【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第十章第二节随机抽样学案 12页

第二节 随机抽样 1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本． (1)先将总体的 N 个个体编号； (2)确定分段间隔 k，对编号进行分段．当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k＝N n ； (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l＋k，再加 k 得到第 3 个个体编号 l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到 的可能性最大．( ) (2)从 100 件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿 5 次，是简单随机抽 样．( ) (3)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．( ) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学 生，这样对被剔除者不公平．( ) (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ) (6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取 60 名代表，则可用分层 抽样方法抽取．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ 2．(教材习题改编)老师在班级 50 名学生中，依次抽取学号为 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 的学生进行作业检查，这种抽样方法是( ) A．随机抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．以上都不是 解析：选 C 因为抽取学号是以 5 为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽 样． 3．利用简单随机抽样从含有 8 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本，则总体中每 个个体被抽到的概率是________． 解析：总体个数为 N＝8，样本容量为 M＝4，则每一个个体被抽到的概率为 P＝M N ＝4 8 ＝ 1 2. 答案：1 2 4．(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶3∶4，现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 ________名学生． 解析：设应从高二年级抽取 x 名学生，则 x 50 ＝ 3 10 ， 解得 x＝15. 答案：15 5．已知某商场新进 3 000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方 法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为________． 解析：每组袋数：d＝3 000 150 ＝20， 由题意知这些号码是以 11 为首项，20 为公差的等差数列． a61＝11＋60×20＝1 211. 答案：1 211 考点一 简单随机抽样 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 简单随机抽样在高考中单独考查的频率较小，主要涉及随机抽样的特点及随机数法的 应用.题型为选择题或填空题，难度较小. 1．以下抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确 定号码的后四位为 2 709 的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重 量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构 改革的意见 D．用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 解析：选 D 选项 A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项 C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项 D 是简单随机抽样． 2．总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个 个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字，则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C．02 D．01 解析：选 D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是 08,02,14,07,01，所 以第 5 个个体的编号是 01. 3．利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本．若第二次抽取时， 余下的每个个体被抽到的概率为1 3 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C. 5 14 D.10 27 解析：选 C 根据题意， 9 n－1 ＝1 3 ， 解得 n＝28. 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为10 28 ＝ 5 14. [怎样快解·准解] 1．简单随机抽样的特点 (1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个 特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 2．抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时 可用抽签法． [易错提醒] 利用随机数法抽取样本时，一定要注意“重复的号码”只能记一次，如第 2 题易误认为第 5 个个体编号为 02 而误选． 考点二 系统抽样 重点保分型考点——师生共研 系统抽样在高考中单独考查的频率也较小，主要考查系统抽样的抽取方法.题型为选择 题或填空题，难度较小. [典题领悟] 1．从编号为 001,002，…，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知 样本中编号最小的两个编号分别为 007,032，则样本中最大的编号应该为( ) A．480 B．481 C．482 D．483 解析：选 C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令 a1＝7，a2＝32，故 d＝25，所以 7＋25(n－1)≤500，所以 n≤20，最大编号为 7＋25×19＝482. 2．中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进 行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体， 抽样间隔为________． 解析：把 502 名观众平均分成 50 组，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每 组有 10 名观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法 从 502 名观众中抽取 2 名观众，这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的 500 名观众编号为 1,2,3，…，500，并均匀分成 50 段，每段含500 50 ＝10 个个体．所以需剔除 2 个个体，抽样间 隔为 10. 答案：2 10 [解题师说] 1．掌握“4 特点” (1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)每个个体被抽到的机会均相等． (3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 k＝N n. 2．谨防“1 易错” 用系统抽样法抽取样本，当N n 不为整数时，取 k＝ N n ，即先从总体中用简单随机抽样 的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．(如典题领悟第 2 题) [冲关演练] 1．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2，…，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选 B 由系统抽样定义可知，所分组距为840 42 ＝20，每组抽取一人，因为包含整 数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为720－480 20 ＝12. 2．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力 检查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号．已知从 33～48 这 16 个数中抽到的数是 39， 则在第 1 小组 1～16 中随机抽到的数是( ) A．5 B．7 C．11 D．13 解析：选 B 把 800 名学生分成 50 组，每组 16 人，各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列，39 在第 3 组，所以第 1 组抽到的数为 39－32＝7. 考点三 分层抽样 重点保分型考点——师生共研 分层抽样是每年高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，有时也出现在解答题中， 难度较小，属于低档题. [典题领悟] 1．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 解析：应从丙种型号的产品中抽取 60× 300 200＋400＋300＋100 ＝18(件)． 答案：18 2．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 1 200 的样本，三个年级学生人数之比依次为 k∶5∶3，已知高一年级共抽取了 240 人，则 高三年级抽取的人数为________． 解析：因为高一年级抽取学生的比例为 240 1 200 ＝1 5 ，所以 k k＋5＋3 ＝1 5 ，解得 k＝2，故高 三年级抽取的人数为 1 200× 3 2＋5＋3 ＝360. 答案：360 3．