【数学】2018届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案(1) 11页

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1． 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ 2． 理解全称量词与存在量词的意义．‎ 3． 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 1． 以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假．‎ 2． 以选择题或填空题的形式考查含有一个量词的命题的否定．‎ 3． 与函数、方程、不等式等知识相结合，考查全称命题或特称命题的真假．‎ 一、命题p∧q，p∨q，的真假判断 p q p∧q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 二、常见词语的否定形式 正面词语 ‎＝‎ ‎＞‎ ‎＜‎ 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意 所有的 否定 ‎≠‎ ‎≤‎ ‎≥‎ 不是 不都是 至少两个 一个也没有 某个 某些 三、全称量词与存在量词 ‎1．全称量词与全称命题：(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．‎ ‎2．存在量词与特称命题：(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．‎ 四、含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，非p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，非p(x)‎ 考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1．已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“”形式的命题中，真命题有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎2．已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|12x＋1‎ C．∃x0∈R，x＋x0＝－1 D．∀x∈，tan x>sin x ‎3．下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 ‎1．全称命题真假的判断方法：(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．‎ ‎2．特称命题真假的判断方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．‎ 考向三 含有一个量词的命题的否定 例1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎2．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．‎ ‎3．写出下列命题的否定，并判断其真假．‎ ‎(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形；‎ ‎(3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.‎ ‎1．对含有一个量词的命题进行否定的方法：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.‎ ‎2．常见词语的否定形式：‎ 正面词语 是 都是 ‎>‎ 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使，p(x)真 否定词语 不是 不都是 ‎≤‎ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A，使p(x0)假 ‎3．要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与p的真假相反.‎ 考向四 根据命题真假确定参数的取值范围 例1．已知p：2x2－9x＋a<0，q：且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) ‎ C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)‎ ‎3．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ 根据命题的真假性求参数的方法步骤：‎ ‎1．求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围； 2．判断命题p，q的真假性；‎ ‎3．根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ 易错易误 命题的否定≠否命题 ‎☆答题模版1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　)‎ A．p：∀x∈A,2x∉B　　 B．p：∀x∉A,2x∉B C．p：∃x∉A,2x∈B D．p：∃x∈A,2x∉B ‎【解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．‎ 命题p是全称命题： ∀x∈A,2x∈B，则p是特称命题：∃x∈A,2x∉B.‎ ‎【答案】D.‎ ‎2．已知命题p：对任意x∈R，有cos x≤1，则(　　)‎ A．p：存在x∈R，使cos x≥1 B．p：对任意x∈R，有cos x≥1‎ C．p：存在x∈R，使cos x＞1 D．p：对任意x∈R，有cos x＞1‎ ‎【解析】因为命题p是全称命题，故p是特称命题，则为：存在x∈R，使cos x＞1.‎ ‎【答案】C ‎【防范措施】1．命题的否定是只否定这个命题的结论；而对于“若p，则q”形式的否命题为“若p，则q”．‎ ‎2．对于全(特)称命题的否定，书写时应从两方面着手：一是对量词或对量词符号进行改写；二是对命题的结论进行否定．两者缺一不可．‎ 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．下列命题是真命题的是(　　)‎ ‎①27是3的倍数或27是9的倍数； ②27是3的倍数且27是9的倍数；‎ ‎③平行四边形的对角线互相垂直且平分； ④平行四边形的对角线互相垂直或平分；‎ ‎⑤1是方程x－1＝0的根，且是方程x2－5x＋4＝0的根．‎ A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤‎ ‎2．若p是真命题，q是假命题，则(　　)‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．p是真命题 D．q是真命题 ‎3．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则(　　)‎ A．p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．p：∀x∈R，sin x≥1‎ C．p：∃x0∈R，sin x0＞1 D．p：∀x∈R，sin x＞1‎ ‎4．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0　　　　　 B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2‎ ‎5．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．∃x0∈R，－≥0‎ C．∀x∈N*，log2x＞0 D．∃x0∈R，cos x0＞x＋2x0＋3‎ ‎6．命题p：“已知0x2‎ C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a>1，b>1是ab>1的充分条件 ‎4．下列命题既是全称命题，又是真命题的个数是(　　)‎ ‎(1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；‎ ‎(3)对于任意的无理数x，x2是无理数； (4)存在一整数x，使得log2x＞0.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知命题p：∃x0∈R，cos x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则下列结论正确的是(　　)‎ A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧q是真命题 D．命题p∨q是假命题 ‎6．设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是(　　)‎ A．p、q中至少有一个为真　　 B．p、q中至少有一个为假 C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真，q为假 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．‎ ‎8．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎9．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为________．‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)‎ ‎10．(15分)已知命题p：关于x的方程x2＋2x＋a＝0有实数解，命题q：关于x的不等式x2＋ax＋a＞0的解集为R，若p∧q是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎11．(15分)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎12．(15分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：∀x∈，x＋＞c.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．‎ 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考向一：例1．【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，为假命题．【答案】B 2．【解析】命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|13时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．【答案】B ‎3．【解析】由于当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x＝x2为偶函数，故“∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)为偶函数”是真命题.【答案】A 考向三：例1．【解析】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．【答案】B 2．【解析】省略了全称量词“任何一个”‎ ‎，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.【答案】有些可以被5整除的数，末位不是0‎ ‎3．【解析】(1)p：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．‎ 考向四：例1．【解析】由得即20且c≠1，∴p：c>1.‎ 又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.即q：00且c≠1，∴q：c>且c≠1.‎ 又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．‎ ‎①当p真，q假时，{c|01}∩＝ 综上所述，实数c的取值范围是.‎ 基础自测：1-6．CDCBBC 7．【答案】(1)p：存在两个等边三角形，它们不相似．(2)p：∀x∈R，x2＋2x＋2≠0 8．【答案】(－，－1)∪(1，) 9．【答案】p、p∨q ‎10．【答案】[－2，2]‎ 能力提升：1-6．CBDACC 7．【答案】存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根 8．【答案】[－8,0] 9．【答案】(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ ‎10．【解析】因为p∧q是真命题．所以p和q都为真命题，即p为假命题且q为真命题．①若p为假命题，则Δ1＝4－4a＜0，即a＞1. ②若q为真命题，则Δ2＝a2－4a＜0，所以0＜a＜4.由①②知，实数a的取值范围是{a|1＜a＜4}．‎ ‎11．【解析】由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由得a＝1或a≤－2‎ ‎ 故实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.‎ ‎12．【解析】若命题p为真，则0＜c＜1.若命题q为真，则c＜min，又当x∈时，2≤x＋≤，则必须且只需2＞c，即c＜2.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p、q必有一真一假．当p为真，q为假时，无解；当p为假，q为真时，所以1≤c＜2.综上，c的取值范围为[1,2)．‎