ＋ y ＝ 1} ， B ＝ {( x ， y )| x － y ＝ 3} ，则满足 M ⊆ ( A ∩ B ) 的集合 M 的个数是 ________. 解析　 由题中集合可知，集合 A 表示直线 x ＋ y ＝ 1 上的点， 集合 B 表示直线 x － y ＝ 3 上的点， 可知 M 可能为 {(2 ，－ 1)} 或 ∅ ， 所以满足 M ⊆ ( A ∩ B ) 的集合 M 的个数是 2. 2 热点二　四种命题与充要条件 1. 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 . 2. 若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；若 p ⇔ q ，则 p ， q 互为充要条件 . 例 2 　 (1) (2014· 江西改编 ) 下列命题中正确的是 ________( 填正确命题的序号 ). ① 若 a ， b ， c ∈ R ，则 “ ax 2 ＋ bx ＋ c ≥ 0 ” 的充分条件是 “ b 2 － 4 ac ≤ 0 ” ； ② 若 a ， b ， c ∈ R ，则 “ ab 2 > cb 2 ” 的充要条件是 “ a > c ” ； ③ 命题 “ 对任意 x ∈ R ，有 x 2 ≥ 0 ” 的否定是 “ 存在 x ∈ R ，有 x 2 ≥ 0 ” ； ④ l 是一条直线， α ， β 是两个不同的平面，若 l ⊥ α ， l ⊥ β ，则 α ∥ β . 解析　 由于 “ 若 b 2 － 4 ac ≤ 0 ，则 ax 2 ＋ bx ＋ c ≥ 0 ” 是假命题，所以 “ ax 2 ＋ bx ＋ c ≥ 0 ” 的充分条件不是 “ b 2 － 4 ac ≤ 0 ” ， ① 错； 因为 ab 2 > cb 2 ，且 b 2 >0 ，所以 a > c . 而 a > c 时，若 b 2 ＝ 0 ，则 ab 2 > cb 2 不成立，由此知 “ ab 2 > cb 2 ” 是 “ a > c ” 的充分不必要条件， ② 错 ； “ 对任意 x ∈ R ，有 x 2 ≥ 0 ” 的否定是 “ 存在 x ∈ R ，有 x 2 <0 ” ， ③ 错； 由 l ⊥ α ， l ⊥ β ，可得 α ∥ β ，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行， ④ 正确 . 答案　 ④ (2) 已知 p ： m － 1< x < m ＋ 1 ， q ： ( x － 2)( x － 6)<0 ，且 q 是 p 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是 ________. 解析　 p ： m － 1< x < m ＋ 1 ， q ： 2< x <6 ； ∵ q 是 p 的必要不充分条件， ∴ ( m － 1 ， m ＋ 1)  (2,6) ， ∴ m 的取值范围为 [3,5]. [3,5] 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法：正、反方向推理，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ；若 p ⇒ q ，且 q p ，则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法：利用集合间的包含关系 . 例如，若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . 跟踪演练 2 　 (1) 下列五个命题： ① log 2 x 2 ＝ 2log 2 x ； ② A ∪ B ＝ A 的充要条件是 B ⊆ A ； ③ 若 y ＝ k sin x ＋ 1 ， x ∈ R ，则 y 的最小值为－ k ＋ 1 ； 其中正确命题的序号为 ________.( 写出所有正确命题的序号 ) 解析　 ① log 2 x 2 ＝ 2log 2 x ，左边 x ∈ R ，右边 x >0 ，错误； ② A ∪ B ＝ A 的充要条件是 B ⊆ A ，正确； ③ 若 y ＝ k sin x ＋ 1 ， x ∈ R ，因为 k 的符号不定，所以 y 的最小值为－ | k | ＋ 1 ； 答案　 ② 所以 x < － 1 或 x >2 ， [2 ，＋ ∞ ) 热点三　逻辑联结词、量词 1. 命题 p ∨ q ，只要 p ， q 有一真，即为真；命题 p ∧ q ，只有 p ， q 均为真，才为真； 綈 p 和 p 为真假对立的命题 . 2. 命题 p ∨ q 的否定是 ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) ；命题 p ∧ q 的否定 是 ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ). 3. “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 的否定为 “ ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) ” ； “ ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ” 的否定为 “ ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ”. 例 3 　 (1) 已知命题 p ：关于 x 的方程 a 2 x 2 ＋ ax － 2 ＝ 0 在 [ － 1,1] 上有解；命题 q ：只有一个实数 x 满足不等式 x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 a ≤ 0. 若命题 “ p 或 q ” 是假命题，则 a 的取值范围是 ________. 解析　 由 a 2 x 2 ＋ ax － 2 ＝ 0 ，得 ( ax ＋ 2)( ax － 1) ＝ 0 ， “ 只有一个实数 x 满足 x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 a ≤ 0 ” ， 即抛物线 y ＝ x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 a 与 x 轴只有一个交点， 所以 Δ ＝ 4 a 2 － 8 a ＝ 0. 