【数学】2020届一轮复习人教A版　六大核心素养学案 14页

一、数学抽象、直观想象 素养1　数学抽象 是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.‎ 例1　(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：‎ ‎①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；‎ ‎②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；‎ ‎③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；‎ ‎④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．‎ 其中，正确信息的序号是________．‎ 答案　①②③‎ 解析　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．‎ ‎(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？‎ 解　楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．‎ 楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.‎ 楼梯级数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ ‎11‎ 走法种数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎？‎ 从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现：‎ 前两个走法种数之和是下一个走法种数．‎ 于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．‎ ‎1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)‎ A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 答案　B 解析　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，‎ 联立方程组得 消去c化简得 解得 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，‎ 所以当t＝＝3.75时，‎ p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．‎ ‎2．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：‎ 维生素A(单位/kg)‎ 维生素B(单位/kg)‎ 甲 ‎3‎ ‎5‎ 乙 ‎4‎ ‎2‎ 分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120‎ 个单位，则混合物重量的最小值为________ kg.‎ 答案　30‎ 解析　设甲食物重x kg，乙食物重y kg，‎ ‎∵A，B的含量分别不低于100,120个单位，‎ ‎∴ 由得 ‎∴A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直线z＝x＋y，‎ 由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为20＋10＝30.‎ 素养2　直观想象 是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.‎ 例2　(1)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与点Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)‎ A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列 答案　A 解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，‎ 则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.‎ ‎∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，‎ ‎∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.‎ 设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，‎ 则|A3C3|＝2b－a，…，‎ ‎|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，n＝1和n＝2时也符合．‎ ‎∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]‎ ‎＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]‎ ‎＝c(b－a)，‎ ‎∴数列{Sn}是等差数列．‎ ‎(2)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于(　　)‎ A.＋1 B.＋2‎ C．2＋1 D．2＋2‎ 答案　B 解析　如图，取BB1的中点E，CC1的中点F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD.‎ 设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，‎ ‎∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，‎ ‎∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，‎ ‎∴矩形AEFD的周长为＋2.‎ ‎3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，它的正(主)视图和俯视图分别可能是(　　)‎ A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d 答案　A 解析　当正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正(主)视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.‎ ‎4．(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，‎ 则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，‎ 所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.‎ 又BC⊥AB，AB∩PA＝A，‎ AB，PA⊂平面PAB，‎ 所以BC⊥平面PAB.‎ 又PB⊂平面PAB，‎ 所以BC⊥PB.‎ 在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，‎ 所以△PCD为锐角三角形．‎ 所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.‎ 二、逻辑推理、数学运算 素养3　逻辑推理 是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例3　(1)(2018·北京)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，‎ 即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.‎ 又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，‎ 所以a·b＝0，能推出a⊥b.‎ 由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，‎ 能推出|a－3b|＝|3a＋b|.‎ 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．‎ 故选C.‎ ‎(2)记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I，则下列类比所得的结论正确的是______．(填序号)‎ ‎①由a·b∈R，类比得x·y∈I；‎ ‎②由a2≥0，类比得x2≥0；‎ ‎③由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，类比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；‎ ‎④由a＋b>0，a>－b，类比得x＋y>0，x>－y.‎ 答案　③‎ 解析　①由a·b∈R，不能类比得x·y∈I，如x＝y＝i，则xy＝－1∉I，故①不正确；‎ ‎②由a2≥0，不能类比得x2≥0.如x＝i，则x2<0，故②不正确；‎ ‎③由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可类比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故③正确；‎ ‎④若x，y∈I，当x＝1＋i，y＝－i时，x＋y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小，故④错误．‎ 故4个结论中，③正确．‎ ‎5．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4,6，第三行为12,10,8，第四行为14,16,18,20，…，如图所示，在该数表中位于第i行、第j列的数记为aij，如a32＝10，a54＝24.若aij＝2 018，则i＋j＝________.‎ 答案　72‎ 解析　第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…，第n行有n个偶数，则前n行共有1＋2‎ ‎＋3＋…＋n＝(个)偶数，2 018在从2开始的偶数中排在第1 009位，‎ 所以≥1 009，所以n≥45.‎ 当n＝44时，第44行第44个偶数为×2＝1 980，‎ 所以第44行结束时最右边的偶数为1 980.‎ 由题意得2 018排在第45行的第27位，所以i＋j＝45＋27＝72.‎ ‎6．甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A，B，C三个活动兴趣小组时，‎ 甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A兴趣小组；‎ 乙说：我没参加过B兴趣小组；‎ 丙说：我们三人参加了同一个兴趣小组．