2018届二轮复习计数原理二项式定理课件（全国通用） 63页

第一讲 计数原理、二项式定理 【 知识回顾 】 1. 排列 (1) 定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . (2) 排列数公式： =n(n-1)…(n-m+1)=_________. 2. 组合 (1) 定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n ) 个元素 _____ _____ ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 . (2) 组合数公式： =___________________ =___________. 由于 0 ！ =1 ，所以 =1. 合成 一组 (3) 组合数的性质 3. 二项式定理 (1) 定义： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 . 第 k+1 项为 T k+1 =________. (2) 二项式系数的有关性质： ①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数 项的二项式系数的和，即 = ____ ； 2 n-1 ②若 f(x )=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+ a n x n ， 则 f(x ) 展开式中的各项系数和为 f(1) ， 奇数项系数和为 a 0 +a 2 +a 4 +…= ， 偶数项系数之和为 a 1 +a 3 +a 5 +…=__________. 【 易错提醒 】 1. 忽视顺序：解决排列组合问题时，易忽视问题与顺序是否有关这一条件 . 2. 混淆两个系数：二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混 . 3. 忽视 k 的取值范围：在利用 T k+1 = 求特定项 时， k∈{ 0 ， 1 ， … ， n } 易漏 k=0 的情况 . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅱ) 如图， 小明从街道的 E 处出发，先 到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加 志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径 条数为 ( 　　 ) A.24 B.18 C.12 D.9 【 解析 】 选 B.E → F 有 6 种走法， F → G 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知，共 6 × 3=18 种走法 . 2.(2016· 全国卷 Ⅲ) 定义“规范 01 数列” {a n } 如下： {a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为 1 ，且对任意 k≤2m ， a 1 ， a 2 ， … ， a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m=4 ，则不同的“规范 01 数列”共有 ( 　　 ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 【 解析 】 选 C. 由题意得必有 a 1 =0 ， a 2m =1 具体情况如下： 00001111 ， 00010111 ， 00011011 ， 00011101 ， 00100111 ， 00101011 ， 00101101 ， 00110011 ， 00110101 ， 01000111 ， 01001011 ， 01001101 ， 01010011 ， 01010101 ；共 14 个 . 3.(2015· 全国卷 Ⅰ)(x 2 +x+y) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系 数为 ( 　　 ) A.10 B.20 C.30 D.60 【 解析 】 选 C. 在 (x 2 +x+y) 5 的 5 个因式中， 2 个取因式中 x 2 ，剩余的 3 个因式中 1 个取 x ，其余因式取 y ，故 x 5 y 2 的系数为 =30. 4.(2016· 全国卷 Ⅰ)(2x+ ) 5 的展开式中， x 3 的 系数是 ________.( 用数字填写答案 ) 【 解析 】 设展开式的第 k+1 项为 T k+1 ， k∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 所以 当 5- =3 时， k=4 ，即 答案： 10 热点考向一 　排列、组合的应用 命题解读：主要考查两个计数原理、排列、组合的简单综合运用，有时与概率相结合，以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2016· 四川高考 ) 用数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( 　　 ) A.24 B.48 C.60 D.72 (2)(2016· 安庆一模 ) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60° 的共有 ( 　　 ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 (3)(2016· 洛阳一模 ) 要从 3 名骨科和 5 名内科医生中选派 3 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 __________( 用数字作答 ). 