2020-2021年新高三数学一轮复习考点 函数的单调性与奇偶性 23页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的单调性与奇偶性 一．最新考试说明： 1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 9】设函数   ln21ln21fxxx  ，则  fx （ ） A．是偶函数，且在 1 ,2  单调递增 B．是奇函数，且在 11,22  单调递减 C．是偶函数，且在 1, 2   单调递增 D．是奇函数，且在 1, 2   单调递减 【答案】D 【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出  fx为奇函数，排除 AC；当 11,22x  时，利用函数单调性 的性质可判断出 单调递增，排除 B；当 1, 2x    时，利用复合函数单调性可判断出 单调 递减，从而得到结果． 【解析】由   ln 21ln 21fxxx  得 定义域为 1 2xx ，关于坐标原点对称， 又    ln 1 2ln 21ln 21ln 21fxxxxxf x     ，  fx 为定义域上的奇函数，可排 除 AC；当 时，      ln 2 1 ln 1 2f x x x    ，  ln 2 1yxQ 在 11,22  上单调递增，  ln 1 2yx在 上单调递减， 在 上单调递增，排除 B；当 时，       2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1 xf x x x xx          ， 21 21x   在 1, 2   上单调递减，   lnf  在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D 正确．故 选 D． 【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、 逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义． 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 12】若 242log42logabab ，则 （ ） A． 2ab B． 2ab C． 2ab D． 2ab 【答案】B 【思路导引】设 2()2log xfxx  ，利用作差法结合 ()fx的单调性即可得到答案． 【解析】设 ，则 为增函数，∵ 2 2422log42log2logabb abb ， ∴ ( ) (2 )f a f b  2 222log(2log2)abab 22 222log(2log2)bbbb 2 1l og 1 02    ， ∴ ( ) (2 )f a f b  ，∴ ．∴ 2( ) ( )f a f b  2 2 222 log (2 log )abab    222 222 log (2 log )bbbb    22 22 2 l o gbb b ，当 1b  时， 2()()20fafb  ，此时 2( ) ( )f a f b  ，有 ；当 2b  时， 2()()10fafb  ，此时 2( ) ( )f a f b  ，有 ，∴C、D 错误，故选 B． 【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用，本题考查了函数与方程，考查函数的单调性，考查数学 运算、数学建模、逻辑推理等学科素养．解题关键是构造函数，应用函数的单调性解决问题． 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 12 理数 11】若 yxyx   3322 ，则 （ ） A．  ln10yx B．ln(1)0yx C． 0ln  yx D． 0ln  yx 【答案】A 【思路导引】将不等式变为 2323xxyy  ，根据   23ttft 的单调性知 xy ，以此去判断各个 选项中真数与 1 的大小关系，进而得到结果． 【解析】由 2 2 3 3x y x y   得： ，令 ， 2 xy  为 R 上的增函数， 3 xy  为 上的减函数，  ft 为 上的增函数， xy ， 0yxQ ， 11yx ，  ln10yx ，则 A 正确，B 错误； xyQ 与 的大小不确定，故 CD 无法确定，故选 A． 【专家解读】本题的特点是函数单调性的灵活运用，本题考查了转化与化归的数学思想，考查函数的单调 性，考查数式的大小比较，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是构造适当的函数，应用函数 的单调性解决问题． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 10】设函数   3 3 1f x x x，则  fx （ ） A．是奇函数，且在  0,  单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是偶函数，且在 单调递减 【答案】A 【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为  0xx ，利用定义可得出函数  fx为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解析】∵函数   3 3 1f x x x 定义域为 ，其关于原点对称，而    f x f x   ， ∴函数 为奇函数．又∵函数 3yx 在 ( )0, +? 上单调递增，在 ( ),0-? 上单调递增，而 3 3 1yxx  在 上单调递减，在 上单调递减，∴函数 在 上单调递增，在 上单调递增．故选 A． 【专家解读】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶 性、单调性的含义． 【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数   2 eexx fx x  的图像大致为 【答案】B 【解析】      2 ee0,, xx xfxf xf x x     为奇函数，舍去 A；   11 e e 0f    ，∴ 舍去 D；          2 43 e ee e 2 2 e2 e , x xx x xxxxxxfx xx      2x时，   0fx  ， ()fx单调 递增，舍去 C.因此选 B. 