【数学】2018届一轮复习人教A版函数与方程函数的模型及其应用学案 9页

第8讲　函数与方程、函数的模型及其应用 最新考纲　1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.‎ ‎(3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.‎ ‎2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－‎‎4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1，0)，‎ ‎(x2，0)‎ ‎(x1，0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3.常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).‎ ‎4.指数、对数、幂函数模型性质比较 ‎　 　函数 性质　　　‎ y＝ax ‎(a>1)‎ y＝logax ‎(a>1)‎ y＝xn ‎(n>0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化 而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax0，因此函数f(x)有且只有一个零点.‎ 答案　B ‎3.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A.y＝cos x B.y＝sin x C.y＝ln x D.y＝x2＋1‎ 解析　由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点.‎ 答案　A ‎4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)‎ A.100只 B.200只 C.300只 D.400只 解析　由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.‎ 答案　B ‎5.函数f(x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　因为函数f(x)＝ax＋1－‎2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－‎3a＋1)·(1－a)<0，解得0，‎ f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，‎ 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.‎ ‎(2)法一　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：‎ 可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).‎ 法二　易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，‎ 且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.‎ 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 ‎(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.‎ ‎(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.‎ ‎【训练1】 已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)‎ 解析　∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，‎ f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.‎ 故f(x)的零点x0∈(2，3).‎ 答案　C 考点二　函数零点个数的判断 ‎【例2】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________.‎ ‎(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________.‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍).所以在(－∞，0]上有一个零点.‎ 当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.‎ 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.‎ ‎(2)令f(x)＝2x|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝.‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.‎ 答案　(1)2　(2)B 规律方法　函数零点个数的判断方法：‎ ‎(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；‎ ‎(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.‎ ‎【训练2】 (2015·湖北卷)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.‎ 解析　f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.‎ 答案　2‎ 考点三　函数零点的应用 ‎【例3】 (2017·昆明调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围.‎ 解　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.‎ 又f(x)为偶函数，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，‎ 因此函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称.‎ 又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.‎ 要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根.‎ 由函数的图象(如图)，必须有即解之得0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.‎ 解析　(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.‎ 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，‎ ‎∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.‎ ‎(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋‎4m＝(x－m)2＋‎4m－m2，‎ ‎∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有‎4m－m20.又m>0，解得m>3.‎ 答案　(1)D　(2)(3，＋∞)‎ 考点四　构建函数模型解决实际问题(易错警示)‎ ‎【例4】 (1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎(2)(2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎①求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.‎ ‎(1)解析　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.‎ 依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.‎ 两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3‎ ‎∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.‎ 答案　B ‎(2)解　①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，‎ ‎∴C(x)＝(0≤x≤10)，‎ ‎∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).‎ ‎②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.‎ 令3x＋5＝t，t∈[5，35]，‎ 则y＝2t＋－10≥2－10＝70，当且仅当2t＝即t＝20时“＝”成立，此时由3x＋5＝20得x＝5.‎ ‎∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，‎ 因此f(x)的最小值为70.‎ ‎∴隔热层修建‎5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.‎ 规律方法　(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：‎ ‎①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ ‎②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.‎ ‎③构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.‎ ‎(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原.‎ 易错警示　求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.‎ ‎【训练4】 (1)(2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是________小时.‎ ‎(2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.‎ ‎①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；‎ ‎②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时).‎ ‎(1)解析　由已知条件，得192＝eb 又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2‎ ‎∴e11k＝＝＝，‎ 设该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是t小时，‎ 则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.‎ 答案　24‎ ‎(2)解　①由题意，得当0≤x≤20时，v(x)＝60；‎ 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，‎ 所以解得 故当0≤x≤200时，函数v(x)的表达式为 v(x)＝ ‎②依题意并由(1)可得 f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，‎ 所以f(x)在区间[0，20]上的最大值为f(20)＝60×20＝1 200；‎ 当20