【数学】2018届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 学案 5页

第4讲　数系的扩充与复数的引入 最新考纲　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)‎ 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)‎ 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 ‎|z|＝|a＋bi|＝ ‎2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，‎ 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎3.复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝ ‎＝(c＋di≠0).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)‎ ‎(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)‎ 解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)‎ A.－3 B.－‎2 ‎ C.2 D.3‎ 解析　因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(‎2a＋1)i，所以a－2＝‎2a＋1，解得a＝－3，故选A.‎ 答案　A ‎3.(选修2－2P‎112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i 解析　∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.‎ 答案　C ‎4.(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且＝3＋i，则a等于(　　)‎ A.－4 B.－‎3 ‎ C.3 D.4‎ 解析　由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.‎ 答案　D ‎5.已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.‎ 解析　∵z＝＝ ‎＝＝2－i，‎ ‎∴z＝2＋i.‎ 答案　2＋i ‎6.(2017·温州调研)设a∈R，若复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ‎＝________，||＝________.‎ 解析　复数＝＝，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝－i，则|z|＝＝.‎ 答案　0　 考点一　复数的有关概念 ‎【例1】 (1)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)‎ A.i B.－i C.1 D.－1‎ ‎(2)(2017·东阳中学期末)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A.2 B. C.－ D.－2‎ 解析　(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.所以应选A.‎ ‎(2)∵＝＝是纯虚数，∴‎2a－1＝0且a＋2≠0，∴a＝，故选B.‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·河南六市联考)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于(　　)‎ A.－6 B. C.－ D.2‎ ‎(2)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.‎ 解析　(1)由＝＝，由2－2b＝b＋4，得b＝－.‎ ‎(2)因为复数a＋bi(a，b∈R)的模为，即＝，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2＝3.‎ 答案　(1)C　(2)3‎ 考点二　复数的几何意义 ‎【例2】 (1)(2014·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A.－5 B‎.5 ‎ C.－4＋i D.－4－i ‎(2)(2016·全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－3，1) B.(－1，3)‎ C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)‎ 解析　(1)由题意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.‎ ‎(2)由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得解得－3