【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置， 由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性， 判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 【2020 年福建高三模拟】下列函数为奇函数的是 A． yx B． sinyx C． c osyx D． xxy e e  【答案】D 【解析】∵函数 yx 的定义域为[0, ) ，不关于原点对称，所以函数 yx 为非奇非偶函数，排除 A； 因为 | s i n |yx 为偶函数，所以排除 B；因为 c osyx 为偶函数，所以排除 C；因为 () xxyfxee  ， ()()() xxxxfxeeeefx    ，所以 () xxyfxee  为奇函数． 3．利用函数奇偶性求函数值及求参数值． 【2020 年高考江苏卷 7】已知 ()y f x 是奇函数，当 0x  时， 2 3()f x x  ，则 ( 8 )f  的值是 ． 【答案】 4 【解析】 ()y f x 是奇函数，当 0x  时， 2 3()f x x  ，则 2 3(8)(8)84ff ． 【专家解读】本题考查了函数的奇偶性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用函数的奇偶性． 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 ()fx是奇函数，且当 0x  时， ()e axfx .若 (ln 2)8f  ，则 a  __________． 【答案】 3 【解析】由题意知 ()fx是奇函数，且当 0x  时， ，又因为ln 2 (0,1) ， ， 所以 ln2e8a ，两边取以 e 为底数的对数，得 ln 2 3ln 2a，所以 3a ，即 3a  ． 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算． 【2015 新课标Ⅰ】若函数 2()ln()fxxxax 为偶函数，则 a = 【答案】1 【解析】由题意 22( ) ln( ) ( ) ln( )        f x x x a x f x x a x x ，所以 2 2 1    a x x a x x ， 解得 1a = ． 【2012 安徽】若函数 ( ) | 2 |f x x a的单调递增区间是 ),3[  ，则 a =________． 【答案】 6 【解析】由 2 2() 2 2 axax fx axax     … 可知 ()fx的单调递增区间为 [ , ) 2 a  ，故 362 a a ． 二．命题方向预测： 1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2．函数的奇偶性是高考考查的热点． 3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值及求参数值等问题 是重点，也是难点． 4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结： 1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确 定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等． 2．若奇函数定义域中有 0，则必有 (0 ) 0f  ．即 0 ( ) fx 的定义域时， (0 ) 0f  是 ()fx为奇函数的必要 非充分条件． 对于偶函数而言有： ()()(||)fxfxfx ． 3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填 空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等． 4．若函数  fx的定义域关于原点对称，则 可以表示为          11 22fxfxfxfxfx ， 该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和． 5．既奇又偶函数有无穷多个（ ()0fx ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． 6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数 要考虑定义域的变化（即复合有意义）． 7．函数  xfy  与函数  xfy  的图像关于直线 0x （ y 轴）对称． 8．函数 与函数  xfy  的图像关于直线 0y （ x 轴）对称． 9．函数 与函数  y f x   的图像关于坐标原点中心对称． 10．函数 xya 与函数  log0,1ayxaa 的图像关于直线 yx 对称． 四、名师二级结论： 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 1y= x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数 的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系 时，才能判断其奇偶性． 两个应用 1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程，从而可得 f(x)的 解析式． 2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式： f(－x)＝±f(x)  f(－x)±f(x)＝0  () () fx fx  ＝±1，f(x)≠0． 五、课本经典习题： (1)新课标人教 A 版必修一第 36 页练习第 1（3）题 判断下列函数的奇偶性： ( ) 2 1xfx x += ． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2)新课标人教 A 版必修一第 44 页复习参考题 A 组第八题 设 2 2 1() 1 xfx x   ，求证：（1） ( ) ( )f x f x ；（ 2） 1( ) ( )f f xx  ． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． (3)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 对于函数    2 21xfxaaR  ．