【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 13页

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制的概 念． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义. 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的 互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角 恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函 数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想 的应用意识．题型以选择题为主，低档难度. 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k·360°＋α， k∈ }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧 度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝ π 180rad，1rad＝( 180 π )°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝1 2lr＝1 2|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时， 则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y x(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sinα R ＋ ＋ － － cosα R ＋ － － ＋ tanα {α|α≠kπ＋π 2，k∈ } ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位 圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线 知识拓展 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sinα＝y r，cosα＝x r， tanα＝y x(x≠0)． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)若 α 为第一象限角，则 sinα＋cosα>1.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P10A 组 T7]角－225°＝______弧度，这个角在第______象限． 答案 －5π 4 二 3．[P15T2]角 α 的终边经过点 Q(－ 2 2 ， 2 2 )，则 sinα＝____，cosα＝________. 答案 2 2 － 2 2 4．[P10A 组 T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度． 答案 π 3 题组三 易错自纠 5．(2018·秦皇岛模拟)下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A．2kπ＋45°(k∈ ) B．k·360°＋9π 4 (k∈ ) C．k·360°－315°(k∈ ) D．kπ＋5π 4 (k∈ ) 答案 C 解析 与9π 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋9π 4 (k∈ )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只 有答案 C 正确． 6．集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 C 解析 当 k＝2n(n∈ )时，2nπ＋π 4≤α≤2nπ＋π 2，此时 α 表示的范围与π 4≤α≤π 2表示的范围一样； 当 k＝2n＋1 (n∈ )时，2nπ＋π＋π 4≤α≤2nπ＋π＋π 2，此时 α 表示的范围与 π＋π 4≤α≤π＋π 2表 示的范围一样，故选 C. 7．(2018·攀枝花质检)已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cosα＝________. 答案 －4 5 解析 cosα＝ －4 (－4)2＋32 ＝－4 5. 8．(2018·济宁模拟)函数 y＝ 2cosx－1的定义域为______________． 答案 [2kπ－π 3，2kπ＋π 3](k∈ ) 解析 ∵2cosx－1≥0， ∴cosx≥1 2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x∈[2kπ－π 3，2kπ＋π 3](k∈ )． 题型一 角及其表示 1．设集合 M＝Error!，N＝Error!，那么( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案 B 解析 由于 M 中，x＝k 2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝ k 4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N，故选 B. 2．若角 α 是第二象限角，则α 2是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 答案 C 解析 ∵α 是第二象限角， ∴π 2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈ ， ∴π 4＋kπ<α 2<π 2＋kπ，k∈ . 当 k 为偶数时，α 2是第一象限角； 当 k 为奇数时，α 2是第三象限角． ∴α 2是第一或第三象限角． 3．(2017·福州模拟)与－2015°终边相同的最小正角是________． 答案 145° 解析 与－2015°角终边相同的角的集合为 {α|α＝－2015°＋k·360°，k∈ }， 当 k＝6 时，α＝－2015°＋2160°＝145°. 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角． (2)确定 kα，α k(k∈N*)的终边位置的方法 先写出 kα 或α k的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα 或α k的终边所在位置． 题型二 弧度制 典例(1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是 4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度 数是( ) A．2B．1 C.1 2D．3 答案 A 解析 设扇形的半径为 R，则弧长 l＝4－2R， ∴扇形面积 S＝1 2lR＝R(2－R) ＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1， 当 R＝1 时，S 最大，此时 l＝2，扇形圆心角为 2 弧度． (2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案 2 解析 设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，∴正方形边长为 2r，∴圆心角的弧 度数是 2r r ＝ 2. 