2019届二轮复习解题技巧第1讲　直线与圆课件（45张）（全国通用） 45页

第 1 讲　直线与圆 专题 五 　 解析 几何 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系 ( 特别是弦长问题 ). 此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l 1 ， l 2 的斜率 k 1 ， k 2 存在，则 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 k 2 ＝－ 1. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在 . 2. 求直线方程 要注意几种直线方程的局限性 . 点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 . 热点一　直线的方程及 应用 3. 两个距离公式 例 1 　 (1)(2018· 齐鲁名校教科研协作体模拟 ) 已知直线 l 1 ： x ·sin α ＋ y － 1 ＝ 0 ，直线 l 2 ： x － 3 y ·cos α ＋ 1 ＝ 0 ，若 l 1 ⊥ l 2 ，则 sin 2 α 等于 解析 答案 √ 解析　 因为 l 1 ⊥ l 2 ， 所以 sin α － 3cos α ＝ 0 ， 所以 tan α ＝ 3 ， 解析 (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 ： kx － y ＋ 2 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ ky － 2 ＝ 0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y － 4 ＝ 0 的距离的最大值为 ________. 答案 解析 　 由题意得，当 k ≠ 0 时，直线 l 1 ： kx － y ＋ 2 ＝ 0 的斜率为 k ，且经过点 A (0,2) ， 且经过点 B (2,0) ，且直线 l 1 ⊥ l 2 ，所以点 P 落在以 AB 为直径的圆 C 上， 当 k ＝ 0 时， l 1 ⊥ l 2 ，此时点 P (2,2). (1) 求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况 . (2) 对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究 . 思维升华 答案 解析 跟踪演练 1 　 (1)(2018· 上海市虹口区模拟 ) 直线 ax ＋ ( a － 1) y ＋ 1 ＝ 0 与直线 4 x ＋ ay － 2 ＝ 0 互相平行，则实数 a ＝ ____. 当 a ＝ 0 时，两直线显然不平行 . 故 a ＝ 2. 2 (2)(2018· 齐齐哈尔模拟 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y ＋ 3 ＝ 0 的圆心到直线 x － ay ＋ 1 ＝ 0 的距离为 2 ，则 a 等于 A. － 1 B.0 C.1 D.2 答案 √ 解析 解析　 因为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 2 ， 热点二　圆的方程及应用 1. 圆的标准方程 当圆心为 ( a ， b ) ，半径为 r 时，其标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，特别地，当圆心在原点时，方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 . 2. 圆的一般方程 答案 例 2 　 (1) 圆心为 (2,0) 的圆 C 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x － 6 y ＋ 4 ＝ 0 相外切，则 C 的方程为 A. x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 2 ＝ 0 B. x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 C. x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＝ 0 D. x 2 ＋ y 2 － 4 x ＝ 0 解析 √ 解析 　 圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x － 6 y ＋ 4 ＝ 0 ， 即 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 9 ， 圆心为 ( － 2,3) ，半径为 3. 设圆 C 的半径为 r . 所以 r ＝ 2. 故圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 展开得 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＝ 0. (2) 已知圆 M 与直线 3 x － 4 y ＝ 0 及 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 都相切，圆心在直线 y ＝－ x － 4 上，则圆 M 的方程为 A.( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B .( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C. ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 D . ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 解析 答案 √ 解析　 到两直线 3 x － 4 y ＝ 0 及 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 的距离都相等的直线方程为 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 ， 两平行线之间的距离为 2 ，所以半径为 1 ， 从而 圆 M 的方程为 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1. 故选 C. 解决与圆有关的问题一般有两种方法 (1) 几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 . (2) 代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (1) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 _________ _ _ ，半径是 ________. 解析 　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心， 5 为半径的圆 . 解析 答案 ( － 2 ，－ 4 ) 5 (2)(2018· 天津 ) 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0) ， (1,1) ， (2,0) 的圆的方程为 ____________ _ ____. 解析 答案 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 解析 　 方法一 　设圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0. ∵ 圆经过点 (0,0) ， (1,1) ， (2,0) ， ∴ 圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0. 方法二 　画出示意图如图所示， 则 △ OAB 为等腰直角三角形， 故 所求圆的圆心为 (1,0) ，半径为 1 ， ∴ 所求圆的方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， 即 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0. 热点三　直线与圆、圆与圆的位置 关系 1. 