【数学】2018届一轮复习人教A版 二项式定理 学案 15页

专题55 二项式定理 ‎1.能用计数原理证明二项式定理；‎ ‎2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ ‎ ‎ ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)‎ 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)当0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C．‎ ‎(2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为．‎ ‎(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，‎ C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．‎ 高频考点一　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1、已知在的展开式中，第6项为常数项.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项.‎ 解　(1)通项公式为 Tk＋1＝Cxx－＝Cx.‎ 因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得k＝2，‎ 故含x2的项的系数是C＝.‎ ‎ 【举一反三】(1)在(－1)4的展开式中，x的系数为________.‎ ‎(2) (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A.10 B.20‎ C.30 D.60‎ 答案　(1)6　(2)C 解析　(1)由题意可知Tk＋1＝C()4－k(－1)k＝，令＝1解得k＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6.‎ ‎(2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解.‎ ‎(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 方法二　利用组合知识求解.‎ ‎(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 高频考点二　已知二项展开式某项的系数求参数 例2、 (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.‎ 答案　3‎ 解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，‎ 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.‎ ‎【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.‎ ‎【变式探究】(1) (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)‎ ‎(2) (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)‎ 答案　(1)20　(2) 解析　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，‎ x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，‎ ‎∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.‎ ‎(2)设通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，‎ ‎∴k＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，‎ ‎∴a3＝，∴a＝.‎ 高频考点三　二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3、(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A.－27C B.27C C.－9C D.9C ‎(2) (1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)‎ A.1 024 B.243‎ C.32 D.24‎ ‎【举一反三】在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.‎ 解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ ‎【变式探究】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.‎ ‎(1)求x2的系数取最小值时n的值；‎ ‎(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.‎ 解　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，‎ x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)‎ ‎＝＋(11－m)＝2＋.‎ ‎∵m∈N*，‎ ‎∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.‎ ‎(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，‎ ‎∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.‎ 设这时f(x)的展开式为 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，‎ 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，‎ 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，‎ 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，‎ 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.‎ 高频考点四　二项式定理的应用 例4、(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除；‎ ‎(2)(设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)‎ A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i ‎(1)证明　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ‎＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1‎ ‎＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1‎ ‎＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，‎ ‎∴原式能被31整除.‎ ‎(2)解析　x＝＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.‎ 答案　C ‎【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.‎ ‎【举一反三】 设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A.0 B.1 C.11 D.12‎ 解析　∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋C·522 014＋…－C·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a＝12.‎ 答案　D ‎【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.‎ ‎【变式探究】1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)‎ A.－1 B.1 C.－87 D.87‎ 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ ‎1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4‎ ‎【答案】A ‎【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.‎ ‎2.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。‎ ‎3.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.‎ ‎4.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】－56‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． ‎ ‎5.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】因为，所以由，因此 ‎1.【2015高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．‎ ‎2.【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，‎ 所以二项式中奇数项的二项式系数和为.‎ ‎3..【2015高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎4.【2015高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .‎ 【答案】6．‎ ‎【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入6．‎ ‎5.【2015高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.‎ ‎【答案】-40.‎ ‎【解析】‎ ‎，所以的系数为.‎ ‎6.【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.‎ ‎7.【2015高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.‎ ‎8.【2015高考福建，理11】 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于80．‎ ‎9.【2015高考北京，理9】在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】利用通项公式，，令，得出的系数为 ‎10.【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ ‎11.【2015高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）‎ A. ‎ B. C.6 D-6‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】，令，可得，故选D.‎ ‎12.【2015高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为 ‎1．（2014·安徽卷）设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图13所示，则a＝________.‎ 图13‎ ‎【答案】3　【解析】由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故 解得 ‎2．（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“‎1”‎表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 ‎ B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) ‎ D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎【答案】A　 ‎ ‎3．（2014·湖北卷）若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C‎22a5x－3，故含的项的系数是C‎22a5＝84，解得a＝1.故选C.‎ ‎4．（2014·新课标全国卷Ⅰ） (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎【答案】－20　‎ ‎【解析】(x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.‎ ‎5．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎6．（2014·四川卷）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30 B．‎20 C．15 D．10‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.‎ ‎7．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．‎60 C．120 D．210‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.‎ ‎1. (x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A.C B.C C.C D.(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为 C(－1)m－1.‎ ‎2.已知，那么n展开式中含x2项的系数为(　　)‎ A.130 B.135 C.121 D.139‎ 答案　B 解析　根据题意，，则6中，由二项式定理得通项公式为Tk＋1＝C(－3)kx6－2k，令6－2k＝2，得k＝2，所以系数为C×9＝135.‎ ‎3.已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)‎ A.63 B.64 C.31 D.32‎ 答案　A 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.‎ ‎4.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A.－20 B.－15‎ C.15 D.20‎ 答案　C 解析　设展开式中的常数项是第k＋1项，则Tk＋1＝C·(4x)6－k·(－2－x)k＝C·(－1)k·212x－2kx·2－kx＝C·(－1)k·212x－3kx，‎ ‎∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，‎ ‎∴T5＝C·(－1)4＝15.‎ ‎5.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为(　　)‎ A.－4 B. C.4 D. 答案　C 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.‎ ‎6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2‎ ‎－…＋(－1)nan等于(　　)‎ A.(3n－1) B.(3n－2)‎ C.(3n－2) D.(3n－1)‎ 答案　D 解析　在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，‎ 即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ ‎＝(3n－1).‎ ‎7.若(x＋a)2(－1)5的展开式中常数项为－1，则a的值为(　　)‎ A.1 B.9‎ C.－1或－9 D.1或9‎ 答案　D ‎8.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 答案　10‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，‎ 它的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，‎ T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ ‎9.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.‎ 答案　6‎ 解析　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，‎ ‎∴a＝C.同理，b＝C.‎ ‎∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.‎ ‎∴13·＝7·.∴m＝6.‎ ‎10.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7‎ ‎＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.‎ ‎(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.‎ 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，‎ 即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.‎ ‎11.若(＋)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：‎ ‎(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项.‎ 解　易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8.‎ ‎ ‎ ‎(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则：()kC≥()k＋1C且()kC≥()k－1C⇒k＝2或k＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为