思维升华应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 跟踪训练(1)(2017·太原模拟)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长 是________． 答案 2 sin1 解析 设圆的半径为 R，则 R·sin1＝1， ∴R＝ 1 sin1， ∴这个圆心角所对弧长为 R×2＝ 2 sin1. (2)已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P 沿着直线 l 向右，Q 沿着圆 周按逆时针以相同的速度运动，当 Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，连接 OQ，OP(如 图)，则阴影部分面积 S1，S2 的大小关系是________． 答案 S1＝S2 解析 设运动速度为 m，运动时间为 t，圆 O 的半径为 r， 则 ＝AP＝tm，根据切线的性质知 OA⊥AP， ∴S1＝1 2tm·r－S 扇形 AOB，S2＝1 2tm·r－S 扇形 AOB， ∴S1＝S2 恒成立． 题型三 三角函数的概念及应用 命题点 1 三角函数定义的应用 AQ 典例(1)已知点 P 在角4π 3 的终边上，且|OP|＝4，则点 P 的坐标为( ) A．(－2，－2 3) B．(－1 2，－ 3 2 ) C．(－2 3，－2) D．(－ 3 2 ，－1 2)答案 A 解析 点 P 的坐标为(|OP|·cos 4π 3 ，|OP|·sin 4π 3 )，即(－2，－2 3)，故选 A. (2)设 θ 是第三象限角，且|cos θ 2 |＝－cosθ 2，则θ 2是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案 B 解析 由 θ 是第三象限角知，θ 2为第二或第四象限角， ∵|cos θ 2 |＝－cosθ 2，∴cosθ 2<0， 综上知，θ 2为第二象限角． 命题点 2 三角函数线的应用 典例函数 y＝lg(2sinx－1)＋ 1－2cosx的定义域为__________________． 答案 [2kπ＋π 3，2kπ＋5π 6 )(k∈ ) 解析 要使原函数有意义，必须有 Error! 即Error! 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线， 由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋π 3，2kπ＋5π 6 ) (k∈ )． 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已 知角 α 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练(1)已知角 α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cosα≤0，sinα>0.则实数 a 的取值范围 是( ) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 答案 A 解析 ∵cosα≤0，sinα>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上． ∴Error! ∴－20，解得 m＝3. 4．(2018·成都模拟)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的 坐标为 ( ) A．(－1 2， 3 2 ) B．(－ 3 2 ，－1 2) C．(－1 2，－ 3 2 ) D．(－ 3 2 ，1 2)答案 A 解析 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos2π 3 ＝－1 2，y＝sin2π 3 ＝ 3 2 . 5．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( ) A．2B．4 C．6D．8 答案 C 解析 设扇形的半径为 R，则1 2×4×R2＝2， ∴R＝1，弧长 l＝4，∴扇形的周长为 l＋2R＝6. 6．已知 α 是第二象限的角，其终边上一点为 P(x， 5)，且 cosα＝ 2 4 x，则 tanα 等于( ) A. 15 5 B. 15 3 C．－ 15 5 D．－ 15 3 答案 D 解析 ∵ x x2＋5 ＝ 2 4 x 且 α 在第二象限， ∴x＝－ 3，∴tanα＝ 5 － 3 ＝－ 15 3 . 7．(2017·怀化模拟)sin2·cos3·tan4 的值( ) A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在 答案 A 解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0. 8．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若 sinα＝sinβ，则 α 与 β 的终边相同； ⑤若 cosθ<0，则 θ 是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A．1B．2 C．3D．4 答案 A 解析 举反例：第一象限角 370°不小于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角为 90°时， 其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于 sinπ 6＝sin5π 6 ，但π 6与5π 6 的 终边不相同，故④错；当 cosθ＝－1，θ＝π 时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角， 故⑤错．综上可知只有③正确． 9．(2017·鄂州模拟)已知 tanθ<0，且角 θ 终边上一点为(－1，y)，且 cosθ＝－ 1 2，则 y＝ ________. 答案 3 解析 由已知得 θ 在第二象限，∴y>0， ∴cosθ＝ －1 y2＋1 ＝－1 2，∴y＝ 3. 10．已知扇形的圆心角为π 6，面积为π 3，则扇形的弧长等于________． 答案 π 3 解析 设扇形半径为 r，弧长为 l， 则Error! 解得Error! 11．函数 y＝ sinx－ 3 2 的定义域为________． 答案 [2kπ＋π 3，2kπ＋2 3π]，k∈ 解析 利用三角函数线(如图)， 由 sinx≥ 3 2 ，可知 2kπ＋π 3≤x≤2kπ＋2 3π，k∈ . 12．满足 cosα≤－1 2的角 α 的集合为________． 答案 Error! 解析 作直线 x＝－1 2交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为Error!. 13．已知 sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( ) A．若 α，β 是第一象限的角，则 cosα>cosβ B．若 α，β 是第二象限的角，则 tanα>tanβ C．若 α，β 是第三象限的角，则 cosα>cosβ D．若 α，β 是第四象限的角，则 tanα>tanβ 答案 D 解析 如图，当 α 在第四象限时，作出 α，β 的正弦线 M1P1，M2P2 和正切 线 AT1，AT2，观察知当 sinα>sinβ 时，tanα>tanβ. 14．已知点 P(sinα＋cosα，tanα)在第四象限，则在[0,2π]内 α 的取值范围是________． 答案 ( π 2，3 4π)∪( 7 4π，2π) 解析 由Error! 得－1