【数学】2020届一轮复习人教A版第21课导数在研究函数中的应用(2)学案（江苏专用） 6页

‎____第21课__导数在研究函数中的应用(2)____‎ ‎1. 理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值．‎ ‎2. 应用导数解决一些综合问题，如恒成立及含参数问题等.‎ ‎1. 阅读：选修11第86～92页．‎ ‎2. 解悟：要清楚导数与函数的关系，利用导数研究函数性质的流程要熟练，主要步骤为求导，令导数等于0，求根，列表，下结论．‎ ‎3. 本章中对函数的重要思想方法，比如数形结合、函数与方程、分类讨论得到了又一次的加强，同学们在复习的过程中要注意加强体会.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 对任意x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值的充要条件是__0≤a≤21__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝3x2＋2ax＋7a.因为对∀x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值，且f′(x)的图象开口向上，所以f′(x)≥0对x∈R恒成立，所以Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21，故所求的充要条件是0≤a≤21.‎ ‎2. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝__－7__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝3x2＋6ax＋b.因为函数f(x)在x＝－1处有极值0，所以即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以函数f(x)不存在极值应舍去，所以a－b＝－7.‎ ‎3. 若函数f(x)＝alnx－x在区间(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是__[2，＋∞)__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝－1.因为函数f(x)＝alnx－x在区间(1，2)上单调递增，所以－1≥0在x∈(1，2)上恒成立，所以a≥x，所以a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎4. 已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈，则满足f(x0)>f的x0取值范围为__∪__．‎ 解析：因为函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，所以只需考虑区间上的情形，当x∈时，f′(x)＝2x＋sinx≥0，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以f(x0)>f在上的解集为.结合函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以当x∈时，－≤x0<－，所以x0的取值范围是∪.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 例1　已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax，若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．‎ 解析：由题意得，g(x)＝2lnx－x2＋m，‎ 则g′(x)＝－2x＝.　‎ 因为x∈，故当g′(x)＝0时，x＝1，‎ 当0；‎ 当10.‎ 令f′(x)>0，得x>1，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)；‎ 令f′(x)<0，得00时，令f′(x)＝3kx2－3＝0，解得x＝±.当x<－时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间上单调递增；当－时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间上单调递增，所以即解得所以k＝4.‎ 考向❸ 利用导数求解不等式的有关问题 ‎　例3　设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．‎ ‎(1) 讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2) 证明：当x>1时，g(x)>0.‎ 解析：(1) 由题意得，f′(x)＝2ax－＝(x>0)，‎ 设h(x)＝2ax2－1.‎ 当a≤0时，h(x)<0，‎ 所以f′(x)<0，即函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；‎ 当a>0时，令h(x)＝0，‎ 得x1＝，x2＝－(舍去)，‎ 所以函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为.‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎(2) 要证当x>1时，g(x)>0，即证当x>1时，>e.‎ 设t(x)＝(x>1)，则t′(x)＝.‎ 令t′(x)＝＝0，得x＝1，‎ 所以t(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，‎ 所以t(x)min>t(1)＝e，‎ 所以当x>1时，t(x)>e成立，‎ 所以当x>1时，g(x)>0成立．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调增区间，则实数a的取值范围是__(－∞，2ln2－2)__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝2x－ex－a.因为函数f(x)在R上存在单调增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a>0，即a<2x－ex有解．令g(x)＝2x－ex，所以g′(x)＝2－ex，令g′(x)>0，即2－ex>0，解得xln2，所以g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a<2ln2－2.故实数a的取值范围是(－∞，2ln2－2)．‎ ‎2. 若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是__(－3，0)∪(0，＋∞)__．‎ 解析：由题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1，因为函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰有3个单调区间．所以f′(x)＝3ax2＋6x－1＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝36－4×3a×(－1)>0，且a≠0，解得a>－3且a≠0.故实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎3. 已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则函数f(x)的极大值为__2ln2－2__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝－1(x>0)，则f′(1)＝－1，解得f′(1)＝1，所以f′(x)＝－1＝(x>0)．令f′(x)>0，解得02，所以函数f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值为f(2)＝2ln2－2.‎ ‎4. 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是__(－3，－1)∪(1，3)__．‎ 解析：由题意得，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，即3x2－12＝0，解得x＝±2.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不单调，所以k－1<－2