【 解题导引 】 (1) 根据排列组合公式及分步乘法计数原理求解 . (2) 找出与一个面上的两条对角线成 60° 的角的直线对数，再乘以 6 进行分析即可求解，或用间接法求解 . (3) 可考虑用间接法求解，即从总体中减去“全是骨科”和“全是内科医生”的情况，即可得出答案 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 由题意，要组成没有重复数字 的五位奇数，则个位数应该为 1 ， 3 ， 5 ，其他位置共 有 种，所以其中奇数的个数为 3 =72. (2) 选 C. 方法一：直接法：如图，在上底面中选 B 1 D 1 ， 四个侧面中的对角线都与它成 60° ，共 8 对，同样 A 1 C 1 对应的也有 8 对，因此一个面上的 2 条面对角线与其相 邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对，又正方体共有 6 个面，所以共有 16×6=96( 对 ) ，又因为每对被计算了 2 次，因此成 60° 的面对角线有 ×96=48( 对 ). 方法二：间接法：正方体的 12 条面对角线中，任意两 条垂直、平行或成角为 60° ，所以成角为 60° 的共有 -12-6=48( 对 ). (3) 共 8 名医生， 2 个科类，要求每个科类至少 1 名医 生，“骨科和内科医生都至少有 1 人”的对立事件是 “全是骨科或全是内科医生” . 若从这 8 名医生中任选 3 名，不同的选法有 种； 其中全为骨科医生的选法只有 1 种，全为内科医生的 选法有 种 . 所以所求选派方法有 =56-1-10=45( 种 ). 答案： 45 【 易错警示 】 解题 (3) 时易出现从骨科和内科医生中各选一人，再从剩余的人中选出一人，共有 90 种选法的错误，此种错误的原因是出现了重复的情况 . 【 母题变式 】 若题 (2) 变为：若两条异面直线所成的角为 60° ，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 __________ 对 . 【 解析 】 依题意，注意到在正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中， 与直线 AC 构成异面直线且所成的角为 60 ° 的直线有 BC 1 ， BA 1 ， A 1 D ， DC 1 ，注意到正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中共 有 12 条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共 有 =24 对 . 答案： 24 【 规律方法 】 1. 求解排列、组合问题的关注点 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 . 2. 排列、组合应用问题的常见解法 (1) 特殊元素 ( 特殊位置 ) 优先安排法 . (2) 合理分类与准确分步法 . (3) 排列与组合混合问题先选后排法 . (4) 相邻问题捆绑法 . (5) 不相邻问题插空法 . (6) 定序问题缩倍法 . (7) 多排问题一排法 . (8)“ 小集团”问题先整体后局部法 . (9) 构造模型法 . (10) 正难则反，等价转化法 . 【 题组过关 】 1.(2016· 九江一模 )8 名学生和 2 位老师站成一排合 影， 2 位老师不相邻的排法种数为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 不相邻问题用插空法， 8 名学生先排有 种排法，产生 9 个空， 2 位老师插空有 种排法， 所以共有 种排法 . 2.(2016· 太原一模 ) 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 ( 　　 ) A.150 B.180 C.200 D.280 【 解析 】 选 A. 分两类：一类， 3 个班分派的毕业生人数 分别为 2 ， 2 ， 1 ，则有 =90 种分派方法；另一 类， 3 个班分派的毕业生人数分别为 1 ， 1 ， 3 ，则有 =60 种分派方法 . 所以不同分派方法种数为 90+60 =150. 【 加固训练 】 1. 有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( 　　 ) A.60 种　　　 B.70 种　　　 C.75 种　　　 D.150 种 【 解析 】 选 C. 从中选出 2 名男医生的选法有 =15 种， 从中选出 1 名女医生的选法有 =5 种，所以不同的选 法共有 15 × 5=75 种 . 2.(2016· 温州二模 ) 将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子，要求每个盒子中至少有 1 个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法数为 ( 　　 ) A.15 B.18 C.19 D.21 【 解析 】 选 B. 依题意，对这 3 个盒子中所放的小球的个 数情况进行分类计数：第一类，这 3 个盒子中所放的小 球的个数是 1 ， 2 ， 6 ，此类放法有 =6 种；第二类， 这 3 个盒子中所放的小球的个数是 1 ， 3 ， 5 ，此类放法 有 =6 种；第三类，这 3 个盒子中所放的小球的个数是 2 ， 3 ， 4 ，此类放法有 =6 种 . 因此满足题意的放法 共有 6+6+6=18 种 . 3.(2016· 深圳一模 ) 某班准备从含甲、乙的 7 名男生中选取 4 人参加 4×100 米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上的顺序不能相邻，那么不同的排法种数为 ( 　　 ) A.720 B.520 C.600 D.360 【 解析 】 选 C. 