【数学】2018届一轮复习人教A版9-9第2课时　范围、最值问题　学案 13页

第 2 课时　范围、最值问题 题型一　范围问题 例 1　(2015·天津)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F(－c,0)，离心率为 3 3 ，点 M 在椭 圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2＋y2＝b2 4 截得的线段的长为 c，|FM|＝4 3 3 . (1)求直线 FM 的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范 围． 解　(1)由已知，有c2 a2＝1 3， 又由 a2＝b2＋c2，可得 a2＝3c2，b2＝2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k＞0)，F(－c,0)，则直线 FM 的方程为 y＝k(x＋c)． 由已知，有 ( kc k2＋1)2＋(c 2 )2＝(b 2 )2， 解得 k＝ 3 3 . (2)由(1)得椭圆方程为 x2 3c2＋ y2 2c2＝1，直线 FM 的方程为 y＝ 3 3 (x＋c)，两个方程联立，消去 y， 整理得 3x2＋2cx－5c2＝0，解得 x＝－5 3c 或 x＝c. 因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为(c，2 3 3 c). 由|FM|＝ (c＋c)2＋(2 3 3 c－0)2＝4 3 3 . 解得 c＝1，所以椭圆的方程为x2 3＋y2 2＝1. (3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t， 得 t＝ y x＋1，即直线 FP 的方程为 y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立， Error!消去 y，整理得 2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得 t＝ 6－2x2 3(x＋1)2＞ 2， 解得－3 2＜x＜－1 或－1＜x＜0. 设直线 OP 的斜率为 m，得 m＝y x，即 y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得 m2＝2 x2－2 3. ①当 x∈(－3 2，－1)时，有 y＝t(x＋1)＜0， 因此 m＞0，于是 m＝ 2 x2－2 3，得 m∈( 2 3 ，2 3 3 ). ②当 x∈(－1,0)时，有 y＝t(x＋1)＞0. 因此 m＜0，于是 m＝－ 2 x2－2 3， 得 m∈(－∞，－2 3 3 ). 综上，直线 OP 的斜率的取值范围是(－∞，－2 3 3 )∪( 2 3 ，2 3 3 ). 思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关 系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取 值范围． 　(2016·黄冈模拟)已知椭圆 C： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)与双曲线x2 3－y2＝1 的离心率互 为倒数，且直线 x－y－2＝0 经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比 数列，求△OMN 面积的取值范围． 解　(1)∵双曲线的离心率为2 3 3 ， ∴椭圆的离心率 e＝c a＝ 3 2 . 又∵直线 x－y－2＝0 经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即 a＝2，c＝ 3，b＝1， ∴椭圆方程为x2 4＋y2＝1. (2)由题意可设直线的方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立Error! 消去 y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－ 8km 1＋4k2，x1x2＝4(m2－1) 1＋4k2 ， 于是 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列， 故y1 x1·y2 x2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 x1x2 ＝k2⇒－ 8k2m2 1＋4k2＋m2＝0. 由 m≠0 得 k2＝1 4，解得 k＝±1 2. 又由 Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)>0，得 00)过点 F(0,1)，圆心 M 的轨迹 为 C. (1)求轨迹 C 的方程； (2)设 P 为直线 l：x－y－2＝0 上的点，过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA，PB，当点 P(x0，y0) 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 解　(1)依题意，由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x2＝4y. (2)抛物线 C 的方程为 x2＝4y，即 y＝1 4x2，求导得 y′＝1 2x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中 y1＝x21 4，y2＝x22 4)， 则切线 PA，PB 的斜率分别为 1 2x1，1 2x2， 所以切线 PA 的方程为 y－y1＝x1 2(x－x1)， 即 y＝x1 2x－x21 2＋y1，即 x1x－2y－2y1＝0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x－2y－2y2＝0. 因为切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)， 所以 x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0， 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x－2y0－2y＝0 的两组解． 所以直线 AB 的方程为 x0x－2y－2y0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1， 联立方程Error!消去 x 整理得 y2＋(2y0－x20)y＋y20＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1. 又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0＝y0＋2， 所以 y20＋x20－2y0＋1＝2y20＋2y0＋5＝2(y0＋1 2)2＋9 2， 所以当 y0＝－1 2时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为9 2. 1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线 y 2＝x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直 线 l 的倾斜角 θ≥π 4，点 A 在 x 轴上方，则|FA|的取值范围是(　　) A．(1 4，1] B．(1 4，＋∞) C．(1 2，＋∞) D．(1 4，1＋ 2 2 ] 答案　D 解析　记点 A 的横坐标是 x1，则有|AF|＝x1＋1 4＝(1 4＋|AF|cos θ)＋1 4＝1 2＋|AF|cos θ， |AF|(1－cos θ)＝1 2，|AF|＝ 1 2(1－cos θ). 