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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第7节立体几何中的向量方法学案

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第七节 立体几何中的向量方法 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行 或重合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2 直线 l1,l2 的方向向量分别为 n1,n2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 l∥α n⊥m⇔n·m=0 直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向量为 m l⊥α n∥m⇔n=λm α∥β n∥m⇔n=λm 平面 α,β 的法向量分别为 n,m α⊥β n⊥m⇔n·m=0 3.求两条异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角〈a,b〉 范围 0<θ≤π 2 0<〈a,b〉<π 关系 cos θ=|cos〈a,b〉|=|a·b| |a||b| cos〈a,b〉= a·b |a||b| 4.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角 为 θ,则 sin θ=|cos〈a,n〉|=|a·n| |a||n|. 5.求二面角的大小 (1)若 AB,CD 分别是二面角 α­l­β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二 面角的大小就是向量AB → 与CD → 的夹角(如图①). 图 (2)设 n1,n2 分别是二面角 α­l­β 的两个面 α,β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的 夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③). 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(  ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.(  ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(  ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π 2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二 面角的范围是[0,π]. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面 α,β 的法向 量.若 α⊥β,则 t=(  ) A.3 B.4     C.5     D.6 C [∵α⊥β,则 u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0, ∴t=5.] 3.直三棱柱 ABC­A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中 点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(  ) A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 C [建立如图所示的空间直角坐标系 C­xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0), A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM → =(1,-1,2),AN → =(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ= |BM → ·AN → | |BM → |·|AN → | = 3 6 × 5 = 30 10 .] 4.如图 7­7­1 所示,在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 ON,AM 的位置关系是 ________. 【导学号:51062247】 图 7­7­1 垂直 [以 A 为原点,分别以AB → ,AD → ,AA1→ 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间 直 角 坐 标 系 ( 图 略 ) , 设 正 方 体 的 棱 长 为 1 , 则 A(0,0,0) , M(0,1,1 2), O(1 2 ,1 2 ,0),N(1 2 ,0,1),AM → ·ON → =(0,1,1 2)·(0,-1 2 ,1)=0,∴ON 与 AM 垂 直.] 5.(2017·湖州模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB =PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________. 45° [如图,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1,则 A(0,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),由题意,AD⊥平面 PAB,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD. ∴AD → =(0,1,0),AE → =(0,1 2 ,1 2)分别是平面 PAB,平面 PCD 的法向量,且 〈AD → ,AE → 〉=45°. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°.] 利用向量证明平行与垂直问题  如图 7­7­2 所示,在底面是矩形的四棱锥 P­ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC. 图 7­7­2 [证明] 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立空间直角坐标系如图所示,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 所以 E(1 2 ,1,1 2),F(0,1,1 2),EF → =(-1 2 ,0,0),AP → =(0,0,1),AD → =(0,2,0), DC → =(1,0,0),AB → =(1,0,0).3 分 (1)因为EF → =-1 2AB → ,所以EF → ∥AB → ,即 EF∥AB. 又 AB⊂平面 PAB,EF⊄平面 PAB, 所以 EF∥平面 PAB.6 分 (2)因为AP → ·DC → =(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD → ·DC → =(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以AP → ⊥DC → ,AD → ⊥DC → ,即 AP⊥DC,AD⊥DC.10 分 又因为 AP∩AD=A,AP⊂平面 PAD,AD⊂平面 PAD, 所以 DC⊥平面 PAD. 因为 DC⊂平面 PDC, 所以平面 PAD⊥平面 PDC.15 分 [规律方法] 1.利用向量证明平行与垂直,充分利用已知的线面垂直关系构 建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运 算.其中灵活建系是解题的关键. 2.