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- 2021-06-16 发布
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第七节 立体几何中的向量方法
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行
或重合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量.
(2)平面的法向量:直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α
的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2
直线 l1,l2 的方向向量分别为 n1,n2
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0
l∥α n⊥m⇔n·m=0
直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向量为 m
l⊥α n∥m⇔n=λm
α∥β n∥m⇔n=λm
平面 α,β 的法向量分别为 n,m
α⊥β n⊥m⇔n·m=0
3.求两条异面直线所成的角
设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则
l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角〈a,b〉
范围 0<θ≤π
2 0<〈a,b〉<π
关系 cos θ=|cos〈a,b〉|=|a·b|
|a||b| cos〈a,b〉= a·b
|a||b|
4.求直线与平面所成的角
设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角
为 θ,则 sin θ=|cos〈a,n〉|=|a·n|
|a||n|.
5.求二面角的大小
(1)若 AB,CD 分别是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二
面角的大小就是向量AB
→
与CD
→
的夹角(如图①).
图
(2)设 n1,n2 分别是二面角 αlβ 的两个面 α,β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的
夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的
角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是(0,π
2],直线与平面所成角的范围是[0,π
2],二
面角的范围是[0,π].
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面 α,β 的法向
量.若 α⊥β,则 t=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C [∵α⊥β,则 u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0,
∴t=5.]
3.直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中
点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
A. 1
10 B.2
5
C. 30
10 D. 2
2
C [建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,设 BC=2,则 B(0,2,0),
A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM
→
=(1,-1,2),AN
→
=(-1,0,2),故 BM 与 AN
所成角 θ 的余弦值 cos θ=
|BM
→
·AN
→
|
|BM
→
|·|AN
→
|
= 3
6 × 5
= 30
10 .]
4.如图 771 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD
的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 ON,AM 的位置关系是
________. 【导学号:51062247】
图 771
垂直 [以 A 为原点,分别以AB
→
,AD
→
,AA1→
所在直线为 x,y,z 轴,建立空间
直 角 坐 标 系 ( 图 略 ) , 设 正 方 体 的 棱 长 为 1 , 则 A(0,0,0) , M(0,1,1
2),
O(1
2
,1
2
,0),N(1
2
,0,1),AM
→
·ON
→
=(0,1,1
2)·(0,-1
2
,1)=0,∴ON 与 AM 垂
直.]
5.(2017·湖州模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB
=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________.
45° [如图,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1,则 A(0,0,0),D(0,1,0),
P(0,0,1),由题意,AD⊥平面 PAB,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD,
又 CD⊥平面 PAD,
∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD.
∴AD
→
=(0,1,0),AE
→
=(0,1
2
,1
2)分别是平面 PAB,平面 PCD 的法向量,且
〈AD
→
,AE
→
〉=45°.
故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°.]
利用向量证明平行与垂直问题
如图 772 所示,在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面
ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:EF∥平面 PAB;
(2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
图 772
[证明] 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建
立空间直角坐标系如图所示,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
所以 E(1
2
,1,1
2),F(0,1,1
2),EF
→
=(-1
2
,0,0),AP
→
=(0,0,1),AD
→
=(0,2,0),
DC
→
=(1,0,0),AB
→
=(1,0,0).3 分
(1)因为EF
→
=-1
2AB
→
,所以EF
→
∥AB
→
,即 EF∥AB.
又 AB⊂平面 PAB,EF⊄平面 PAB,
所以 EF∥平面 PAB.6 分
(2)因为AP
→
·DC
→
=(0,0,1)·(1,0,0)=0,
AD
→
·DC
→
=(0,2,0)·(1,0,0)=0,
所以AP
→
⊥DC
→
,AD
→
⊥DC
→
,即 AP⊥DC,AD⊥DC.10 分
又因为 AP∩AD=A,AP⊂平面 PAD,AD⊂平面 PAD,
所以 DC⊥平面 PAD.