‎ 由此可判断乙参加的兴趣小组为________．‎ 答案　C 解析　∵三人参加了同一个兴趣小组，乙不参加B，甲不参加A，‎ ‎∴三人共同参加的小组只有C，‎ 又∵甲参加的兴趣小组比乙多，甲不参加A ‎∴甲参加两个兴趣小组，乙参加一个小组，‎ ‎∴甲参加B和C，‎ ‎∴乙参加的兴趣小组是C.‎ 素养4　数学运算 是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的思维过程.‎ 例4　(1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)‎ A．4 B. C. D．2 答案　A 解析　∵cos ＝，‎ ‎∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，‎ ‎∴AB＝＝4.‎ 故选A.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　B 解析　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，‎ ‎∴＝，又cos α≠0，∴＝，‎ ‎∴tan α＝±，‎ 即＝±，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ 故选B.‎ ‎(3)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.‎ 答案　－7‎ 解析　∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，‎ ‎∴1＝log2(9＋a)，‎ ‎∴9＋a＝2，∴a＝－7.‎ ‎7．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为________．‎ 答案　 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线方程为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝(M，N，F三点共线时取等号)．‎ 三、数学建模、数据分析 素养5　数学建模 是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.‎ 例5　(1)(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为________步. ‎ ‎(参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1 000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123 步， 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步， 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远？)(丈、步为古时计量单位，当时是“三丈＝5步”)‎ 答案　1 255‎ 解析　如图所示，设岛高x步，与前标杆相距y步，‎ 由相似三角形的性质，有 解得则海岛高度为1 255步．‎ ‎(2)秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137 600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y(元)与使用年数n的关系为y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付费1 800元，第五年付费6 000元．‎ ‎①试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式；‎ ‎②这台收割机使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－维修保养费用－购买机械费用)‎ 解　①依题意知，当n＝2时，y＝1 800；‎ 当n＝5时，y＝6 000，‎ 即解得 所以f(n)＝ ‎②记使用n年，年均收益为W(元)，‎ 则依题意知，当n≥2时，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)]‎ ‎＝60 000－ ‎＝60 000－(137 200＋700n2－300n) ‎ ‎＝60 300－ ‎≤60 300－2＝40 700，‎ 当且仅当700n＝，即n＝14时取等号．‎ 所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大．‎ ‎8．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．‎ ‎(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率；‎ ‎(2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．‎ 解　(1)因为电台每隔1小时报时一次，甲在[0,60)之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件．‎ 设事件A为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60)时间段内，因此由几何概型的概率公式得P(A)＝＝＝.所以“甲等待的时间不多于10分钟”的概率为.‎ ‎(2)因为甲、乙两人起床的时间是任意的，所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型．‎ 设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y(10分钟为一个长度单位)．‎ 则由己知可得，对应的基本事件空间为 Ω＝.‎ 甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为 M＝.‎ 在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示．‎ 显然Ω表示一个边长为6的正方形OQRS的内部及线段OQ，OS，其面积S1＝62＝36.‎ M表示的是腰长为5的等腰直角三角形QDE的内部及线段DQ，‎ 其面积S2＝×52＝.‎ 故所求事件的概率为P＝＝.‎ 素养6　数据分析 是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析推断，形成已学知识的思维过程．‎ 例6　华东师范大学为了了解大学生使用手机的情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．大一学生日均使用手机时间的频率分布直方图如图所示，大二学生日均使用手机时间的频数分布表如下表．‎ 时间分组 频数 ‎[0,20)‎ ‎12‎ ‎[20,40)‎ ‎20‎ ‎[40,60)‎ ‎24‎ ‎[60,80)‎ ‎26‎ ‎[80,100)‎ ‎14‎ ‎[100,120]‎ ‎4‎ ‎(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“手机迷”的概率大？请说明理由；‎ ‎(2)在大一学生的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中有10名为“手机迷”．根据已知条件列出2×2列联表，根据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？‎ 附表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ 解　(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“手机迷”的概率为P1＝(0.002 5＋0.010)×20＝0.25.‎ 由频数分布表可知，大二学生是“手机迷”的概率为P2＝＝0.18.‎ 因为P1>P2，所以大一学生是“手机迷”的概率大．‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，从大一学生抽取的100人中，“手机迷”有(0.010＋0.002 5)×20×100＝25(人)，‎ 非手机迷有100－25＝75(人)．‎ ‎2×2列联表如下：‎ 非手机迷 手机迷 总计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 总计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 假设“手机迷”与性别无关，随机变量K2的观测值 k＝＝≈3.030，‎ 因为3.030>2.706，‎ 所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关．‎ ‎9．某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据：‎ ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 降雨量x (毫米)‎ ‎1 500‎ ‎1 400‎ ‎1 900‎ ‎1 600‎ ‎2 100‎ 发电量y (亿千瓦时)‎ ‎7.4‎ ‎7.0‎ ‎9.2‎ ‎7.9‎ ‎10.0‎ ‎(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；‎ ‎(2)由表中数据求得线性回归方程为＝0.004x＋，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？‎ 解　(1)从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为 ‎{7.4,7.0}，{7.4,9.2}，{7.4,7.9}，{7.4,10.0}，{7.0,9.2}，{7.0,7.9}，{7.0,10.0}，{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共10个；‎ 其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共3个．‎ 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P＝.‎ ‎(2)因为＝ ‎＝＝1 700，‎ ＝ ‎＝＝8.3.‎ 又直线＝0.004x＋过点(，)，‎ 所以8.3＝0.004×1 700＋，‎ 解得＝1.5，‎ 所以＝0.004x＋1.5.‎ 当x＝1 800时，＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6，‎ 所以预测该水电站2019年能完成发电任务．‎