2018届二轮复习空间几何体课件（江苏专用） 40页

第 1 讲　 空间 几何体 专题 五　 立体几何与空间向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 解析　 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E ， 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径 ， 1 2 3 4 线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥 ， 如图所示，该几何体的体积为 1 2 3 4 1 2 3 4 解析　 设圆锥的底面半径为 r ，则圆锥的底面圆周长 L ＝ 2π r ， 1 2 3 4 3. (2015· 课标全国 Ⅰ 改编 ) 《九章算术》是我国 古 代内容 极为丰富的数学 名著，书 中有如下 问题： “ 今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问： 积 及为米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处 堆 放 米 ( 如图，米堆为一个圆锥的四分之一 ) ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3 ，估算出堆放的米约有 ________ 斛 ( 精确到 1 斛 ). 1 2 3 4 答案　 B 1 2 3 4 解析　 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r 1 ， r 2 和 h 1 ， h 2 ， 由圆柱的侧面积相等，得 2π r 1 h 1 ＝ 2π r 2 h 2 ， 考情考向分析 1. 以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 . 2. 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题 . 热点一　空间几何体的结构特征 热点分类突破 棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共项点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形 . 圆柱 可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到 . 例 1 　 设有以下四个命题： ① 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ② 底面是矩形的平行六面体是长方体； ③ 直四棱柱是直平行六面体； ④ 棱台的各侧棱延长后必交于一点 . 其中真命题的序号是 ________. 解析　 命题 ① 符合平行六面体的定义，故命题 ① 是正确的； 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题 ② 是错误的； 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题 ③ 是错误的； 命题 ④ 由棱台的定义知是正确的 . 答案　 ①④ 思维升华 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法： (1) 紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定 . (2) 通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析 . 跟踪演练 1 　 (1) 给出下列四个命题： ① 各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； ② 对角面是全等矩形的六面体一定是长方体； ③ 有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④ 长方体一定是正四棱柱 . 其中正确命题的个数是 ________. 解析　 ① 直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱； ② 底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体； ③④ 显然错误 . 0 (2) 以下命题： ① 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ② 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④ 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 . 其中正确命题的个数为 ________. 解析　 命题 ① 错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥 . 命题 ② 错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰 . 命题 ③ 对 . 命题 ④ 错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以 . 答案　 1 热点二　几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧 . 例 2 　 (1) 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别在 C 1 D 1 与 C 1 B 1 上，且 C 1 E ＝ 4 ， C 1 F ＝ 3 ，连结 EF ， FB ， DE ， BD ，则几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 ________. 解析　 如图，连结 DF ， DC 1 ， 那么几何体 EFC 1 － DBC 被分割成三 棱锥 D － EFC 1 及四棱锥 D － CBFC 1 ， 那么几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 故所求几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 66. 答案　 66 (2) 如 图 , 有 一个水平放置的透明无盖的正方体 容器 , 容器 高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向 容器内 注水 , 当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如 果 不计容器的厚度，则球的体积为 ________cm 3 . 解析　 设球的半径为 R ，则球的截面圆的半径是 4 ， 且球心到该截面的距离是 R － (8 － 6) ＝ R － 2 ， 故 R 2 ＝ ( R － 2) 2 ＋ 4 2 ⇒ R ＝ 5 . 思维升华 (1) 求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . (2) 求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差 . 求解时注意不要多算也不要少算 . 跟踪演练 2 　 如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中 互 相 垂直的棱， BC ＝ 2. 若 AD ＝ 2 c ，且 AB ＋ BD ＝ AC ＋ CD ＝ 2 a ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的 体积 的最大值是 ________. 解析　 ∵ AB ＋ BD ＝ AC ＋ CD ＝ 2 a >2 c ＝ AD ， ∴ B 、 C 都在以 AD 的中点 O 为中心，以 A 、 D 为焦点的两个椭圆上 ， 此时 △ BOC 为等腰三角形，且 AD ⊥ OC ， AD ⊥ OB ， ∴ AD ⊥ 平面 OBC . 取 BC 的中点 E ，显然 OE ⊥ BC ， 热点三　多面体与球 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 解析　 如图，在 △ ABC 中， BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC cos 60° ＝ 3 ， ∴ AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 ， 即 AB ⊥ BC ， 又 SA ⊥ 平面 ABC ， 故球 O 的表面积为 4π × 2 2 ＝ 16π. 答案　 16π (2) (2015· 课标全国 Ⅱ 改编 ) 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90° ， C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 ________. 解析　 如图，要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积最大， 当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离， 即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大， 其最大值为球 O 的半径 R ， 得 S 球 O ＝ 4π R 2 ＝ 4π × 6 2 ＝ 144π. 答案　 144π 思维升华 三棱锥 P － ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1) P 可作为长方体上底面的一个顶点， A 、 B 、 C 可作为下底面的三个顶点； (2) P － ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线 . 解析　 如图，以 AB ， AC ， AD 为棱把该三棱 锥扩充成长方体， 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， ∴ 三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长 . 高考押题精练 1 2 3 1. 在 △ ABC 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1.5 ， ∠ ABC ＝ 120 ° ( 如图所示 ) ，若将 △ ABC 绕 BC 边所在直线旋转 一 周 ，则所形成的旋转体的体积是 ________. 押题依据　 几何体的结构特征是几何体计算，证明问题的基础，本题首先要理解几何体的构成 . 1 2 3 解析　 如图所示 ， 该 旋转体的体积为圆锥 CD 与圆锥 BD 的体积之差， 由已知求得 BD ＝ 1. 1 2 3 押题依据　 简单合体的表面积和体积计算是高考考查的重点，本题从体积和展开图两个角度命题，符合高考命题思想 . 1 2 3 解析　 设圆锥底面半径为 R ＝ MO ， 1 2 3 1 2 3 押题依据　 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点 . 1 2 3 解析　 因为三棱锥 S － ABC 为正三棱锥， 所以 SB ⊥ AC ， 又 AM ⊥ SB ， 所以 SB ⊥ 平面 SAC ， 所以 SA ＝ SB ＝ SC ＝ 2 ，所以 (2 R ) 2 ＝ 3 × 2 2 ＝ 12 ， 所以 球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 12π . 答案　 12π