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 篮 球组 书 画组 乐 器组 高 一 45 30 a 高 二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三 个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为________． 解析：由题意知 12 45＋15 ＝ 30 45＋15＋30＋10＋a＋20 ，解得 a＝30. 答案：30 [解题师说] 1．牢记“2 关系” 进行分层抽样的相关计算时，常用到的 2 个关系 (1) 样本容量 n 总体的个数 N ＝该层抽取的个体数 该层的个体数 ； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 2．谨防“1 失误” 分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 ni＝n·Ni N(i＝1,2，…，k) 个个体(其中 i 是层数，n 是抽取的样本容量，Ni 是第 i 层中个体的个数，N 是总体容量)． [冲关演练] 1．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3∶5∶7，现用分层抽样 的方法抽取容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n＝( ) A．54 B．90 C．45 D．126 解析：选 B 依题意得 3 3＋5＋7 ×n＝18，解得 n＝90，即样本容量为 90. 2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从 A，B，C 三所 中学抽取 60 名教师进行调查，已知 A，B，C 三所学校中分别有 180,270,90 名教师，则从 C 学校中应抽取的人数为( ) A．10 B．12 C．18 D．24 解析：选 A 根据分层抽样的特征，从 C 学校中应抽取的人数为 90 180＋270＋90 ×60＝ 10. 普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜) A 级——基础小题练熟练快 1．从 2 018 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简 单随机抽样法从 2 018 名学生中剔除 18 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法 抽取，则每名学生入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 50 2 018 D．都相等，且为 1 40 解析：选 C 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N ，故每 名学生入选的概率都相等，且为 50 2 018. 2．(2018·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收 入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 解析：选 B 因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭 收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负 担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法． 3．从 30 个个体(编号为 00～29)中抽取 10 个样本，现给出某随机数表的第 11 行到第 15 行(见下表)，如果某人选取第 12 行的第 6 列和第 7 列中的数作为第一个数并且由此数向 右读，则选取的前 4 个的号码分别为( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07 解析：选 D 在随机数表中，将处于 00～29 的号码选出，满足要求的前 4 个号码为 17,00,02,07. 4．(2017·怀化二模)某校高三(1)班共有 48 人，学号依次为 1,2,3，…，48，现用系统抽 样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知学号为 3,11,19,35,43 的同学在样本中，则还有一 个同学的学号应为( ) A．27 B．26 C．25 D．24 解析：选 A 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知 相邻两个学号之间的差为 11－3＝8，所以在 19 与 35 之间还有 27. 5．某小学共有学生 2 000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400,300,300,200. 为做好小学放学后“快乐 30 分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样 本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( ) A．120 B．40 C．30 D．20 解析：选 B ∵一年级学生共 400 人，抽取一个容量为 200 的样本，∴用分层抽样的方 法抽取的一年级学生人数为 400 2 000 ×200＝40. 6．采用系统抽样方法从 1 000 人中抽取 50 人做问卷调查，将他们随机编号 1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.若抽到的 50 人中，编号 落入区间[1,400]的人做问卷 A，编号落入区间[401,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C， 则抽到的人中，做问卷 C 的人数为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选 A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为 8，公 差 d＝1 000 50 ＝20 的等差数列{an}，∴通项公式 an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令 751≤20n－ 12≤1 000，得763 20 ≤n≤253 5 ，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷 C 的共有 12 人． 7．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表： 类 别 粮 食类 植物 油类 动物性食 品类 果 蔬类 种 数 40 10 30 20 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取样本， 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________． 解析：因为总体的个数为 40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取 的植物油类食品种数为 10 100 ×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为 20 100 ×20＝4，所以抽取的植 物油类与果蔬类食品种数之和为 2＋4＝6. 答案：6 8．某市教育主管部门为了全面了解 2018 届高三学生的学习情况，决定对该市参加 2018 年高三第一次全国大联考统考(后称统考)的 32 所学校进行抽样调查，将参加统考的 32 所学 校进行编号，依次为 1 到 32，现用系统抽样的方法抽取 8 所学校进行调查，若抽到的最大 编号为 31，则最小的编号是________． 解析：根据系统抽样法，将总体分成 8 组，组距为32 8 ＝4，若抽到的最大编号为 31，则 最小的编号是 31－4×7＝3. 答案：3 9．一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月 的产量如下表(单位：辆)： 轿 车 A 轿 车 B 轿 车 C 舒 适型 100 150 z 标 准型 300 450 600 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆， 则 z 的值为________． 解析：由题意可得 50 100＋300＋150＋450＋z＋600 ＝ 10 100＋300 ， 解得 z＝400. 答案：400 10．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层 抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取 的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命 平均值分别为 1 020 小时、980 小时、1 030 小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使 用寿命为________小时． 解析：第一分厂应抽取的件数为 100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5 ＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015. 答案：50 1 015 B 级——中档题目练通抓牢 1．某工厂在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采 用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a，b，c，且 a，b， c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( ) A．800 双 B．1 000 双 C．1 200 双 D．1 500 双 解析：选 C 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占 抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 12 月份生 产总数的三分之一，即为 1 200 双皮靴． 2．将参加夏令营的 600 名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一 个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在 A 营区，从 301 到 495 在 B 营区，从 496 到 600 在 C 营区，则三个营区被抽中的人数依 次为( ) A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9 解析：选 B 依题意及系统抽样的意义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组， 每一组各有 12 名学生，第 k(k∈N*)组抽中的号码是 3＋12(k－1)．令 3＋12(k－1)≤300，得 k≤103 4 ，因此 A 营区被抽中的人数是 25；令 300<3＋12(k－1)≤495，得103 4