根据题意，分 2 种情况讨论 . ① 只有甲、 乙其中一人参加，有 =480 种情况；②若甲、乙 两人都参加，有 =240 种情况，其中甲、乙相邻 的有 =120 种情况，不同的排法种数为 480+ 240-120=600 种 . 4.(2016· 长沙一模 )5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成 1 ， 2 ， 3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1 ， 2 号中至少有 1 名新队员的排法有 __________ 种 . 【 解析 】 分两类：第一类仅有 1 名老队员，此时有 2 名 新队员，一定可以保证 1 ， 2 号中至少有 1 名新队员，此 时有 =36 种排法； 第二类有 2 名老队员，此时，要注意将新队员安排在 1 ， 2 号中，有 =12 种排法 . 于是，不同的排法数为 36+12=48. 答案： 48 热点考向二 　二项式定理的应用 命题解读：主要考查二项式定理的通项公式、二项式系数、二项式特定项 ( 指定项 ) ，以选择题、填空题为主 . 命题角度一　与特定项有关的问题 【 典例 2】 (2016· 邯郸一模 ) 展开式中的 常数项为 ( 　　 ) A.-8 B.-12 C.-20 D.20 【 解题导引 】 先将式子 x 2 + -2 变形为完全平方式， 再利用通项公式求特定项 . 【 规范解答 】 选 C. 因为 所以 T k+1 = 令 6-2k=0 得 k=3 ，所以常数 项为 (-1) 3 =-20. 命题角度二　求展开式中系数的和 【 典例 3】 (2015· 全国卷 Ⅱ)(a+x)(1+x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 32 ，则 a=__________. 【 解题导引 】 先设出展开式，再用赋值法，分别令 x=1 ， x=-1 ，将两式相减，再利用奇数次幂项的系数之和求 a. 【 规范解答 】 设 (a+x)(1+x) 4 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + a 4 x 4 +a 5 x 5 ， 令 x=1 ，得 16(a+1)=a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ，① 令 x=-1 ，得 0=a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 .② ① -② ，得 16(a+1)=2(a 1 +a 3 +a 5 ) ，即展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 a 1 +a 3 +a 5 =8(a+1) ， 所以 8(a+1)=32 ，解得 a=3. 答案： 3 命题角度三　求展开式中某项的系数 【 典例 4】 (2014· 全国卷 Ⅰ)(x-y)(x+y) 8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ________.( 用数字填写答案 ) 【 解题导引 】 利用通项公式求解 . 【 规范解答 】 因为 (x+y) 8 的展开式的通项为 T k+1 = x 8-k y k (0 ≤ k ≤ 8 ， k ∈ N ) ， 当 k=7 时， T 8 = xy 7 =8xy 7 ，当 k=6 时， T 7 = x 2 y 6 =28x 2 y 6 ， 所以 (x-y)(x+y) 8 的展开式中 x 2 y 7 的项为 x·8xy 7 + (-y)·28x 2 y 6 =-20x 2 y 7 ，故系数为 -20. 答案： -20 【 规律方法 】 与二项式定理有关的题型及解法 类型 解法 求特定项或其系数 常采用通项公式分析求解 系数的和或差 常用赋值法 近似值问题 利用展开式截取部分项求解 整除 ( 或余数 ) 问题 利用展开式求解 【 题组过关 】 1.(2016· 四川高考 ) 设 i 为虚数单位，则 (x+i) 6 的展开式中含 x 4 的项为 ( 　　 ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20ix 4 D.20ix 4 【 解析 】 选 A. 二项式 ( x+i) 6 展开的通项 T r+1 = x 6-r i r ， 则其展开式中含 x 4 的项是当 6-r=4 ，即 r=2 ，则展开式中 含 x 4 的项为 x 4 i 2 =-15x 4 . 2.(2016· 山东高考 ) 若 的展开式中 x 5 的 系数是 -80 ，则实数 a=________. 【 解析 】 因为 令 10- =5 得 k=2 ，所以 =-80 ， 解得 a=-2. 答案： -2 3.(2016· 大同二模 ) 二项式 的展开式中只 有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 __________. 【 解析 】 因为 的展开式中只有第六项的二 项式系数最大，所以 n=10 ， 令 5- =0 ，则 k=2 ， T 3 = =180. 答案： 180 【 加固训练 】 (2014· 浙江高考 ) 在 (1+x) 6 (1+y) 4 的展开式中，记 x m y n 项的系数为 f(m ， n) ，则 f(3 ， 0)+ f(2 ， 1)+f(1 ， 2)+f(0 ， 3)=( 　　 ) A.45 　　　　 B.60 　　　　 C.120 　　　　 D.210 【 解析 】 选 C. 由二项展开式的通项性质可知 x m y n 项 的系数为 f(m ， n)= 所以 f(3 ， 0)+f(2 ， 1)+f(1 ， 2)+f(0 ， 3)=