由π 4≤θ<π 得－10，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点 P 都 有|PF2|2＝8a|PF1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2] 答案　C 解析　由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以|PF2|2 |PF1| ＝|PF1|＋ 4a2 |PF1|＋4a＝8a， 所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a， 在△PF1F2 中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 即 2a＋4a≥2c，所以 e＝c a≤3. 又 e>1，所以 10 得 m＋2>2， 1 m＋2<1 2，－ 1 m＋2>－1 2， ∴1－ 1 m＋2>1 2，即 e21>1 2，而 00，b>0)． 由已知得 a＝ 3，c＝2， 又 a2＋b2＝c2，得 b2＝1， ∴双曲线 C 的方程为x2 3－y2＝1. (2)联立Error! 整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴Error! 可得 m2>3k2－1 且 k2≠1 3，① 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 B(x0，y0)， 则 x1＋x2＝ 6km 1－3k2，∴x0＝x1＋x2 2 ＝ 3km 1－3k2， ∴y0＝kx0＋m＝ m 1－3k2. 由题意，AB⊥MN， ∴kAB＝ m 1－3k2＋1 3km 1－3k2 ＝－1 k(k≠0，m≠0)． 整理得 3k2＝4m＋1，② 将②代入①，得 m2－4m>0，∴m<0 或 m>4. 又 3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即 m>－1 4. ∴m 的取值范围是(－1 4，0)∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆 C1：y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设点 P 在抛物线 C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M，N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值． 解　(1)由题意，得Error!从而Error! 因此，所求的椭圆 C1 的方程为y2 4＋x2＝1. (2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)， 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′Error!. 直线 MN 的方程为 y＝2tx－t2＋h. 将上式代入椭圆 C1 的方程中，得 4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0， 即 4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.① 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点， 所以①式中的 Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3， 则 x3＝x1＋x2 2 ＝t(t2－h) 2(1＋t2). 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4＝t＋1 2 . 由题意，得 x3＝x4， 即 t2＋(1＋h)t＋1＝0.③ 由③式中的 Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得 h≥1 或 h≤－3. 当 h≤－3 时，h＋2<0,4－h2<0， 则不等式②不成立，所以 h≥1. 当 h＝1 时，代入方程③得 t＝－1， 将 h＝1，t＝－1 代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为 1. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆 C1：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：x2 a2－y2 b2＝1 的左，右焦点分别为 F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2＝ 3 2 ，且|F2F4| ＝ 3－1. (1)求 C1，C2 的方程； (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 C2 交于 P，Q 两点时， 求四边形 APBQ 面积的最小值． 解　(1)因为 e 1e2＝ 3 2 ，所以 a2－b2 a · a2＋b2 a ＝ 3 2 ，即 a4－b4＝3 4a4，因此 a2＝2b2，从而 F2(b,0)，F4( 3b,0)，于是 3b－b＝|F2F4|＝ 3－1，所以 b＝1，a2＝2. 故 C1，C2 的方程分别为x2 2＋y2＝1，x2 2－y2＝1. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(－1,0)， 故可设直线 AB 的方程为 x＝my－1. 由Error!得(m2＋2)y2－2my－1＝0. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1，y2 是上述方程的两个实根， 所以 y1＋y2＝ 2m m2＋2，y1y2＝ －1 m2＋2. 因此 x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝ －4 m2＋2， 于是 AB 的中点为 M( －2 m2＋2， m m2＋2)， 故直线 PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为 y＝－m 2x， 即 mx＋2y＝0. 由Error!得(2－m2)x2＝4， 所以 2－m2>0，且 x2＝ 4 2－m2，y2＝ m2 2－m2， 从而|PQ|＝2 x2＋y2＝2 m2＋4 2－m2. 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以 2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| m2＋4 . 因为点 A，B 在直线 mx＋2y＝0 的异侧， 所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0， 于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| ＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|， 从而 2d＝ (m2＋2)|y1－y2| m2＋4 . 又因为|y1－y2|＝ (y1＋y2)2－4y1y2 ＝2 2· 1＋m2 m2＋2 ， 所以 2d＝2 2· 1＋m2 m2＋4 . 故四边形 APBQ 的面积 S＝1 2|PQ|·2d ＝2 2· 1＋m2 2－m2 ＝2 2· －1＋ 3 2－m2. 而 0<2－m2≤2，故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2.