运用向量知识判定空间位置关系,不可忽视几何定理满足的条件,如用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,必需强调直线在平面 外. [变式训练 1] (2017·绍兴一模)如图 7­7­3,四棱锥 P­ABCD 的底面为正方 形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. 图 7­7­3 求证:(1)PB∥平面 EFH; (2)PD⊥平面 AHF. [证明] 建立如图所示的空间直角坐标系 A­xyz. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1), H(1,0,0).3 分 (1)∵PB → =(2,0,-2),EH → =(1,0,-1), ∴PB → =2EH → ,∴PB∥EH. ∵PB⊄平面 EFH,且 EH⊂平面 EFH, ∴PB∥平面 EFH.6 分 (2)PD → =(0,2,-2),AH → =(1,0,0),AF → =(0,1,1), ∴PD → ·AF → =0×0+2×1+(-2)×1=0,10 分 PD → ·AH → =0×1+2×0+(-2)×0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH. 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面 AHF.15 分 线面角与异面直线所求的角 ☞ 角度 1 求异面直线所成的角  将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶 点的三棱锥体积最大时,异面直线 AD 与 BC 所成的角为(  ) A.π 6           B.π 4 C.π 3 D.π 2 C [不妨以△ABC 为底面,则由题意当以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥体 积最大,即点 D 到底面△ABC 的距离最大时,平面 ADC⊥平面 ABC. 设点 O 是 AC 的中点,连接 BO,DO. 则易知 BO,CO,DO 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,令 BO=CO=DO=1. 则 O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0), 于是AD → =(0,1,1),BC → =(-1,1,0), 因此 cos〈AD → ,BC → 〉= AD → ·BC → |AD → |·|BC → | = 1 2 × 2 =1 2. 所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为π 3.] [规律方法] 1.利用向量法求异面直线所成的角. (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的方向向量 ν1,ν2; (3)代入公式|cos〈ν1,ν2〉|=|ν1·ν2| |ν1||ν2| 求解. 2.两异面直线所成角的范围是 θ∈(0,π 2],两向量的夹角 α 的范围是[0, π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当 异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角. ☞ 角度 2 求直线与平面所成的角  (2015·全国卷Ⅱ)如图 7­7­4 所示,长方体 ABCD­A1B1C1D1 中,AB= 16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. 图 7­7­4 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 【导学号:51062248】 [解] (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.5 分 (2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8, 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= EH2-EM2=6,所以 AH=10. 以 D 为坐标原点,DA → 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标 系 D­xyz,则 A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE → =(10,0,0),HE → =(0,- 6,8).9 分 设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则Error!即Error! 所以可取 n=(0,4,3). 又AF → =(-10,4,8),故|cos〈n,AF → 〉|= |n·AF → | |n||AF → | =4 5 15 . 所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为4 5 15 .15 分 [规律方法] 1.利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影,直线的方向向量,转化为求两个方 向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的 锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角. 2.(1)求直线与平面所成的角,不要误认为是直线的方向向量与平面法向量 的夹角. (2)若求线面角的余弦值,要利用平方关系 sin2θ+cos2θ=1 求值. 利用空间向量求二面角  如图 7­7­5,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D­AF­E 与二面角 C­BE­F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (2)求二面角 E­BC­A 的余弦值. 图 7­7­5 [解] (1)证明:由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE, 所以 AF⊥平面 EFDC.2 分 又 AF⊂平面 ABEF,故平面 ABEF⊥平面 EFDC.6 分 (2)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G. 由(1)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点,GF → 的方向为 x 轴正方向,|GF → |为单位长,建立如图所示 的空间直角坐标系 G­xyz.8 分 由(1)知∠DFE 为二面角 D­AF­E 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG| = 3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知得 AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC.10 分 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF. 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 C­BE­F 的平面角,∠CEF=60°. 从而可得 C(-2,0, 3). 所以EC → =(1,0, 3),EB → =(0,4,0),AC → =(-3,-4, 3),AB → =(-4,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量, 则Error!