所以 a ＝ 0 或 a ＝ 2. 所以命题 “ p 或 q ” 为真命题时， | a | ≥ 1 或 a ＝ 0. 因为命题 “ p 或 q ” 为假命题 ， 所以 a 的取值范围为 { a | － 1< a <0 或 0< a <1 }. 答案　 { a | － 1< a <0 或 0< a <1 } (2) 已知命题 p ： “ ∀ x ∈ [1,2] ， x 2 － a ≥ 0 ” ，命题 q ： “ ∃ x 0 ∈ R ， ＋ 2 ax 0 ＋ 2 － a ＝ 0 ”. 若命题 “ ( 綈 p ) ∧ q ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________. 即方程 x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 － a ＝ 0 有实根， 故 Δ ＝ 4 a 2 － 4(2 － a ) ≥ 0 ，解得 a ≥ 1 或 a ≤ － 2. ( 綈 p ) ∧ q 为真命题，即 綈 p 真且 q 真，即 a >1. a >1 思维升华 (1) 命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立； (2) 判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 . 跟踪演练 3 　 (1) 已知直线 l 1 ： ax ＋ 3 y ＋ 1 ＝ 0 与 l 2 ： 2 x ＋ ( a ＋ 1) y ＋ 1 ＝ 0 ，给出命题 p ： l 1 ∥ l 2 的充要条件是 a ＝－ 3 或 a ＝ 2 ；命题 q ： l 1 ⊥ l 2 的充要条件是 a ＝ . 则 p ∧ ( 綈 q ) 为 ________ 命题 ( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ). 解析　 对于命题 p ，因为当 a ＝ 2 时， l 1 与 l 2 重合，故命题 p 为假命题； 当 a ＝ 时 ， l 1 ⊥ l 2 ，故命题 q 为真命题， 綈 q 为假命题，故命题 p ∧ ( 綈 q ) 为假命题 . 假 (2) 已知命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， － mx 0 ＝ 0 ， q ： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ mx ＋ 1 ≥ 0 ，若 p ∨ ( 綈 q ) 为假命题，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析　 若 p ∨ ( 綈 q ) 为假命题，则 p 假 q 真，命题 p 为假命题时，有 0 ≤ m 4} ， 所以 ∁ R F ＝ { x |0 ≤ x ≤ 4} ， 所以 E ∩ ( ∁ R F ) ＝ {1,2,3,4}. 答案　 {1,2,3,4} 1 2 3 4 2. 已知集合 A ＝ {( x ， y )| y ＝ f ( x )} ，若对于任意 ( x 1 ， y 1 ) ∈ M ，存在 ( x 2 ， y 2 ) ∈ M ，使得 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 成立，则称集合 M 是 “ Ω 集合 ”. 给出下列 4 个集合： ③ M ＝ {( x ， y )| y ＝ cos x } ； ④ M ＝ {( x ， y )| y ＝ ln x }. 其中所有 “ Ω 集合 ” 的序号是 ________. 1 2 3 4 押题依据　 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质 ( 元素的性质、运算性质 ) 作为突破口 . 对于 ④ ，取 (1,0) ∈ M ，且存在 ( x 2 ， y 2 ) ∈ M ，则 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 1 × x 2 ＋ 0 × y 2 ＝ x 2 >0 ，可知 ④ 错误 . 同理，可证得 ② 和 ③ 都是正确的 . 答案　 ②③ 1 2 3 4 3. 设 φ ∈ R ，则 “ φ ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) ＝ cos( x ＋ φ )( x ∈ R ) 为偶函数 ” 的 _________ __ _ 条件 . 押题依据　 充要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，结合考查数学概念 . 解析　 当 φ ＝ 0 时， f ( x ) ＝ cos( x ＋ φ ) ＝ cos x 为偶函数成立； 但当 f ( x ) ＝ cos( x ＋ φ ) 为偶函数时， φ ＝ k π ， k ∈ Z ， φ ＝ 0 不一定成立 . 充分不必要 1 2 3 4 4. 下列命题是假命题的是 ________.( 填序号 ) ① 命题 “ 若 x ≠ 1 ，则 x 2 － 3 x ＋ 2 ≠ 0 ” 的逆否命题是 “ 若 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，则 x ＝ 1 ” ； ③ 对于命题 p ： ∃ x ∈ R ，使得 x 2 ＋ x ＋ 1<0 ，则 綈 p ： ∀ x ∈ R ，均有 x 2 ＋ x ＋ 1 ≥ 0 ； ⑤ 若 p ∧ q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题 . 1 2 3 4 押题依据　 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点 . 解析　 ① 根据命题的四种形式，可知命题： “ 若 p ，则 q ” 的逆否命题是 “ 若 綈 q ，则 綈 p ” ，故该命题正确； 1 2 3 4 ③ 存在性命题的否定是全称命题，故命题正确； ⑤ p ∧ q 为假命题时，只要 p 、 q 中至少有一个为假命题即可，不一定 p 、 q 均为假命题 . 答案　 ④⑤