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- 2021-06-16 发布
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选修4-5不等式选讲
第一节 绝对值不等式
1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.
突破点一 绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
∅
∅
|x|>a
R
(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解;
②利用零点分段法求解;
③构造函数,利用函数的图象求解.
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}.( )
(2)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )
(3)不等式|2x-3|≤5的解集为{x|-1≤x≤4}.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
二、填空题
1.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是________.
答案:[1,+∞)
2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.
答案:2
3.函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________.
答案:8
[典例] 解下列不等式:
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;
(2)|x+3|-|2x-1|<+1.
[解] (1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,
两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1),
解得x>,
所以原不等式的解集为.
法二:原不等式等价于
或或
解得x>,所以原不等式的解集为.
(2)①当x<-3时,
原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,
解得x<10,∴x<-3.
②当-3≤x≤时,
原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,
解得x<-,∴-3≤x<-.
③当x>时,
原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,
解得x>2,∴x>2.
综上可知,原不等式的解集为.
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法
对a∈R+,|x|<a⇔-a<x<a,
|x|>a⇔x<-a或x>a.
(2)平方法
两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
[针对训练]
1.(2019·广州模拟)已知函数f(x)=|x+a|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤|2x+1|-1的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)-|x+3|的值域为A,且[-2,1]⊆A,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|,
①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1≤-2x-2,解得x≤-1;
②当-1<x<-时,原不等式可化为x+1≤-2x-2,解得x≤-1,此时原不等式无解;
③当x≥-时,原不等式可化为x+1≤2x,解得x≥1.
综上可知,原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}.
(2)因为||x+a|-|x+3||≤|(x+a)-(x+3)|=|a-3|,
所以g(x)=f(x)-|x+3|=|x+a|-|x+3|∈[-|a-3|,|a-3|].
所以函数g(x)的值域A=[-|a-3|,|a-3|].
因为[-2,1]⊆A,所以
解得a≤1或a≥5.
所以a的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞).
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为,
所以≥1,故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
突破点二 绝对值三角不等式
绝对值三角不等式定理
定理1
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立
定理2
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)|a+b|+|a-b|≥|2a|.( )
(2)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
答案:(1)√ (2)√
二、填空题
1.设a,b为满足ab<0的实数,那么下列正确的是________(填序号).
①|a+b|>|a-b|; ②|a+b|<|a-b|;
③|a-b|<||a|-|b||; ④|a-b|<|a|+|b|.
解析:∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.
答案:②
2.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.
解析:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,
∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.
答案:[-2,4]
3.若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.
解析:|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+2≤5.
答案:5
考法一 证明绝对值不等式
[例1] 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,
求证:|x+5y|≤1.
[证明] ∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,
∴由绝对值不等式的性质,得
|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|
=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.
即|x+5y|≤1.
[方法技巧]
绝对值不等式证明的3种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.
(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.
(3)转化为函数问题,数形结合进行证明.
考法二 与绝对值不等式有关的参数范围问题
[例2] 设函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2x-1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax+4对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
[解] (1)由已知,可得|x+3|<|2x-1|,
即|x+3|2<|2x-1|2,
则有3x2-10x-8>0,
∴x<-或x>4.
故所求不等式的解集为∪(4,+∞).
(2)设h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=
当x≤-3时,-4x-5>ax+4,即ax<-4x-9,
∵x≤-3<0,∴a>=-4-.
∴a>max,∴a>-1.
当-3<x<时,7>ax+4,即ax-3<0.
则∴∴-1≤a≤6.
当x≥时,4x+5>ax+4,即ax<4x+1.
∵x≥>0,∴a<=4+.
∵4+>4,且无限趋近于4,∴a≤4.
综上,a的取值范围是(-1,4].
[方法技巧]
两招解不等式问题中的含参问题
转化
①把存在性问题转化为求最值问题;
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题;
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min
求最值
求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:
①利用绝对值的几何意义;
②利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||;
③利用零点分区间法
1.已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求证:当x,y∈M时,|x+y+xy|<15.
解:(1)f(x)=
当x<-2时,由x-3>0,得x>3,舍去;
当-2≤x≤时,由3x+1>0,得x>-,
即-<x≤;
当x>时,由-x+3>0,得x<3,即<x<3,
综上,M=.
(2)证明:∵x,y∈M,∴|x|<3,|y|<3,
∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|·|y|<3+3+3×3=15.
2.已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,a∈R,g(x)=x2-2x-4+.
(1)若f(2a2-1)>4|a-1|,求实数a的取值范围;
(2)若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,求实数a的取值范围.