即Error! 所以可取 n=(3,0,- 3).12 分 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则Error! 同理可取 m=(0,3,4). 则 cos〈n,m〉= n·m |n||m| =-2 19 19 . 故二面角 E­BC­A 的余弦值为-2 19 19 .15 分 [规律方法] 1.求解本题要抓住几点:(1)充分利用垂线,建立恰当的直角坐 标系; (2)确定二面角 D­AF­E 与二面角 C­BE­F 的平面角;(3)从空间图形能判定二 面角 E­BC­A 为钝角. 2.利用向量计算二面角大小的常用方法: (1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通 过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求 角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直 且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. [变式训练 2] (2017·衢州质检)如图 7­7­6,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD =DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形 BFED 为矩形,平面 BFED⊥平面 ABCD,BF=1. 图 7­7­6 (1)求证:AD⊥平面 BFED; (2)点 P 在线段 EF 上运动,设平面 PAB 与平面 ADE 所成锐二面角为 θ,试 求 θ 的最小值. [解] (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,∴AB=2. ∴BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos 60°=3. ∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.2 分 ∵平面 BFED⊥平面 ABCD, 平面 BFED∩平面 ABCD=BD,DE⊂平面 BFED,DE⊥DB, ∴DE⊥平面 ABCD, 则 DE⊥AD. 又 DE∩BD=D,∴AD⊥平面 BFED.6 分 (2)由(1)知可建立以直线 DA,DB,DE 为 x 轴,y 轴,z 轴的如图所示的空间 直角坐标系,令 EP=λ(0≤λ≤ 3), 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,λ,1), ∴AB → =(-1,3,0),BP → =(0,λ- 3,1). 设 n1=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量, 由Error!得Error! 取 y=1,则 n1=( 3,1, 3-λ).10 分 ∵n2=(0,1,0)是平面 ADE 的一个法向量, ∴cos θ=|n1·n2| |n1||n2| = 1 3+1+( 3-λ)2 × 1 = 1 (λ- 3)2+4 . ∵0≤λ≤ 3,∴当 λ= 3时,cos θ 有最大值1 2. ∴θ 的最小值为π 3.15 分 利用空间向量解决探索性问题  如图 7­7­7①所示,正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成二面角 A­DC­B,如图 7­7­7② 所示. (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E­DF­C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?证明你的结论. ①          ② 图 7­7­7 [解] (1)如图,在△ABC 中,由 E,F 分别是 AC,BC 中点,得 EF∥AB. 又 AB⊄平面 DEF,EF⊂平面 DEF, ∴AB∥平面 DEF.4 分 (2)以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 3,0),E(0,3,1),F(1,3,0),易知平面 CDF 的法向量为DA → =(0,0,2).6 分 设平面 EDF 的法向量为 n=(x,y,z), 则Error! 即Error! 取 n=(3,- 3,3), cos〈DA → ,n〉= DA → ·n |DA → |·|n| = 21 7 , ∴二面角 E­DF­C 的余弦值为 21 7 .9 分 (3)设 P(x,y,0),则AP → ·DE → = 3y-2=0, ∴y=2 3 3 . 又BP → =(x-2,y,0),PC → =(-x,2 3-y,0). ∵BP → ∥PC → , ∴(x-2)(2 3-y)=-xy, ∴ 3x+y=2 3.12 分 把 y=2 3 3 代入上式得 x=4 3 , ∴BP → =1 3BC → , ∴在线段 BC 上存在点 P(4 3 ,2 3 3 ,0),使 AP⊥DE.15 分 [规律方法] 1.根据题目的条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位 置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论. 2.假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足 的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围, 则存在,否则不存在. [变式训练 3] 如图 7­7­8,在长方体 ABCD ­A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. 图 7­7­8 (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长; 若不存在,说明理由. [解] 以 A 为原点,AB → ,AD → ,AA1→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=a.1 分 (1)证明:A(0,0,0),D(0,1,0),D 1(0,1,1),E(a 2 ,1,0),B1(a,0,1),故AD1→ = (0,1,1),B1E → =(-a 2 ,1,-1).3 分 因为B1E → ·AD1→ =-a 2 ×0+1×1+(-1)×1=0, 因此B1E → ⊥AD1→ , 所以 B1E⊥AD1.6 分 (2)存在满足要求的点 P, 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP∥平面 B1AE,此时DP → =(0,-1,z0), 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z). AB1→ =(a,0,1),AE → =(a 2 ,1,0).8 分 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥AB1→ ,n⊥AE → ,得Error! 取 x=1,则 y=-a 2 ,z=-a, 则平面 B1AE 的一个法向量 n=(1,-a 2 ,-a).12 分 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP → ,有a 2 -az0=0,解得 z0=1 2. 所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=1 2.15 分 [思想与方法] 1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量 的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算, 降低了空间想象的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想. 2.