因为 DC⊂平面 PDC,
所以平面 PAD⊥平面 PDC.15 分
[规律方法] 1.利用向量证明平行与垂直,充分利用已知的线面垂直关系构
建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运
算.其中灵活建系是解题的关键.
2.运用向量知识判定空间位置关系,不可忽视几何定理满足的条件,如用
直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,必需强调直线在平面
外.
[变式训练 1] (2017·绍兴一模)如图 773,四棱锥 PABCD 的底面为正方
形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB
的中点.
图 773
求证:(1)PB∥平面 EFH;
(2)PD⊥平面 AHF.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),
H(1,0,0).3 分
(1)∵PB
→
=(2,0,-2),EH
→
=(1,0,-1),
∴PB
→
=2EH
→
,∴PB∥EH.
∵PB⊄平面 EFH,且 EH⊂平面 EFH,
∴PB∥平面 EFH.6 分
(2)PD
→
=(0,2,-2),AH
→
=(1,0,0),AF
→
=(0,1,1),
∴PD
→
·AF
→
=0×0+2×1+(-2)×1=0,10 分
PD
→
·AH
→
=0×1+2×0+(-2)×0=0,
∴PD⊥AF,PD⊥AH.
又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面 AHF.15 分
线面角与异面直线所求的角
☞ 角度 1 求异面直线所成的角
将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶
点的三棱锥体积最大时,异面直线 AD 与 BC 所成的角为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3 D.π
2
C [不妨以△ABC 为底面,则由题意当以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥体
积最大,即点 D 到底面△ABC 的距离最大时,平面 ADC⊥平面 ABC.
设点 O 是 AC 的中点,连接 BO,DO.
则易知 BO,CO,DO 两两互相垂直.
以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,令 BO=CO=DO=1.
则 O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),
于是AD
→
=(0,1,1),BC
→
=(-1,1,0),
因此 cos〈AD
→
,BC
→
〉=
AD
→
·BC
→
|AD
→
|·|BC
→
|
= 1
2 × 2
=1
2.
所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为π
3.]
[规律方法] 1.利用向量法求异面直线所成的角.
(1)选好基底或建立空间直角坐标系;
(2)求出两直线的方向向量 ν1,ν2;
(3)代入公式|cos〈ν1,ν2〉|=|ν1·ν2|
|ν1||ν2|
求解.
2.两异面直线所成角的范围是 θ∈(0,π
2],两向量的夹角 α 的范围是[0,
π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当
异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.
☞ 角度 2 求直线与平面所成的角
(2015·全国卷Ⅱ)如图 774 所示,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=
16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F
的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
图 774
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 【导学号:51062248】
[解] (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.5 分
(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8,
因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.
于是 MH= EH2-EM2=6,所以 AH=10.
以 D 为坐标原点,DA
→
的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标
系 Dxyz,则 A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE
→
=(10,0,0),HE
→
=(0,-
6,8).9 分
设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则Error!即Error!
所以可取 n=(0,4,3).
又AF
→
=(-10,4,8),故|cos〈n,AF
→
〉|=
|n·AF
→
|
|n||AF
→
|
=4 5
15 .
所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为4 5
15 .15 分
[规律方法] 1.利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影,直线的方向向量,转化为求两个方
向向量的夹角(或其补角).
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的
锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
2.(1)求直线与平面所成的角,不要误认为是直线的方向向量与平面法向量
的夹角.
(2)若求线面角的余弦值,要利用平方关系 sin2θ+cos2θ=1 求值.
利用空间向量求二面角
如图 775,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF
为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是
60°.
(1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC;
(2)求二面角 EBCA 的余弦值.
图 775
[解] (1)证明:由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,
所以 AF⊥平面 EFDC.2 分
又 AF⊂平面 ABEF,故平面 ABEF⊥平面 EFDC.6 分
(2)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G.
由(1)知 DG⊥平面 ABEF.
以 G 为坐标原点,GF
→
的方向为 x 轴正方向,|GF
→
|为单位长,建立如图所示
的空间直角坐标系 Gxyz.8 分
由(1)知∠DFE 为二面角 DAFE 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|
= 3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3).