直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法 . (1) 点线距离法：设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，则 d < r ⇔ 直线与圆相交， d ＝ r ⇔ 直线与圆相切， d > r ⇔ 直线与圆相离 . (2) 判别式法：设圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ( A 2 ＋ B 2 ≠ 0) ， 方程组 消 去 y ，得到关于 x 的 一 元 二次方程，其根的判别式为 Δ ，则直线与圆相离 ⇔ Δ <0 ，直线 与圆 相切 ⇔ Δ ＝ 0 ，直线与圆相交 ⇔ Δ >0. 2. 圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离 . 设圆 C 1 ： ( x － a 1 ) 2 ＋ ( y － b 1 ) 2 ＝ ， 圆 C 2 ： ( x － a 2 ) 2 ＋ ( y － b 2 ) 2 ＝ ， 两 圆 心之间 的距离为 d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1) d > r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外离 . (2) d ＝ r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外切 . (3)| r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆相交 . (4) d ＝ | r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内切 . (5)0 ≤ d <| r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内含 . 例 3 　 (1) 设圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 与圆 C 2 ： ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 1 ，则圆 C 1 与圆 C 2 的位置关系是 A. 外离 B. 外切 C . 相交 D. 内含 答案 解析 √ 故两圆外离 . (2)(2018· 揭阳模拟 ) 已知直线 4 x － 3 y ＋ a ＝ 0 与 ⊙ C ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＝ 0 相交于 A ， B 两点，且 ∠ ACB ＝ 120° ，则实数 a 的值为 A.3 B.10 C.11 或 21 D.3 或 13 答案 解析 √ 解析　 圆的方程整理为标准方程即 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由圆的性质可知 △ ABC 为等腰三角形 ， 其中 | CA | ＝ | CB | ， 即 | a － 8| ＝ 5 ，解得 a ＝ 3 或 a ＝ 13. 即圆心 ( － 2,0) 到直线 4 x － 3 y ＋ a ＝ 0 的距离为 d ＝ 1 ， (1) 讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量 . (2) 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(2018· 广州名校联考 ) 已知直线 y ＝ ax 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax － 2 y ＋ 2 ＝ 0 交于两点 A ， B ，且 △ CAB 为等边三角形，则圆 C 的面积为 ________. 答案 解析 6π 解析　 圆 C 化为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ a 2 － 1 ， ∵ 直线 y ＝ ax 和圆 C 相交，且 △ ABC 为等边三角形， 解得 a 2 ＝ 7. ∴ 圆 C 的面积为 π R 2 ＝ π(7 － 1) ＝ 6π. 答案 解析 (2) 如果圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 8 上总存在到原点的距离 为 的 点，则实数 a 的取值范围是 A.( － 3 ，－ 1) ∪ (1,3) B .( － 3,3) C.[1,1] D .[ － 3 ，－ 1] ∪ [1,3] √ 圆上的点到原点的距离为 d . 即 1 ≤ | a | ≤ 3 ，解得 1 ≤ a ≤ 3 或－ 3 ≤ a ≤ － 1 ， 所以 实数 a 的取值范围是 [ － 3 ，－ 1] ∪ [1,3]. 真题押题精练 1.(2016· 山东改编 ) 已知圆 M ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay ＝ 0( a >0) 截直线 x ＋ y ＝ 0 所得线段的长度是 2 ， 则圆 M 与圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 的位置关系是 ________. 真题体验 答案 解析 相交 解析　 ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 ＝ a ， ∴ M (0,2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标为 N (1,1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， 又 r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ， r 1 － r 2 ＝ 1 ， ∴ r 1 － r 2 <| MN |< r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交 . 2.(2016· 上海 ) 已知平行直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，则 l 1 ， l 2 的距离是 ________. 答案 3.(2018· 全国 Ⅰ ) 直线 y ＝ x ＋ 1 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 交于 A ， B 两点，则 | AB | ＝ ________. 解析 答案 解析 　 由 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 ，得 x 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4. ∴ 圆心 C (0 ，－ 1) ，半径 r ＝ 2. 答案 解析 4.(2018· 全国 Ⅲ 改编 ) 直线 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 2 上，则 △ ABP 面积的取值范围是 ________. [2,6] 解析　 设圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 2 的圆心为 C ，半径为 r ，点 P 到直线 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的距离为 d ， 综上， △ ABP 面积的取值范围是 [2,6]. 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用 . 1. 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 (1,0) 且被 x 轴分成的两段弧长比为 1 ∶ 2 ，则圆 C 的方程为 √ 设圆心坐标为 (0 ， a ) ，半径为 r ， 答案 解析 押题依据 押题依据 　直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大 . √ 解析　 由直线 ( m ＋ 1) x ＋ ( n ＋ 1) y － 4 ＝ 0 与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 相切， 整理得 m ＋ n ＋ 1 ＝ mn . 解析 押题依据 押题依据 　本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路 . 3. 若圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ ax ＋ 2 ay － 9 ＝ 0( a >0) 相交，公共弦的长 为 2 ， 则 a ＝ ________. 答案 可得公共弦所在直线方程为 ax ＋ 2 ay － 5 ＝ 0 ，