用向量来求空间角,都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题 的关键在于确定对应线段的向量. [易错与防范] 1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.若用直 线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,必需强调直线在平面外. 2.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角 与各空间角的定义、范围不同. 3.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角. 课时分层训练(四十二)  立体几何中的向量方法 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,- 3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内的是(  ) A.P(2,3,3)  B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) A [逐一验证法,对于选项 A,MP → =(1,4,1),∴MP → ·n=6-12+6=0,∴MP → ⊥n,∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内.] 2.如图 7­7­9,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC­A1B1C1,CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(  ) 【导学号:51062249】 图 7­7­9 A. 5 5 B.- 5 5 C.2 5 5 D.-2 5 5 A [不妨设 CB=1,则 B(0,0,1),A(2,0,0),C1=(0,2,0),B1(0,2,1),∴BC1→ = (0,2,-1),AB1→ =(-2,2,1). cos〈BC1→ ,AB1→ 〉= BC1→ ·AB1→ |BC1→ |·|AB1→ | =0+4-1 5 × 3 = 5 5 .] 3.正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM → =1 2MC1→ ,N 为 B1B 的中点,则|MN → |为(  ) A. 21 6 a B. 6 6 a C. 15 6 a D. 15 3 a A [以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D­xyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,a 2). 设 M(x,y,z), ∵点 M 在 AC1 上且AM → =1 2MC1→ , (x-a,y,z)=1 2(-x,a-y,a-z), ∴x=2 3a,y=a 3 ,z=a 3. 得 M(2a 3 ,a 3 ,a 3), ∴|MN → |= (a-2 3a)2+(a-a 3)2+(a 2 -a 3)2= 21a 6 .] 4.已知正三棱柱 ABC­A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于(  ) A. 6 4 B. 10 4 C. 2 2 D. 3 2 A [如图所示建立空间直角坐标系,设正三棱柱的棱 长为 2,O(0,0,0),B( 3,0,0),A(0,-1,0),B1( 3,0,2), 则AB1→ =( 3,1,2),则BO → =(- 3,0,0)为侧面 ACC1A1 的法向 量.即 sin θ= |AB1→ ·BO → | |AB1→ ||BO → | = 6 4 .故选 A.] 5.在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为(  ) A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 B [以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A­xyz, 设棱长为 1,则 A1(0,0,1), E(1,0,1 2),D(0,1,0),∴A1D → =(0,1,-1),A1E → = (1,0,-1 2). 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z), ∴有Error!即Error! 解得Error! ∴n1=(1,2,2). ∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1). ∴cos〈n1,n2〉= 2 3 × 1 =2 3 , 即所成的锐二面角的余弦值为2 3.] 二、填空题 6.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB → =(2,-1,- 4),AD → =(4,2,0),AP → =(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP → 是平面 ABCD 的法向量;④AP → ∥BD → .其中正确的序号是________. ①②③ [∵AB → ·AP → =0,AD → ·AP → =0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. 又AB → 与AD → 不平行. ∴AP → 是平面 ABCD 的法向量,则③正确. 由于BD → =AD → -AB → =(2,3,4),AP → =(-1,2,-1),∴BD → 与AP → 不平行,故④错 误.] 7.(2017·杭州模拟)在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中,AB=2,BC=AA1=1,则 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为________. 1 3  [以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,设 n=(x,y,z)为平面 A1BC1 的法向 量, 则 n·A1B → =0,n·A1C1→ =0, 即Error!令 z=2,则 y=1,x=2, 于是 n=(2,1,2),D1C1→ =(0,2,0). 设所求线面角为 α,则 sin α=|cos〈n,D1C1→ 〉|=1 3.] 8.在一直角坐标系中,已知 A(-1,6),B(3,-8),现沿 x 轴将坐标平面折 成 60° 的 二 面 角 , 则 折 叠 后 A , B 两 点 间 的 距 离 为 ________. 【 导 学 号 : 51062250】 2 17 [如图为折叠后的图形,其中作 AC⊥CD,BD⊥CD, 则 AC=6,BD=8,CD=4, 两异面直线 AC,BD 所成的角为 60°. 故由AB → =AC → +CD → +DB → , 得|AB → |2=|AC → +CD → +DB → |2=68, ∴|AB → |=2 17.] 三、解答题 9.(2017·舟山模拟)如图 7­7­10,四棱锥 S­ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB ∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,且 SE= 2EB. 