由已知得 AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC.10 分
又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF.
由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC,
所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角,∠CEF=60°.
从而可得 C(-2,0, 3).
所以EC
→
=(1,0, 3),EB
→
=(0,4,0),AC
→
=(-3,-4, 3),AB
→
=(-4,0,0).
设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,
则Error!即Error!
所以可取 n=(3,0,- 3).12 分
设 m 是平面 ABCD 的法向量,则Error!
同理可取 m=(0,3,4).
则 cos〈n,m〉= n·m
|n||m|
=-2 19
19 .
故二面角 EBCA 的余弦值为-2 19
19 .15 分
[规律方法] 1.求解本题要抓住几点:(1)充分利用垂线,建立恰当的直角坐
标系;
(2)确定二面角 DAFE 与二面角 CBEF 的平面角;(3)从空间图形能判定二
面角 EBCA 为钝角.
2.利用向量计算二面角大小的常用方法:
(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通
过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求
角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直
且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[变式训练 2] (2017·衢州质检)如图 776,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD
=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形 BFED 为矩形,平面 BFED⊥平面
ABCD,BF=1.
图 776
(1)求证:AD⊥平面 BFED;
(2)点 P 在线段 EF 上运动,设平面 PAB 与平面 ADE 所成锐二面角为 θ,试
求 θ 的最小值.
[解] (1)证明:在梯形 ABCD 中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,∴AB=2.
∴BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos 60°=3.
∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.2 分
∵平面 BFED⊥平面 ABCD,
平面 BFED∩平面 ABCD=BD,DE⊂平面 BFED,DE⊥DB,
∴DE⊥平面 ABCD,
则 DE⊥AD.
又 DE∩BD=D,∴AD⊥平面 BFED.6 分
(2)由(1)知可建立以直线 DA,DB,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴的如图所示的空间
直角坐标系,令 EP=λ(0≤λ≤ 3),
则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,λ,1),
∴AB
→
=(-1,3,0),BP
→
=(0,λ- 3,1).
设 n1=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,
由Error!得Error!
取 y=1,则 n1=( 3,1, 3-λ).10 分
∵n2=(0,1,0)是平面 ADE 的一个法向量,
∴cos θ=|n1·n2|
|n1||n2|
= 1
3+1+( 3-λ)2 × 1
= 1
(λ- 3)2+4
.
∵0≤λ≤ 3,∴当 λ= 3时,cos θ 有最大值1
2.
∴θ 的最小值为π
3.15 分
利用空间向量解决探索性问题
如图 777①所示,正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F
分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成二面角 ADCB,如图 777②
所示.
(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角 EDFC 的余弦值;
(3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?证明你的结论.
① ②
图 777
[解] (1)如图,在△ABC 中,由 E,F 分别是 AC,BC 中点,得 EF∥AB.
又 AB⊄平面 DEF,EF⊂平面 DEF,
∴AB∥平面 DEF.4 分
(2)以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 3,0),E(0,3,1),F(1,3,0),易知平面 CDF
的法向量为DA
→
=(0,0,2).6 分
设平面 EDF 的法向量为 n=(x,y,z),
则Error!
即Error!
取 n=(3,- 3,3),
cos〈DA
→
,n〉=
DA
→
·n
|DA
→
|·|n|
= 21
7
,
∴二面角 EDFC 的余弦值为 21
7 .9 分
(3)设 P(x,y,0),则AP
→
·DE
→
= 3y-2=0,
∴y=2 3
3 .
又BP
→
=(x-2,y,0),PC
→
=(-x,2 3-y,0).
∵BP
→
∥PC
→
,
∴(x-2)(2 3-y)=-xy,
∴ 3x+y=2 3.12 分
把 y=2 3
3
代入上式得 x=4
3
,
∴BP
→
=1
3BC
→
,
∴在线段 BC 上存在点 P(4
3
,2 3
3
,0),使 AP⊥DE.15 分
[规律方法] 1.根据题目的条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位
置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论.