解:(1)∵f(2a2-1)>4|a-1|,
∴|2a2-2a|+|a2-1|>4|a-1|,
∴|a-1|(2|a|+|a+1|-4)>0,
∴|2a|+|a+1|>4且a≠1.
①若a≤-1,则-2a-a-1>4,∴a<-;
②若-1<a<0,则-2a+a+1>4,∴a<-3,此时无解;
③若a≥0且a≠1,则2a+a+1>4,∴a>1.
综上所述,a的取值范围为∪(1,+∞).
(2)∵g(x)=(x-1)2+-5≥2-5=-1,显然可取等号,
∴g(x)min=-1.
于是,若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,只需f(x)min≤1.
又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,
∴(a-1)2≤1,∴-1≤a-1≤1,∴0≤a≤2,
即实数a的取值范围为[0,2].
[课时跟踪检测]
1.(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<1;
(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,
f(x)=|2x-1|-|x-1|=
当x≤时,-x<1,解得x>-1,∴-1<x≤;
当<x≤1时,3x-2<1,解得x<1,∴<x<1;
当x>1时,x<1,无解.
综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|-1<x<1}.
(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解⇔|x-a|<-2x有解⇔2x<x-a<-2x有解⇔3x<a<-x有解,
∵3x>-3,-x<1,
∴-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1).
2.(2019·惠州调研)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|,g(x)=|x-a|+|x+a|.
(1)解不等式f(x)>9;
(2)∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=
f(x)>9等价于或或
综上,原不等式的解集为{x|x>3或x<-3}.
(2)|x-a|+|x+a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f=,
所以2|a|≤,-<a<,
所以实数a的取值范围是.
3.(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-a|(a∈R).
(1)若a=1,求不等式f(x)≥5的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.
解:(1)若a=1,
则f(x)=2|x+1|+|x-1|=
当x≥1时,3x+1≥5,即x≥,∴x≥;
当-1<x<1时,x+3≥5,即x≥2,此时x无解;
当x≤-1时,-3x-1≥5,即x≤-2,∴x≤-2.
综上所述,不等式f(x)≥5的解集为.
(2)当a=-1时,f(x)=3|x+1|的最小值为0,不符合题意;
当a>-1时,f(x)=
∴f(x)min=f(-1)=1+a=3,此时a=2;
当a<-1时,f(x)=
∴f(x)min=f(-1)=-1-a=3,此时a=-4.
综上所述,a=2或a=-4.
4.(2019·惠州模拟)已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.
(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若二次函数y=x2+2x+3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=5时,f(x)=
由f(x)>2得不等式的解集为.
(2)二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
该函数在x=-1处取得最小值2,
因为f(x)=
在x=-1处取得最大值m-2,
所以要使二次函数y=x2+2x+3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点,
只需m-2≥2,即m≥4.
所以实数m的取值范围为[4,+∞).
5.(2019·长春模拟)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若a,b,c∈A,求证:>1.
解:(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=
由|f(x)|<2得-1<x<1,
即A={x|-1<x<1}.
(2)证明:要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,
只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,
只需证1-a2b2>c2(1-a2b2),
只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,
由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,
所以(1-a2b2)(1-c2)>0恒成立.
综上,>1.
6.(2019·太原模拟)已知函数f(x)=|x-a|+(a≠0).
(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;
(2)当a<时,函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围.
解:(1)∵f(x)=|x-a|+(a≠0),
∴f(x+m)=|x+m-a|+,
∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|,
∴|m|≤1,∴-1≤m≤1,∴实数m的最大值为1.
(2)当a<时,
g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+=
又函数g(x)有零点,
∴g(x)min=g=-a+=≤0,
∴或∴-≤a<0,
∴实数a的取值范围是.
7.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=
当x<-1时,由2x+4≥0,解得-2≤x<-1;
当-1≤x≤2时,显然满足题意;
当x>2时,由-2x+6≥0,解得2<x≤3,
故f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
8.(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,
当x>1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;
当-≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-≤x≤0;
当x<-时,1-x+(2x+1)≥0,得-2≤x<-.
∴不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)法一:由|x-a|+3x≤0,
可得或
即或
当a>0时,不等式的解集为.
由-=-1,得a=2.
当a=0时,不等式的解集为,不合题意.
当a<0时,不等式的解集为.
由=-1,得a=-4.
综上,a=2或a=-4.
法二:当x≥a时,f(x)=4x-a,函数f(x)为增函数,
由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}得,
f(-1)=4×(-1)-a=0,得a=-4.
当x<a时,f(x)=2x+a,函数f(x)为增函数,
由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}得,
f(-1)=2×(-1)+a=0,得a=2.
经检验,a=2或a=-4都符合题意,
故a的值为2或-4.