【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版1-2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词学案 8页

第二节　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 突破点一　充分条件与必要条件 ‎1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p ‎2.充分条件与必要条件和集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)‎ ‎(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×‎ 二、填空题 ‎1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．‎ 答案：充分不必要 ‎2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．‎ 答案：必要不充分 ‎3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．‎ 解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，‎ ‎∴xy＝1且x>0，y>0.‎ 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，‎ 反之无法得到x>0，y>0.‎ 因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．‎ 解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．‎ 答案：充分不必要　充要 考法一　充分条件与必要条件的判断　‎ ‎[例1]　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　(1)a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．‎ ‎(2)由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，‎ 即“＜”⇒“x3＜1”；‎ 由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，‎ 即“x3＜1” “＜”．‎ 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[方法技巧]　　　充分、必要条件的判断方法 利用定 义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 考法二　根据充分、必要条件求参数范围　‎ ‎[例2]　(2019·大庆质检)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(－∞，9]‎ C．[1,9] D．[9，＋∞)‎ ‎[解析]　由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]‎ 根据充分、必要条件求参数范围的思路方法 ‎(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　‎ ‎1.已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　设m，n的夹角为θ，若<θ<π，则cos θ<0，所以m·n<0；若θ＝π，则m·n＝－|m|·|n|<0.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎2.已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　α＝，β＝均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－，β＝均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.‎ ‎3.设M为实数区间，a>0且a≠1，若“a∈M”是“函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(0,1) D. 解析：选D　由函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增可知00，则命题p的否定是________________________．‎ 答案：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0‎ ‎2．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________________________.‎ 答案：特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0‎ ‎3．若“∀x∈，sin x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 解析：由题意，原命题等价于sin x≤m在区间上恒成立，‎ 即y＝sin x在上的最大值小于或等于m，‎ 又y＝sin x在上的最大值为，‎ 所以m≥，即m的最小值为.‎ 答案： 考法一　全(特)称命题的否定　‎ ‎[例1]　(1)(2019·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，>0”的否定是(　　)‎ A．∃x0≥0，≤0　　　　　‎ B．∃x0>0,0≤x0≤1‎ C．∀x>0，≤0 ‎ D．∀x<0,0≤x≤1‎ ‎(2)(2019·丹东期末)命题“∃x>0，使得ln x>0”的否定为(　　)‎ A．∀x>0，均有ln x≤0 ‎ B．∀x≤0，均有ln x≤0‎ C．∀x>0，均有ln x<0 ‎ D．∃x>0，均有ln x≤0‎ ‎[解析]　(1)∵>0，∴x<0或x>1，‎ ‎∴>0的否定是0≤x≤1，‎ ‎∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．故选B.‎ ‎(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x>0，使得ln x>0”的否定为：∀x>0，均有ln x≤0.故选A.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[方法技巧]‎ 全(特)称命题进行否定的方法 ‎(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；‎ ‎(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．‎ ‎[提醒]　对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．　　‎ 考法二　全(特)称命题的真假判断　‎ ‎[例2]　(2019·西安质检)下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∃x0∈R，sin2＋cos2＝ B．∀x∈(0，π)，sin x>cos x C．∃x0∈R，x＋x0＝－2‎ D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ ‎[解析]　∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；‎ 当x∈时，sin x≤cos x，故B是假命题；‎ ‎∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，‎ ‎∴x2＋x＋2＝0无解，‎ 所以∃x0∈R，x＋x0＝－2是假命题，故C是假命题；‎ 令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，‎ 则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，‎ 即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]　　全(特)称命题真假的判断方法 全称 命题 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；‎ ‎(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可 特称 命题 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题 考法三　根据全(特)称命题的真假求参数　‎ ‎[例3]　(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．(0,4]‎ C．(－∞，4] D．[0,4)‎ ‎[解析]　当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[方法技巧]‎ 根据全(特)称命题的真假求参数的思路 与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　　‎ ‎1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是(　　)‎ A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2‎ B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2‎ C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2‎ D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2‎ 解析：选C　根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.‎ ‎2.下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0‎ C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0‎ 解析：选D　当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.‎ ‎3.已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)‎ A．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ B．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ C．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ D．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ 解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.‎ ‎4.已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0) B．[0,4]‎ C．[4，＋∞) D．(0,4)‎ 解析：选D　因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0