【数学】2020届一轮复习人教B版参数范围与最值，不等建解不宜迟学案 7页

‎【题型综述】‎ 参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：‎ （1） 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.‎ ‎(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎④利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ 参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.*‎ ‎【典例指引】‎ 类型一 参数范围问题 例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.‎ ‎（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以，于是圆N的半径为，从而，解得.‎ 因此，圆N的标准方程为.‎ ‎(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ 所以 解得.‎ 因此，实数t的取值范围是. ‎ 类型二 方程中参数范围问题 例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【解析】（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得.‎ 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为……‎ 类型三 斜率范围问题 例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为 ‎，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ 类型四 离心率的范围问题 例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；‎ ‎（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.‎ ‎【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得 ‎，‎ 故，．‎ 因此．‎ 由于，，得 ‎，‎ 因此， ①‎ 因为①式关于，的方程有解的充要条件是 ‎，所以．‎ 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，‎ 由得，所求离心率的取值范围为．‎ ‎【扩展链接】‎ ‎1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①‎ ‎ ；②‎ 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①‎ ‎ ；②‎ 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）‎ 结论：椭圆过焦点弦长公式：‎ ‎2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦 点的弦.*‎ 3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.‎ ‎4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 ‎①. ‎ ‎②. ‎ ‎③.‎ ‎④.；‎ ‎⑤.；‎ ‎⑥.；‎