【数学】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考试题（理） 9页

四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考试题（理）‎ 本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共 4 页；答题卷共 6页，满分150分。‎ 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用2B铅笔涂黑。 ‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。 ‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.如右图，直线的倾斜角分别为，则有 ( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是( )‎ ‎ A. B. C. 　D.‎ 3. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若 的周长为8，则椭圆方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.圆的圆心到直线的距离为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知点，关于直线对称，则直线的方程是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知分别为直线上任意一点，则的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知圆:,圆:，则圆和圆的公切线有( )‎ ‎ A.条 B.条 C.条 D.条 ‎8.过点且与原点的距离最大的直线的方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知直线与平行，则等于( )‎ ‎ A. B. 　 C. D.‎ ‎10.已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎11.方程所表示的曲线图形是(　　)‎ ‎12.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.直线恒过定点为______________.‎ ‎14.已知是椭圆上的点，则点到椭圆的一个焦点的最短距离为_______.‎ ‎15.已知圆和圆交于两点，则的垂直平分线的方程为___________________.‎ ‎16.已知是直线上的动点，是圆的 两条切线(为切点)，则四边形面积的最小值为_______________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知直线经过两条直线和的交点，求分别满足下列条件的直线的方程： ‎ ‎(1) 垂直于直线；‎ ‎(2) 平行于直线．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为的圆的方程．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知中顶点,边上的中线所在的直线方程为,‎ 的平分线所在的直线方程为.‎ (1) 求顶点的坐标；‎ (2) 求直线的方程.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知圆.‎ ‎(1) 若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；‎ ‎(2) 若从圆外一点向该圆引切线(为切点)，求弦长的大小．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为.‎ (1) 求椭圆的方程；‎ (2) 若直线与椭圆交于不同的两点，求(为坐标原点)的面积.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎(1)若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；‎ ‎(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．‎ 参考答案 一、 选择题：1—5：BADCB 6—10：DCBAC 11．D 12．B 二、 填空题：13． 14． 15． 16．‎ 三、 解答题：‎ ‎17．解：, 解得, 即两条直线的交点坐标为 -------2分 ‎(1)‎ ‎ -----------------------------4分 ‎ ----------------------------6分 ‎(2) ‎ ‎ ------------------------------8分 ‎ ----------------------------10分 ‎18．解法一：‎ 圆的方程为： --------------------------3分 圆心到直线的距离 ------------------6分 ‎ ----------------------------10分 故，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．-----------------------12分 解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为 --------------------------------------2分 ‎，即2r2＝(a－b)2＋14-------① ------------------------6分 由于所求的圆与x轴相切，所以r2＝b2-----------②‎ 又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，则3a－b＝0---------③ ----------------------8分 联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9 ------------------------10分 故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．----------------------------12分 解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，‎ 半径为．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0‎ 由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F--------------④ -------------------------------------3分 又圆心到直线x－y＝0的距离为 ------------------------------------5分 由已知，得，‎ 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)------------⑤ ------------------------8分 又圆心在直线3x－y＝0上，则3D－E＝0------------⑥ -------------9分 联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1 -----------------10分 故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y． -----------------------------12分 ‎19．解：(1)设，则的中点在直线上.‎ ‎-----------① ----------------3分 又点在直线上，则-----------------------------② ‎ 由①②可得，即点的坐标为． -------------------------------------6分 (2) 设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上 由题知,解得 -----------------------------------9分 ‎ --------------------------------------10分 所以直线的方程为．------------------------12分 ‎20．解：（1）由题知：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零 设切线方程为 -----------------------------1分 ‎ ‎ ‎ ---------------------------------3分 圆心到切线的距离，解得： ---------5分 故，所求切线的方程为：．-----------------------6分 ‎ ‎(2)方法一：由题知：四点是在以为直径的圆上 圆的方程为：---①‎ ‎-----②‎ 由②-①可得：公共弦所在的直线方程为： -----------------9分 圆心到直线的距离 ---------------10分 弦长.--------------------------12分 方法二: 由(1)知:圆心,半径 由题易知:垂直平分,且,设与相交于点 ‎-------10分 弦长. --------------12分 ‎21．解:(1)由题可得-------------------2分 ‎ ---------------------------------------------3分 故,椭圆的方程为. -------------------4分 ‎(2)由,消去整理可得 设 --------------------------6分 ‎9分 又原点到直线的距离 --------------10分 的面积. ----------------------12分 ‎22．解：(1)方法一：由题知:‎ ‎ ‎ 点是以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点 -----------------------------------------2分 ‎，解得，即点的坐标为．---------------------5分 方法二：‎ 由椭圆的定义知：‎ ‎ -----------------------------------------------2分 设 -----------------①‎ 即 --------------------------------② -------------------------4分 由①②解得：，即点的坐标为．---------------------5分 ‎(2)显然x＝0不满足题设条件，设的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)‎ 联立,消去可得x2＋4(kx＋2)2＝4⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0‎ ‎∴x1x2＝，x1＋x2＝－.‎ 由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，即16k2－3(1＋4k2)>0,4k2－3>0，得k2>-------① -----7分 又∠AOB为锐角⇔cos∠AOB>0⇔·>0，则·＝x1x2＋y1y2>0 ------------------------8分 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·(－)＋4‎ ‎＝－＋4＝>0，解得－