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- 2021-06-16 发布
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第一篇 小考点抢先练
,
基础题不失分
第
6
练 计数原理
明晰
考
情
1.
命题角度:考查两个计数原理的简单应用;二项式定理主要考查特定项、系数和系数和
.
2
.
题目难度:中低档难度
.
核心考点突破练
栏目索引
易错易混专项练
高考押题冲刺练
考点一 两个计数原理
要点重组
(1)
分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的
.
(2)
分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分,步与步之间是相关联的
.
核心考点突破练
解析
由题意知本题是一个计数原理的应用,首先对数字分类,当数字不含
0
时,从
9
个数字中选三个,
1.
在
100,101,102
,
…
,
999
这些数中,各位数字按严格递增
(
如
“
145
”
)
或严格递减
(
如
“
321
”
)
顺序排列的数的个数是
A.120
B.204
C.168
D.216
√
根据分类加法计数原理知共有
168
+
36
=
204(
个
)
,故选
B.
答案
解析
2.
如图,正五边形
ABCDE
中,若把顶点
A
,
B
,
C
,
D
,
E
染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同
,
则
不同的染色方法共有
A.30
种
B.27
种
C.24
种
D.21
种
解析
由题意知本题需要分类来解答
,首先
A
选取一种颜色,有
3
种情况
.
如果
A
的两个相邻点颜色相同,有
2
种情况;
这时最后两个点也有
2
种情况;
如果
A
的两个相邻点颜色不同,有
2
种情况;
这时最后两个点有
3
种情况
.
所以共有
3
×
(2
×
2
+
2
×
3)
=
30(
种
)
方法
.
答案
解析
√
3.
在
1,2,3,4,5,6,7
的任一排列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
,
a
6
,
a
7
中,使相邻两数都互质的排列方式共有
A.576
种
B.720
种
C.864
种
D.1
152
种
√
解析
由题意可知,
2,4,6
不能相邻,且
6
与
3
也不能相邻,
答案
解析
再插入
6
,由于
1,3,5,7
四个数字产生
5
个空位
,
所以
6
只有
3
个空位可以插,
2
和
4
则是从其余
4
个空位中选择
2
个空位插入,
4.
某校开设
5
门不同的数学选修课,每位同学可以从中任选
1
门或
2
门课学习,甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的,则不同的选法共有
A.330
种
B.420
种
C.510
种
D.600
种
√
答案
解析
解析
由题意知,就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数:
因此满足题意的方法共有
60
+
180
+
90
=
330(
种
).
考点二 排列组合问题
方法技巧
(1)
解排列组合问题的三大原则:先特殊后一般,先取后排,先分类后分步
.
(2)
排列组合问题的常用解法:
①
特殊元素
(
特殊位置
)
优先安排法
.
②
相邻问题捆绑法
.
③
不相邻问题插空法
.
④
定序问题缩倍法
.
5.3
名医生和
6
名护士被分配到
3
所学校为学生体检,每所学校分配
1
名医生和
2
名护士,则不同的分配方法共有
A.90
种
B.180
种
C.270
种
D.540
种
√
答案
解析
6.
张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园
.
为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这六人的入园顺序排法种数为
A.12
B.24 C.36
D.48
解析
将两位爸爸排在两端,有
2
种排法
;
将
两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上,
答案
解析
√
7.
《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军
“
蛟龙突击队
”
奉命执行撤侨任务的故事
.
撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务
A
必须排在前三位,且任务
E
,
F
必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有
A.240
种
B.188
种
C.156
种
D.120
种
∴
共有
24
+
72
+
24
=
120(
种
)
方案
.
答案
解析
√
8.
为促进城乡一体化进程,某单位选取了
6
户家庭到
4
个村庄体验农村生活,要求将
6
户家庭分成
4
组,其中
2
组各有
2
户家庭,另外
2
组各有
1
户家庭,则不同的分配方案的种数是
A.216
B.420 C.720
D.1 080
解析
先分组,每组含有
2
户家庭的有
2
组,
答案
解析
√
考点三 二项式定理的应用
方法技巧
(1)
求二项展开式的特定项的实质是通项公式
T
k
+
1
=
a
n
-
k
b
k
的应用,可通过确定
k
的值再代入求解
.
(2)
二项展开式各项系数和可利用赋值法解决
.
(3)
求二项展开式系数最大的项,一般采用不等式组法:设展开式各项
系
数
分别为
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
+
1
,则最大的系数
A
k
满足
9.(2018·
全国
Ⅲ
)
的
展开式中
x
4
的系数为
A.10 B.20 C.40
D.80
令
10
-
3
k
=
4
,得
k
=
2.
√
答案
解析
10.
使
(
n
∈
N
*
)
的展开式中含有常数项的最小的
n
为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
答案
解析
11.