2.假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足
的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,
则存在,否则不存在.
[变式训练 3] 如图 778,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E
为 CD 中点.
图 778
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;
若不存在,说明理由.
[解] 以 A 为原点,AB
→
,AD
→
,AA1→
的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建
立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=a.1 分
(1)证明:A(0,0,0),D(0,1,0),D 1(0,1,1),E(a
2
,1,0),B1(a,0,1),故AD1→
=
(0,1,1),B1E
→
=(-a
2
,1,-1).3 分
因为B1E
→
·AD1→
=-a
2
×0+1×1+(-1)×1=0,
因此B1E
→
⊥AD1→
,
所以 B1E⊥AD1.6 分
(2)存在满足要求的点 P,
假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),
使得 DP∥平面 B1AE,此时DP
→
=(0,-1,z0),
再设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z).
AB1→
=(a,0,1),AE
→
=(a
2
,1,0).8 分
因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥AB1→
,n⊥AE
→
,得Error!
取 x=1,则 y=-a
2
,z=-a,
则平面 B1AE 的一个法向量 n=(1,-a
2
,-a).12 分
要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP
→
,有a
2
-az0=0,解得 z0=1
2.
所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=1
2.15 分
[思想与方法]
1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量
的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,
降低了空间想象的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量来求空间角,都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题
的关键在于确定对应线段的向量.
[易错与防范]
1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.若用直
线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,必需强调直线在平面外.
2.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角
与各空间角的定义、范围不同.
3.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.
课时分层训练(四十二)
立体几何中的向量方法
A 组 基础达标
(建议用时:30 分钟)
一、选择题
1.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-
3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内的是( )
A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)
A [逐一验证法,对于选项 A,MP
→
=(1,4,1),∴MP
→
·n=6-12+6=0,∴MP
→
⊥n,∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内.]
2.如图 779,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,
则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( ) 【导学号:51062249】
图 779
A. 5
5
B.- 5
5
C.2 5
5
D.-2 5
5
A [不妨设 CB=1,则 B(0,0,1),A(2,0,0),C1=(0,2,0),B1(0,2,1),∴BC1→
=
(0,2,-1),AB1→
=(-2,2,1).
cos〈BC1→
,AB1→
〉=
BC1→
·AB1→
|BC1→
|·|AB1→
|
=0+4-1
5 × 3
= 5
5 .]
3.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM
→
=1
2MC1→
,N 为
B1B 的中点,则|MN
→
|为( )
A. 21
6 a B. 6
6 a
C. 15
6 a D. 15
3 a
A [以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,a
2).
设 M(x,y,z),
∵点 M 在 AC1 上且AM
→
=1
2MC1→
,
(x-a,y,z)=1
2(-x,a-y,a-z),
∴x=2
3a,y=a
3
,z=a
3.
得 M(2a
3
,a
3
,a
3),
∴|MN
→
|= (a-2
3a)2+(a-a
3)2+(a
2
-a
3)2= 21a
6 .]
4.已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面
ACC1A1 所成角的正弦值等于( )
A. 6
4 B. 10
4
C. 2
2 D. 3
2
A [如图所示建立空间直角坐标系,设正三棱柱的棱
长为 2,O(0,0,0),B( 3,0,0),A(0,-1,0),B1( 3,0,2),
则AB1→
=( 3,1,2),则BO
→
=(- 3,0,0)为侧面 ACC1A1 的法向
量.即 sin θ=
|AB1→
·BO
→
|
|AB1→
||BO
→
|
= 6
4 .故选 A.]
5.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面
ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.1
2 B.2
3
C. 3
3 D. 2
2
B [以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,
设棱长为 1,则 A1(0,0,1),
E(1,0,1
2),D(0,1,0),∴A1D
→
=(0,1,-1),A1E
→
=
(1,0,-1
2).
设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),
∴有Error!即Error!
解得Error!
∴n1=(1,2,2).
∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1).
∴cos〈n1,n2〉= 2
3 × 1
=2
3
,
即所成的锐二面角的余弦值为2
3.]
二、填空题
6.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB
→
=(2,-1,-
4),AD
→
=(4,2,0),AP
→
=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP
→
是平面 ABCD 的法向量;④AP
→
∥BD
→
.其中正确的序号是________.
①②③ [∵AB
→
·AP
→
=0,AD
→
·AP
→
=0,
∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.
又AB
→
与AD
→
不平行.
∴AP
→
是平面 ABCD 的法向量,则③正确.
由于BD
→
=AD
→
-AB
→
=(2,3,4),AP
→
=(-1,2,-1),∴BD
→
与AP
→
不平行,故④错
误.]
7.(2017·杭州模拟)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,BC=AA1=1,则
D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为________.
1
3
[以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,
建立空间直角坐标系,设 n=(x,y,z)为平面 A1BC1 的法向
量,
则 n·A1B
→
=0,n·A1C1→
=0,
即Error!令 z=2,则 y=1,x=2,
于是 n=(2,1,2),D1C1→
=(0,2,0).
设所求线面角为 α,则 sin α=|cos〈n,D1C1→
〉|=1
3.]
8.在一直角坐标系中,已知 A(-1,6),B(3,-8),现沿 x 轴将坐标平面折
成 60° 的 二 面 角 , 则 折 叠 后 A , B 两 点 间 的 距 离 为 ________. 【 导 学 号 :
51062250】
2 17 [如图为折叠后的图形,其中作 AC⊥CD,BD⊥CD,
则 AC=6,BD=8,CD=4,
两异面直线 AC,BD 所成的角为 60°.
故由AB
→
=AC
→
+CD
→
+DB
→
,
得|AB
→
|2=|AC
→
+CD
→
+DB
→
|2=68,
∴|AB
→
|=2 17.]
三、解答题
9.(2017·舟山模拟)如图 7710,四棱锥 SABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB
∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,且 SE=
2EB.
图 7710
(1)证明:DE⊥平面 SBC;
(2)求二面角 ADEC 的大小.
[解] 由题意,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DS 所在直线为 x 轴,y
轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),
则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),DB
→
=
(1,1,0),DS
→
=(0,0,2).2 分
(1)证明:∵SE=2EB,
∴DE
→
=2
3DB
→
+1
3DS
→
=2
3(1,1,0)+1
3(0,0,2)=
(2
3
,2
3
,2
3).
又BC
→
=(-1,1,0),BS
→
=(-1,-1,2),
∴DE
→
·BC
→
=0,DE
→
·BS
→
=0,4 分
∴DE
→
⊥BC
→
,DE
→
⊥BS
→
.
又 BC∩BS=B,∴DE⊥平面 SBC.6 分
(2)由(1)知,DE⊥平面 SBC,
∵EC⊂平面 SBC,∴DE⊥EC.9 分
取 DE 的中点 F,
则 F(1
3
,1
3
,1
3),FA
→
=(2
3
,-1
3
,-1
3),
故FA
→
·DE
→
=0,由此得 FA⊥DE.12 分
∴向量FA
→
与EC
→
的夹角等于二面角 ADEC 的平面角,
又 cos〈FA
→
,EC
→
〉=
FA
→
·EC
→
|FA
→
||EC
→
|
=-1
2
,
∴二面角 ADEC 的大小为 120°.15 分
10.在四棱锥 PABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=
DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 GF⊥平面 PCB.若存在,求出点 G 坐
标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)证明:如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为
x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 AD=a,则
D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a
2
,0),
P(0,0,a),F(a
2
,a
2
,a
2),
则EF
→
=(-a
2
,0,a
2),DC
→
=(0,a,0).3 分
∵EF
→
·DC
→
=0,
∴EF
→
⊥DC
→
,从而得 EF⊥CD.6 分
(2)假设存在满足条件的点 G,
设 G(x,0,z),则FG
→
=(x-a
2
,-a
2
,z-a
2).
