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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版9-9第2课时 范围、最值问题 学案

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第 2 课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 例 1 (2015·天津)已知椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 3 3 ,点 M 在椭 圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2=b2 4 截得的线段的长为 c,|FM|=4 3 3 . (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范 围. 解 (1)由已知,有c2 a2=1 3, 又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有 ( kc k2+1)2+(c 2 )2=(b 2 )2, 解得 k= 3 3 . (2)由(1)得椭圆方程为 x2 3c2+ y2 2c2=1,直线 FM 的方程为 y= 3 3 (x+c),两个方程联立,消去 y, 整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=-5 3c 或 x=c. 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为(c,2 3 3 c). 由|FM|= (c+c)2+(2 3 3 c-0)2=4 3 3 . 解得 c=1,所以椭圆的方程为x2 3+y2 2=1. (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t= y x+1,即直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立, Error!消去 y,整理得 2x2+3t2(x+1)2=6, 又由已知,得 t= 6-2x2 3(x+1)2> 2, 解得-3 2<x<-1 或-1<x<0. 设直线 OP 的斜率为 m,得 m=y x,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m2=2 x2-2 3. ①当 x∈(-3 2,-1)时,有 y=t(x+1)<0, 因此 m>0,于是 m= 2 x2-2 3,得 m∈( 2 3 ,2 3 3 ). ②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 x2-2 3, 得 m∈(-∞,-2 3 3 ). 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是(-∞,-2 3 3 )∪( 2 3 ,2 3 3 ). 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关 系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取 值范围.  (2016·黄冈模拟)已知椭圆 C: x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)与双曲线x2 3-y2=1 的离心率互 为倒数,且直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,且直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比 数列,求△OMN 面积的取值范围. 解 (1)∵双曲线的离心率为2 3 3 , ∴椭圆的离心率 e=c a= 3 2 . 又∵直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为(2,0),即 a=2,c= 3,b=1, ∴椭圆方程为x2 4+y2=1. (2)由题意可设直线的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0), M(x1,y1),N(x2,y2). 联立Error! 消去 y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则 x1+x2=- 8km 1+4k2,x1x2=4(m2-1) 1+4k2 , 于是 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, 故y1 x1·y2 x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 x1x2 =k2⇒- 8k2m2 1+4k2+m2=0. 由 m≠0 得 k2=1 4,解得 k=±1 2. 又由 Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1) =16(4k2-m2+1)>0,得 00)过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹 为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设 P 为直线 l:x-y-2=0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P(x0,y0) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解 (1)依题意,由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x2=4y. (2)抛物线 C 的方程为 x2=4y,即 y=1 4x2,求导得 y′=1 2x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中 y1=x21 4,y2=x22 4), 则切线 PA,PB 的斜率分别为 1 2x1,1 2x2, 所以切线 PA 的方程为 y-y1=x1 2(x-x1), 即 y=x1 2x-x21 2+y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程Error!消去 x 整理得 y2+(2y0-x20)y+y20=0, 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x20-2y0,y1y2=y20, 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y20+x20-2y0+1. 又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 所以 y20+x20-2y0+1=2y20+2y0+5=2(y0+1 2)2+9 2, 所以当 y0=-1 2时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为9 2. 1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线 y 2=x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且直 线 l 的倾斜角 θ≥π 4,点 A 在 x 轴上方,则|FA|的取值范围是(  ) A.(1 4,1] B.(1 4,+∞) C.(1 2,+∞) D.(1 4,1+ 2 2 ] 答案 D 解析 记点 A 的横坐标是 x1,则有|AF|=x1+1 4=(1 4+|AF|cos θ)+1 4=1 2+|AF|cos θ, |AF|(1-cos θ)=1 2,|AF|= 1 2(1-cos θ). 由π 4≤θ<π 得-10,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点 P 都 有|PF2|2=8a|PF1|(a 为实半轴长),则此双曲线的离心率 e 的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(2,3] C.(1,3] D.(1,2] 答案 C 解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义, 得|PF2|=2a+|PF1|,所以|PF2|2 |PF1| =|PF1|+ 4a2 |PF1|+4a=8a, 所以|PF1|=2a,|PF2|=4a, 在△PF1F2 中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, 即 2a+4a≥2c,所以 e=c a≤3. 又 e>1,所以 10 得 m+2>2, 1 m+2<1 2,- 1 m+2>-1 2, ∴1- 1 m+2>1 2,即 e21>1 2,而 00,b>0). 由已知得 a= 3,c=2, 又 a2+b2=c2,得 b2=1, ∴双曲线 C 的方程为x2 3-y2=1. (2)联立Error! 整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点, ∴Error! 可得 m2>3k2-1 且 k2≠1 3,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0), 则 x1+x2= 6km 1-3k2,∴x0=x1+x2 2 = 3km 1-3k2, ∴y0=kx0+m= m 1-3k2. 由题意,AB⊥MN, ∴kAB= m 1-3k2+1 3km 1-3k2 =-1 k(k≠0,m≠0). 整理得 3k2=4m+1,② 将②代入①,得 m2-4m>0,∴m<0 或 m>4. 又 3k2=4m+1>0(k≠0),即 m>-1 4. ∴m 的取值范围是(-1 4,0)∪(4,+∞). 8.已知椭圆 C1:y2 a2+x2 b2=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M,N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值. 解 (1)由题意,得Error!从而Error! 因此,所求的椭圆 C1 的方程为y2 4+x2=1. (2)如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′Error!. 直线 MN 的方程为 y=2tx-t2+h. 将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 即 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.① 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3, 则 x3=x1+x2 2 =t(t2-h) 2(1+t2). 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4,则 x4=t+1 2 . 由题意,得 x3=x4, 即 t2+(1+h)t+1=0.③ 由③式中的 Δ2=(1+h)2-4≥0,得 h≥1 或 h≤-3. 当 h≤-3 时,h+2<0,4-h2<0, 则不等式②不成立,所以 h≥1. 当 h=1 时,代入方程③得 t=-1, 将 h=1,t=-1 代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为 1. 9.如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:x2 a2-y2 b2=1 的左,右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= 3 2 ,且|F2F4| = 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时, 求四边形 APBQ 面积的最小值. 解 (1)因为 e 1e2= 3 2 ,所以 a2-b2 a · a2+b2 a = 3 2 ,即 a4-b4=3 4a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b,0),F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2. 故 C1,C2 的方程分别为x2 2+y2=1,x2 2-y2=1. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1. 由Error!得(m2+2)y2-2my-1=0. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1,y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2= 2m m2+2,y1y2= -1 m2+2. 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= -4 m2+2, 于是 AB 的中点为 M( -2 m2+2, m m2+2), 故直线 PQ 的斜率为-m 2,PQ 的方程为 y=-m 2x, 即 mx+2y=0. 由Error!得(2-m2)x2=4, 所以 2-m2>0,且 x2= 4 2-m2,y2= m2 2-m2, 从而|PQ|=2 x2+y2=2 m2+4 2-m2. 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d=|mx1+2y1|+|mx2+2y2| m2+4 . 因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2| =|mx1+2y1-mx2-2y2|, 从而 2d= (m2+2)|y1-y2| m2+4 . 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 =2 2· 1+m2 m2+2 , 所以 2d=2 2· 1+m2 m2+4 . 故四边形 APBQ 的面积 S=1 2|PQ|·2d =2 2· 1+m2 2-m2 =2 2· -1+ 3 2-m2. 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取得最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2.

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