（1）探索函数 ()fx的单调性；（2）是否存在实数 a 使 为奇函数？ 【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展． (4)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 4 题 设 ( ) , ( )22 x x x xe e e ef x g x ，求证： （1）    22()()1gxfx ；（ 2） (2)2()()fxfxgx；（ 3）    22(2)()()gxgxfx ． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示： (1)函数的奇偶性与导函数交汇 例 1．（ 2020·四川高三三模）已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 ()fx ．若 0x  时， ( ) 2f x x  ， 则不等式 2(2)(1)321fxfxxx 的解集是___________． 【答案】 11, 3  【解析】 【分析】构造 2()()gxfxx，先利用定义判断 ()gx 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化 为 (2 ) ( 1)g x g x，结合奇偶性，单调性求解不等式即可. 【详解】令 ，则 是 R 上的偶函数， ( ) ( ) 2 0g x f x x   ，则 在(0, ) 上递 减，于是在 ( ,0 ) 上递增．由 得 22(2 ) (2 ) ( 1) ( 1)f x x f x x     ，即 ，于是 (| 2|)(|1|)gxgx ，则| 2 | | 1|xx，解得 11 3x ．故答案为： 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于较难题. (2)函数的奇偶性与函数的零点交汇 例 2．已知函数  fx是定义在   ,0 0,   上的偶函数，当 0x  时，     12 1,0 2 { 1 2 , 22 x x fx f x x       ， 则函数    41gxfx 的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】求函数    41gxfx 的零点个数只需考查方程   1 4fx 的实根个数，当02x时，   1 1 1 2 1,1 2 2 1 { 1 1,0 12 x x x x fx x              ，  fx在 0,1 上递减，在 1,2 上递增，  21f  ，值域为  0,1 .当 2x  时，    1 22fxfx  ，当 24x时，函数  fx的值域为 10, 2   ，当 46x时， 函数  fx的值域为 10, 4   ，当68x时，函数  fx的值域为 10, 16   ，   1 4fx 在 0x  上有5 个 实根，又函数为偶函数，   1 4fx 在    ,00, 上有 10 个实根，函数    41gxfx 的零点 个数为 10 个，选 D. (3) 函数的奇偶性、单调性与特称命题交汇 例 3．（2020·河北正定中学高三月考）已知定义域为 I 的偶函数 ()fx在 (0, ) 上单调递增，且 0xI， 0()0fx  ，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A． 2()||fxxx  B． ()22 xxfx  C． 2()log||fxx  D． 4 3()f x x  【答案】C 【解析】 由题意，函数 的图象关于 y 轴对称，但在 1(0 , )2 单调递减，在 1( , )2  单调递增， 不满足题意；函数 的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；函数 4 3 34 1( )0f xx x   ，即函数的值域为[0,) ，不满足题意，故选 C． 【考点分类】 热点一 函数的单调性 1.【2017 北京，理 5】已知函数 1( ) 3 ( )3 xxfx ，则 ()fx （A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 2.已知 )( xf 是定义域为实数集 R 的偶函数， 01  x ， 02  x ，若 21 xx  ，则 0)()( 12 12   xx xfxf ．如 果 4 3)3 1( f ， 3)log(4 8 1 xf ，那么 x 的取值范围为 （ ） （A） )2 1,0( （B） )2,2 1( （C） 1(,1](2,)2  （D） 11(0, ) ( , 2)82 【答案】B 【解析】∵ 01  x ， 02  x ， 21 xx  ，则 ，∴定义在实数集 上的偶函数 在 ),0[  上是减函数．∵ 3)log(4 8 1 xf ， ∴ 4 3)log( 8 1 xf ， 即 )3 1()log( 8 1 fxf  ． ∴ , 3 1log ,0log 8 1 8 1        x x 或 , 3 1log ,0log 8 1 8 1        x x 解得 12 1  x 或 21  x ．∴ 22 1  x ．故选 B． 3．（ 2020·辽宁高三开学考试）已知函数  fx在定义域(0, ) 上是单调函数，若对任意 (0, )x  ，都有 1[()]2ffx x，则 1()7f 的值是（ ）. A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】设   txxf  1 ，所以   2tf ，那么   xtxf 1 ，当 tx   0t 时， 21  tt ，解得 1t ， 所以   xxf 11 ，那么 8717 1     f ，故选 D. 4. （2020·河南鹤壁高中高三月考）已知 ，函数 ，若 在 上是单调减函 数，则实数 的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 在 上上是单调减函数， ， ，设 ， ，则 . 【方法规律】 1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间． (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区 间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 3．函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则 f(x1)