若使 GF⊥平面 PCB,则 FG⊥CB,FG⊥CP.
FG
→
·CB
→
=(x-a
2
,-a
2
,z-a
2)·(a,0,0)=a(x-a
2)=0,得 x=a
2.10 分
由FG
→
·CP
→
=(x-a
2
,-a
2
,z-a
2)·(0,-a,a)
=a2
2
+a(z-a
2 )=0,得 z=0.
∴G 点坐标为(a
2
,0,0),即存在满足条件的点 G,且点 G 为 AD 的中点.
15 分
B 组 能力提升
(建议用时:15 分钟)
1.(2017·浙江金华联盟联考)已知斜四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的各棱长均为 2,
∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面 A 1ADD1⊥平面 ABCD,则直线 BD1 与平面
ABCD 所成的角的正切值为( )
A. 3
4 B. 13
4
C. 39
13 D. 39
3
C [取 AD 中点 O,连接 OA1,易证 A1O⊥平面 ABCD.建立如图所示的空间
直角坐标系,
得 B(2,-1,0),D1(0,2, 3),BD1→
=(-2,3, 3),平面 ABCD 的一个法向量
为 n=(0,0,1),设 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 θ,∴sin θ=
|BD1→
·n|
|BD1→
|·|n|
= 3
4
,∴tan
θ= 39
13 .]
2.(2017·浙江柯桥中学质检)如图 7711 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,
棱长为 a,M,N 分别为 A 1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 2a
3
,则 MN 与平面
BB1C1C 的位置关系是________. 【导学号:51062251】
图 7711
MN∥平面 BB1C1C [以 C1 为坐标原点建立如图所示
的坐标系.
∵A1M=AN= 2a
3
,
则 M(a,2a
3
,a
3),N(2a
3
,2a
3
,a),∴MN
→
=
(-a
3
,0,2
3a).
又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),
∴C1D1→
=(0,a,0),
∴MN
→
·C1D1→
=0,
∴MN
→
⊥C1D1→
.
又∵C1D1→
是平面 BB1C1C 的法向量,且 MN⊄平面 BB 1C1C,∴MN∥平面
BB1C1C.]
3.如图 7712,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF
⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2.
图 7712
(1)求证:EG∥平面 ADF;
(2)求二面角 OEFC 的正弦值;
(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=2
3HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的
正弦值.
[解] 依题意,OF⊥平面 ABCD,如图,以 O 为原点,
分别以AD
→
,BA
→
,OF
→
的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建
立空间直角
坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),
C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).2
分
(1)证明:依题意,AD
→
=(2,0,0),AF
→
=(1,-1,2).
设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ADF 的法向量,
则Error!即 Error!4 分
不妨取 z1=1,可得 n1=(0,2,1).
又EG
→
=(0,1,-2),可得EG
→
·n1=0.
又因为直线 EG⊄平面 ADF,所以 EG∥平面 ADF.5 分
(2)易证OA
→
=(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量,依题意,
EF
→
=(1,1,0),CF
→
=(-1,1,2).6 分
设 n2=(x2,y2,z2)为平面 CEF 的法向量,则Error!
即Error!
不妨取 x2=1,
可得 n2=(1,-1,1).8 分
因此有 cos〈OA
→
,n2〉=
OA
→
·n2
|OA
→
|·|n2|
=- 6
3
,
于是 sin〈OA
→
,n2〉= 3
3 .
所以,二面角 OEFC 的正弦值为 3
3 .9 分
(3) 由 AH =2
3HF , 得 AH =2
5AF. 因 为AF
→
= (1 , - 1,2) , 所 以AH
→
=2
5AF
→
=
(2
5
,-2
5
,4
5),进而有 H(-3
5
,3
5
,4
5),从而BH
→
=(2
5
,8
5
,4
5).
因此 cos〈BH
→
,n2〉=
BH
→
·n2
|BH
→
|·|n2|
=- 7
21.
所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 7
21.15 分