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- 2021-06-16 发布
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第一节坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.
②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.
③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
4.简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin θ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin θ=a(0<θ<π)
1.若点P的直角坐标为(3,-),则点P的极坐标为______.
解析:因为点P(3,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.
答案:
2.圆ρ=5cos θ-5sin θ的圆心的极坐标为________.
解析:将方程 ρ=5cos θ-5sin θ两边都乘以ρ,
得ρ2=5ρcos θ-5ρsin θ,
化成直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0.
圆心坐标为,化成极坐标为.
答案:(答案不唯一)
3.在极坐标系中A,B两点间的距离为________.
解析:法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.
法二:∵A,B的直角坐标为A(1,-),B(-2,2).
∴|AB|==6.
答案:6
4.在极坐标系中,圆ρ=4sin θ的圆心到直线θ=(θ∈R)的距离是________.
解析:设圆心到直线θ=(θ∈R)的距离为d,
因为圆的半径为2, d=2·sin=1.
答案:1
[考什么·怎么考]
1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.
解:由得到①
将①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.
2.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解:设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),
由上述可知,将代入x2-=1,
得-=1,化简得-=1,
即-=1为曲线C′的方程,
可见仍是双曲线,则焦点(-5,0),(5,0)为所求.
3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式为φ:求a,b的值.
解:由得代入x2+y2=1中得+=1,所以a2=9,b2=4,即a=3,b=2.
[怎样快解·准解]
伸缩变换公式应用时的2个注意点
(1)
曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P′的坐标(x′,y′),再利用伸缩变换公式建立联系.
(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x′,y′)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.
极坐标与直角坐标的互化是解决极坐标问题的基础,是高考常考内容之一,既有单独考查,也有与参数方程等内容的综合考查,题型为解答题,难度适中.
[典题领悟]
在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:
ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
[思维路径]
(1)由ρ=cos θ+sin θ及公式可将等式两边同乘以ρ,得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,从而可化为直角坐标方程.将ρsin=利用两角差的正弦公式展开,可得ρsin θ-ρcos θ=1,从而可化为直角坐标方程.
(2)可先求出直线l与圆O的公共点,然后将该公共点化为极坐标.
解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,
直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
将(0,1)转化为极坐标为即为所求.
[解题师说]
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ
及方程两边平方是常用的变形技巧.
2.极角的确定方法
由tan θ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意:当x≠0时,θ角才能由tan θ=按上述方法确定.当x=0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理:当x=0,y=0时,θ可取任何值;当x=0,y>0时,可取θ=;当x=0,y<0时,可取θ=.
[冲关演练]
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:(1)由ρ=2知ρ2=4,
所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2,
所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
曲线极坐标方程的应用是每年高考的重点,主要涉及线段长度、平面图形的面积以及最值等问题,难度适中.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
[思维路径]
(1)可先求点P在极坐标系中的轨迹方程,然后再化为直角坐标方程.设P(ρ,θ),则M点的可设为(ρ1,θ),利用|OM|·|OP|=16及相关点可求.
(2)由于点O和点A都是定点,故△AOB面积的大小取决于B点的位置,可设B点的极坐标为(ρB,α),然后利用面积公式S=|OA|·ρB·sin∠AOB求解即可.
解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
[解题师说]
1.方法要熟
求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ,θ)为曲线上任意一点,由已知条件,构造出三角形,利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系.
(2)先求出曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的变换公式,把直角坐标方程化为极坐标方程.
2.技巧要会
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
[冲关演练]
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,
所以△C2MN的面积为.
1.在极坐标系中,求直线ρcos=1与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.
解:ρcos=1化为直角坐标方程为x-y=2,
即y=x-2.
ρ=4sin θ可化为x2+y2=4y,
把y=x-2代入x2+y2=4y,
得4x2-8x+12=0,
即(x-)2=0,
所以x=,y=1.
所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.
2.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解:在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,
所以圆C的半径|PC|= =1,于是圆C过极点,所以圆
C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
3.设M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin=上的动点,求M,N的最小距离.
解:因为M,N分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin=上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-1.
4.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.
所以a=1.
5.(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=4.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=5,射 线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+(y-2)2=4,
得圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(2)设P(ρ1,θ1),则由
解得ρ1=2,θ1=.
设Q(ρ2,θ2),则由
解得ρ2=5,θ2=.
所以|PQ|=ρ2-ρ1=3.
6.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:(1)由ρcos=1得ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
7.(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中,曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,曲线C3:θ=(ρ>0),A(2,0).
(1)把C1的普通方程化为极坐标方程;
(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求△APQ的面积.
解:(1)因为C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,
所以C1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ=0,即ρ=4cos θ.
(2)依题意,设点P,Q的极坐标分别为,.
将θ=代入ρ=4cos θ,得ρ1=2,
将θ=代入ρ=2sin θ,得ρ2=1,
所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2-1.
依题意,点A(2,0)到曲线θ=(ρ>0)的距离
d=|OA|sin =1,
所以S△APQ=|PQ|·d=×(2-1)×1=-.
8.(2018·贵州适应性考试)在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)过原点且倾斜角为α的射线l与曲线C1,C2分别相交于A,B两点(A,B异于原点),求|OA|·|OB|的取值范围.
解:(1)由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ,
两边同乘以ρ,得ρ2cos2θ=ρsin θ,
故曲线C2的直角坐标方程为x2=y.
(2)射线l的极坐标方程为θ=α,<α≤,
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|=ρ=4cos α,
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|=ρ=,
∴|OA|·|OB|=4cos α·=4tan α.
∵<α≤,
∴|OA|·|OB|的取值范围是.