【数学】2021届一轮复习人教A版直线与圆（含答案） 8页

解析几何(1)—直线与圆 ‎ ‎ 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的 方程为________. ‎ ‎(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.‎ 例2.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎(1)求 的最大值和最小值； ‎ ‎(2)求y－x的最大值和最小值； ‎ ‎(3)求x2＋y2的最大值和最小值.‎ 例3.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.‎ 例4．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．‎ ‎（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；‎ ‎（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，‎ 当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．‎ 例5．已知圆直线过定点.‎ ‎ (1)若与圆相切，求直线的方程；‎ ‎ (2) 若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为 ‎ ，判断是否为定值，若是，求出其定值，若不是，请说明理由 ‎ 课后作业 ‎ ‎1.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是 (　 　)‎ A.(－∞，－2)∪ B. C.(－2，0) D. ‎2.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 (　　 )‎ A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0‎ ‎3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 (　 　)‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有 (　　 )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线 所在直线的斜率为 (　 　)‎ A.－或－ B.－或－ C.－或－ D.－或－ ‎6.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是(　　)‎ A.(，2) B.(，3) C. D. ‎7.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的 最小值为 (　 　)‎ A.1 B.5 C.4 D.3＋2 ‎8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是______；最长弦所在直线的方程为______. ‎ ‎9.若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是________.‎ ‎10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.‎ ‎11过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的 长为________.‎ ‎12．已知直线：，直线：，圆：. ‎ 若上任意一点到两直线，的距离之和为定值，则实数_______. ‎ ‎13．已知圆，直线，为直线上一动点，为坐标原点.‎ ‎（1）若直线交圆于两点，且，求实数的值；‎ ‎（2）若，过点做圆的切线，切点为，求的最小值．‎ ‎.‎ ‎14.已知直线l:4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解析几何(1)—直线与圆答案 典例分析 例1.(1)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的 方程为________. x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0‎ ‎(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.(x－2)2＋y2＝9‎ 例2.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎(1)求 的最大值和最小值； 最大值为，最小值为－ ‎(2)求y－x的最大值和最小值； 最大值为－2＋，最小值为－2－ ‎(3)求x2＋y2的最大值和最小值.‎ ‎ x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4 例3.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.‎ 解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为x＋3y－8＝0.‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，‎ 所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.‎ 例4．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．‎ ‎（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；‎ ‎（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，‎ 当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．‎ 解：（1）设P点的坐标为（x，y），…‎ 因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，‎ 所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…‎ 即（x﹣5）2+y2=16．‎ 所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…‎ ‎（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，‎ 则圆心M到直线l1的距离为，…‎ 因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…‎ 直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，‎ 联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…‎ 设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…‎ 故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…‎ 当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…‎ 因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…‎ 例5．已知圆直线过定点.‎ ‎ (1)若与圆相切，求直线的方程；‎ ‎ (2) 若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为 ‎ ，判断是否为定值，若是，求出其定值，若不是，请说明理由 ‎ ‎(1)3x-4y-3=0或x=1‎ ‎(2), =6.‎ 课后作业 ‎ ‎1.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是 (　D 　)‎ A.(－∞，－2)∪ B. C.(－2，0) D. ‎2.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 (　B　 )‎ A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0‎ ‎3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 (　B 　)‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有 (　C　 )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线 所在直线的斜率为 (　 D　)‎ A.－或－ B.－或－ C.－或－ D.－或－ ‎6.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是(　D　)‎ A.(，2) B.(，3) C. D. ‎7.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的 最小值为 (　D 　)‎ A.1 B.5 C.4 D.3＋2 ‎8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是______；最长弦所在直线的方程为______. x＋y－1＝0　x－y－1＝0‎ ‎9.若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是________.(1，2)　x2＋y2－2x－4y＋4＝0‎ ‎10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.74‎ ‎11过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的 长为________.4‎ ‎12．已知直线：，直线：，圆：. ‎ 若上任意一点到两直线，的距离之和为定值，则实数_______. ‎ ‎13．已知圆，直线，为直线上一动点，为坐标原点.‎ ‎（1）若直线交圆于两点，且，求实数的值；‎ ‎（2）若，过点做圆的切线，切点为，求的最小值．‎ ‎.解：（Ⅰ）∵，∴圆心到直线的距离为1，，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴求的最小值相当于求的最小值．‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎14.已知直线l:4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍).‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.‎