已知
(1
+
x
)
10
=
a
0
+
a
1
(1
-
x
)
+
a
2
(1
-
x
)
2
+
…
+
a
10
(1
-
x
)
10
,则
a
8
等于
A.
-
5
B.5
C.90
D.180
答案
解析
√
解析
∵
(1
+
x
)
10
=
[
2
-
(
1
-
x
)]
10
=
a
0
+
a
1
(1
-
x
)
+
a
2
(1
-
x
)
2
+
…
+
a
10
(1
-
x
)
10
,
答案
解析
√
1.
在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施
6
个程序,其中程序
A
只能出现在第一步或最后一步,程序
B
和
C
在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有
A.34
种
B.48
种
C.96
种
D.144
种
易错易混专项练
解析
由题意知,程序
A
只能出现在第一步或最后一步,
√
答案
解析
根据分步乘法计数原理可知,
共有
2
×
48
=
96(
种
)
结果,故选
C.
2.
某公司有五个不同的部门,现有
4
名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为
A.60
B.40 C.120
D.240
答案
解析
√
3.
若
(1
+
y
3
)
(
n
∈
N
*
)
的展开式中存在常数项,则常数项为
_____.
答案
解析
-
84
若存在常数项
解题秘籍
(1)
解有限制条件的排列组合问题,要按照元素
(
或位置
)
的性质进行分类,按事件发生的顺序进行分步
.
(2)
平均分组问题中,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况
.
(3)
求各项系数和要根据式子整体结构,灵活赋值;对复杂的展开式的指定项,可利用转化思想,通过二项展开式的项解决
.
1.
安排
3
名志愿者完成
4
项工作,每人至少完成
1
项,每项工作由
1
人完成,则不同的安排方式共有
A.12
种
B.18
种
C.24
种
D.36
种
√
解析
由题意可得,其中
1
人必须完成
2
项工作,其他
2
人各完成
1
项工作,
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
高考押题冲刺练
2.
某大型花展期间,安排
6
位志愿者到
4
个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,则不同的安排方案共有
A.168
种
B.156
种
C.172
种
D.180
种
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∴
共有
12
+
96
+
48
=
156(
种
)
方案
.
3.
将
18
个参加青少年科技创新大赛的名额分配给
3
所学校,要求每所学校至少有
1
个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为
A.96
B.114 C.128
D.136
√
分配名额相等有
22
种
(
可以逐个数
)
,
则
满足题意的方法有
136
-
22
=
114(
种
).
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
. (
1
+
x
)
6
的展开式中
x
2
的系数为
A.15 B.20 C.30
D.35
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
故选
C.
5.
从
5
位男实习教师和
4
位女实习教师中选出
3
位教师派到
3
个班实习班主任工作,每班派一名,要求这
3
位实习教师中男女都要有,则不同的选派方案共有
A.210
种
B.420
种
C.630
种
D.840
种
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6.
已知
(1
+
ax
)(1
+
x
)
5
的展开式中
x
2
的系数为
5
,则
a
等于
A.
-
4
B.
-
3
C
.
-
2
D
.
-
1
√
所以
10
+
5
a
=
5
,
a
=-
1.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.(2
x
-
1)
10
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
9
x
9
+
a
10
x
10
,则
a
2
+
a
3
+
…
+
a
9
+
a
10
的值为
A.
-
20
B.0 C.1 D.20
√
解析
令
x
=
1
,得
a
0
+
a
1
+
a
2
+
…
+
a
9
+
a
10
=
1
,
再令
x
=
0
,得
a
0
=
1
,所以
a
1
+
a
2
+
…
+
a
9
+
a
10
=
0
,
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以
a
2
+
a
3
+
…
+
a
9
+
a
10
=
20.
8.
登山运动员
10
人,平均分为两组,其中熟悉道路的有
4
人,每组都需要
2
人,那么不同的分配方法种数是
A.30
B.60 C.120 D.240
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
9.(2018·
浙江
)
从
1,3,5,7,9
中任取
2
个数字,从
0,2,4,6
中任取
2
个数字,一共可以组成
______
个没有重复数字的四位数
.(
用数字作答
)
1 260
综上,四位数的个数为
720
+
540
=
1 260.
10.(2018·
浙江
)
二项式
的
展开式的常数项
是
____.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
11.
设
m
为正整数,
(
x
+
y
)
2
m
展开式的二项式系数的最大值为
a
,
(
x
+
y
)
2
m
+
1
展开式的二项式系数的最大值为
b
.
若
13
a
=
7
b
,则
m
=
____.
答案
解析
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12.
公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用
“
自主编排
”
的方式进行编排
.
某人欲选由
A
,
B
,
C
,
D
,
E
中的两个不同的字母和
1,2,3,4,5
中的三个不同数字
(
三个数字都相邻
)
组成一个号牌,则他选择号牌的方法种数为
________.
3 600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
本课结束
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