图 7­7­10 (1)证明:DE⊥平面 SBC; (2)求二面角 A­DE­C 的大小. [解] 由题意,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图), 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),DB → = (1,1,0),DS → =(0,0,2).2 分 (1)证明:∵SE=2EB, ∴DE → =2 3DB → +1 3DS → =2 3(1,1,0)+1 3(0,0,2)= (2 3 ,2 3 ,2 3). 又BC → =(-1,1,0),BS → =(-1,-1,2), ∴DE → ·BC → =0,DE → ·BS → =0,4 分 ∴DE → ⊥BC → ,DE → ⊥BS → . 又 BC∩BS=B,∴DE⊥平面 SBC.6 分 (2)由(1)知,DE⊥平面 SBC, ∵EC⊂平面 SBC,∴DE⊥EC.9 分 取 DE 的中点 F, 则 F(1 3 ,1 3 ,1 3),FA → =(2 3 ,-1 3 ,-1 3), 故FA → ·DE → =0,由此得 FA⊥DE.12 分 ∴向量FA → 与EC → 的夹角等于二面角 A­DE­C 的平面角, 又 cos〈FA → ,EC → 〉= FA → ·EC → |FA → ||EC → | =-1 2 , ∴二面角 A­DE­C 的大小为 120°.15 分 10.在四棱锥 P­ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD= DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 GF⊥平面 PCB.若存在,求出点 G 坐 标;若不存在,请说明理由. [解] (1)证明:如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a 2 ,0), P(0,0,a),F(a 2 ,a 2 ,a 2), 则EF → =(-a 2 ,0,a 2),DC → =(0,a,0).3 分 ∵EF → ·DC → =0, ∴EF → ⊥DC → ,从而得 EF⊥CD.6 分 (2)假设存在满足条件的点 G, 设 G(x,0,z),则FG → =(x-a 2 ,-a 2 ,z-a 2). 若使 GF⊥平面 PCB,则 FG⊥CB,FG⊥CP. FG → ·CB → =(x-a 2 ,-a 2 ,z-a 2)·(a,0,0)=a(x-a 2)=0,得 x=a 2.10 分 由FG → ·CP → =(x-a 2 ,-a 2 ,z-a 2)·(0,-a,a) =a2 2 +a(z-a 2 )=0,得 z=0. ∴G 点坐标为(a 2 ,0,0),即存在满足条件的点 G,且点 G 为 AD 的中点. 15 分 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·浙江金华联盟联考)已知斜四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 的各棱长均为 2, ∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面 A 1ADD1⊥平面 ABCD,则直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正切值为(  ) A. 3 4 B. 13 4 C. 39 13 D. 39 3 C [取 AD 中点 O,连接 OA1,易证 A1O⊥平面 ABCD.建立如图所示的空间 直角坐标系, 得 B(2,-1,0),D1(0,2, 3),BD1→ =(-2,3, 3),平面 ABCD 的一个法向量 为 n=(0,0,1),设 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 θ,∴sin θ= |BD1→ ·n| |BD1→ |·|n| = 3 4 ,∴tan θ= 39 13 .] 2.(2017·浙江柯桥中学质检)如图 7­7­11 所示,在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中, 棱长为 a,M,N 分别为 A 1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 2a 3 ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是________. 【导学号:51062251】 图 7­7­11 MN∥平面 BB1C1C [以 C1 为坐标原点建立如图所示 的坐标系. ∵A1M=AN= 2a 3 , 则 M(a,2a 3 ,a 3),N(2a 3 ,2a 3 ,a),∴MN → = (-a 3 ,0,2 3a). 又 C1(0,0,0),D1(0,a,0), ∴C1D1→ =(0,a,0), ∴MN → ·C1D1→ =0, ∴MN → ⊥C1D1→ . 又∵C1D1→ 是平面 BB1C1C 的法向量,且 MN⊄平面 BB 1C1C,∴MN∥平面 BB1C1C.] 3.如图 7­7­12,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF ⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2. 图 7­7­12 (1)求证:EG∥平面 ADF; (2)求二面角 O­EF­C 的正弦值; (3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=2 3HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的 正弦值. [解] 依题意,OF⊥平面 ABCD,如图,以 O 为原点, 分别以AD → ,BA → ,OF → 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建 立空间直角 坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0), C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).2 分 (1)证明:依题意,AD → =(2,0,0),AF → =(1,-1,2). 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ADF 的法向量, 则Error!即 Error!4 分 不妨取 z1=1,可得 n1=(0,2,1). 又EG → =(0,1,-2),可得EG → ·n1=0. 又因为直线 EG⊄平面 ADF,所以 EG∥平面 ADF.5 分 (2)易证OA → =(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量,依题意, EF → =(1,1,0),CF → =(-1,1,2).6 分 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 CEF 的法向量,则Error! 即Error! 不妨取 x2=1, 可得 n2=(1,-1,1).8 分 因此有 cos〈OA → ,n2〉= OA → ·n2 |OA → |·|n2| =- 6 3 , 于是 sin〈OA → ,n2〉= 3 3 . 所以,二面角 O­EF­C 的正弦值为 3 3 .9 分 (3) 由 AH =2 3HF , 得 AH =2 5AF. 因 为AF → = (1 , - 1,2) , 所 以AH → =2 5AF → = (2 5 ,-2 5 ,4 5),进而有 H(-3 5 ,3 5 ,4 5),从而BH → =(2 5 ,8 5 ,4 5). 因此 cos〈BH → ,n2〉= BH → ·n2 |BH → |·|n2| =- 7 21. 所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 7 21.15 分

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