【数学】2019届一轮复习人教A版分类与整合思想、化归与转化思想学案 10页

‎【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.‎ ‎【命题热点突破一】分类与整合思想 ‎1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. ‎ 常见的分类讨论问题有： ‎ ‎(1)集合：注意集合中空集∅讨论. ‎ ‎(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a＞1和0＜a＜1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. ‎ ‎(3)数列：由Sn求an分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论. ‎ ‎(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. ‎ ‎(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. ‎ ‎(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论. ‎ ‎(7)平面解析几何：直线点斜式中 分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. ‎ ‎(8)排列、组合、概率中的分类计数问题. ‎ ‎(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. ‎ 例1、(1) 设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0(0E(3X2)，则>6P0，即00，f(x)单调递增；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．‎ 综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．[ : xx ]‎ ‎②若m≤0，由(1)知，函数f(x)在(0，2)上单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在极值点．‎ 当m>0时，设函数g(x)＝mx－ex，‎ 则g′(x)＝m－ex.‎ ‎(i)当00，f(x)单调递增，‎ 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．‎ ‎【命题热点突破二】化归与转化思想 ‎ (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. ‎ ‎ (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. ‎ ‎(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. ‎ ‎(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.‎ 例2、(1)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，‎ 现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.‎ 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．‎ ‎(2)P，Q为△ABC内不同的两点．若3＋2＋＝0，3＋4＋5＝0，则S△PAB∶S△QAB＝________．‎ ‎【答案】(1)①④　(2)2∶5　‎ ‎ ‎ ‎(2)如图所示，以A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系．‎ 设△ABC的面积为S，P(x1，y1)，B(m，0)，C(a，b)，则3(x1，y1)＋2(x1－m，y1)＋(x1－a，y1－b)＝(0，0)，解得y1＝，即△PAB的高为△CAB的高的，故△PAB的面积为S.‎ 设Q(x2，y2)，则3(x2，y2)＋4(x2－m，y2)＋5(x2－a，y2－b)＝(0，0)，解得y2＝b，即△QAB的高为△CAB的高的，故△QAB的面积为S.‎ 所以S△PAB∶S△QAB＝∶＝2∶5. 学 ‎ ‎【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)已知x，y满足若 ＝ax＋y的最大值为‎3a＋9，最小值为‎3a－3，则a的取值范围为(　　)‎ A．a≥1 B．a≤－1‎ C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1‎ ‎(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．9 ‎ B．10‎ C．11 ‎ D. ‎【答案】(1)C　(2)C　‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1．[2015·安徽卷] 已知数列{an}是递增的等比数列．a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．‎ ‎【答案】2n－1　‎ ‎【解析】设数列{an}的公比为q，由a‎2a3＝a‎1a4＝8，a1＋a4＝9知a1，a4是一元二次方程x2－9x＋8＝0的两根，解此方程得x＝1或x＝8.又数列{an}递增，因此a1＝1，a4＝a1q3＝8，解得q＝2，故数列{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.‎ ‎2．[2015·福建卷] 函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(1，2]　‎ ‎ ‎ ‎3．[2015·山东卷] 若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】∵y＝tan x在区间上单调递增，∴y＝tan x的最大值为tan＝1.‎ 又∵“∀x∈，tan x≤m”是真命题，∴m≥1.‎ ‎4．[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．‎ ‎【答案】120　‎ ‎【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A个，故共有5×A＝120(个)．[ :学 ]‎ ‎5．[2014·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．‎ ‎【答案】．－　‎ ‎【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝‎3c.‎ 又∵b－c＝，∴a＝‎2c，b＝c，[ : |xx| ]‎ ‎∴cos A＝＝＝－.学 ‎ ‎6．[2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.若对任意b>a>0，<1恒成立，则m的取值范围是________．‎ ‎【答案】[，＋∞)　‎ ‎ ‎ ‎7．[2015·湖北卷改编] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈ }，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈ }，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为________．‎ ‎【答案】45　‎ ‎【解析】方法一：若x1＋x2＝－3，则只能x1＝－1，y1＝0，此时y1＋y2＝－2，－1，0，1，2，(x1＋x2，y1＋y2)有5种情况，根据对称性知，当x1＋x2＝3时，(x1＋x2，y1＋y2)也有5种情况；‎ 若x1＋x2＝－2，此时x1＝－1，0均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，当x1＋x2＝2时，(x1＋x2，y1＋y2)也有7种情况；‎ 若x1＋x2＝－1，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，x1＋x2＝1时，(x1＋x2，‎ y1＋y2)也有7种情况；‎ 若x1＋x2＝0，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况．‎ 综上可知，共有2×5＋2×7＋2×7＋7＝45(种)情况，即A⊕B中元素的个数为45.‎