【数学】2020届一轮复习人教B版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案 11页

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎1．命题及其关系 ‎(1)理解命题的概念．‎ ‎(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否 命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎2．充分条件与必要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ 知识点一　命题、四种命题及相互关系 ‎1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．‎ ‎2．四种命题及相互关系 ‎3．四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ 易误提醒　易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．‎ 必备方法　由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－‎4”‎的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝‎0”‎为真命题 B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠‎0”‎为真命题 C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠‎0”‎为假命题 D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝‎0”‎为假命题 解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.‎ 答案：C 知识点二　充要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．‎ 易误提醒　注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B　A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A　B)两者的不同．‎ 必备方法　充分条件与必要条件判定的三种方法 ‎1．定义法：‎ ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若p⇒q且q ⇒/ 　p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若p ⇒/ 　　q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若p ⇒/ 　　q且q ⇒/ 　　p，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎2．利用集合间的包含关系判断：‎ 记条件p，q对应的集合分别是A，B，则 ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；‎ ‎(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎3．等价法：‎ 利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．‎ ‎[自测练习]‎ ‎2．“(2x－1)x＝‎0”‎是“x＝‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由(2x－1)x＝0可得x＝或0，所以“x＝或0”是“x＝0”的必要不充分条件．‎ 答案：B ‎3．已知条件p：x≤1，条件q：<1，则綈p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x>1得<1；反过来，由<1不能得知x>1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.‎ 答案：A ‎4．(2018·高考湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.‎ 答案：A 考点一　命题及其相互关系|‎ ‎1．(2018·高考山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．‎ 答案：D ‎2．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>‎1”‎的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝‎0”‎的否命题 D．命题“若x2>0，则x>‎1”‎的逆否命题 解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；‎ B中否命题为“若x≤1，则x2≤‎1”‎是假命题；‎ C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠‎0”‎是假命题；‎ D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．‎ 答案：A ‎3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．‎ ‎①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；‎ ‎③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；‎ ‎④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．‎ 解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.‎ 答案：②④‎ 命题真假的两种判断方法 ‎(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．‎ ‎(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．‎ ‎　　‎ 考点二　充分条件和必要条件的判定|‎ ‎　(1)(2018·高考四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>‎1”‎是“log‎2a>log2b>‎0”‎的(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，log‎2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>‎1”‎是“log‎2a>log2b>‎0”‎的充要条件．‎ ‎[答案]　A ‎(2)(2018·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.‎ ‎[答案]　A 判断充分条件与必要条件的两个注意点：‎ ‎(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.‎ ‎(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．‎ ‎　　‎ ‎　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．(2018·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.‎ 答案：C 考点三　充要条件的应用|‎ ‎　已知p：x2－2mx－‎15m2‎≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．‎ ‎[解析]　本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．‎ 若p真，则－3m≤x≤5m；‎ 若q真，则－2≤x≤5；‎ 因为綈p是綈q的必要不充分条件，‎ 所以p是q的充分不必要条件，‎ 所以 ‎∴01－a，即a>时，不等式的解为1－a时，由{x|1－a‎1”‎是“x1，得x<－1，或x>1，‎ 又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.‎ 答案：－1‎ A组　考点能力演练 ‎1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝‎0”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若a2＋b2≠0，虽a≠0且b≠0‎ B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0‎ C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0‎ 解析：先确定逆命题为“若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0”，再将逆命题否定为“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.‎ 答案：D ‎2．“x1>3且x2>‎3”‎是“x1＋x2>6且x1x2>‎9”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.故选A.‎ 答案：A ‎3．(2018·沈阳一模)“x<‎0”‎是“ln(x＋1)<‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设命题p：x<0，命题q：ln(x＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知所以－11或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]‎ 解析：法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1，故选A.‎ 法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.‎ 答案：A ‎6．(2018·成都一诊)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”‎ 的逆命题是________．‎ 解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．‎ 答案：若|a|＝|b|，则a＝－b ‎7．(2018·盐城一模)给出以下四个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④若ab是正整数，则a，b都是正整数．‎ 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．‎ 答案：①③‎ ‎8．设条件p：实数x满足x2－4ax＋‎3a2<0，其中a<0；条件q：实数x满足x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2<0得3a0得x<－4或x>2，因为q是p的必要不充分条件，则所以a≤－4.‎ 答案：(－∞，－4]‎ ‎9．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．‎ 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．‎ ‎(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．‎ ‎(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．‎ ‎10．已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－‎2m2‎－‎3m－1<0的解为条件q.‎ ‎(1)若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．‎ ‎(2)若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，‎ 设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－11，‎ ‎(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集解得－‎1”‎是“log(x＋2)<‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由log(x＋2)<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>1”是“log(x＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.‎ 答案：B ‎3．(2018·高考安徽卷)设p：11，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：q：2x>1⇔x>0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎4．(2018·高考福建卷)“对任意x∈，ksin xcos x0.任意x∈，ksin xcos x0，所以f(t)＝t－sin t在(0，π)上单调递增，所以f(t)>0，所以t>sin t>0，即>1，所以k≤1.所以任意x∈，k<，等价于k≤1.因为k≤1　k<1，但k≤1⇐k<1，所以“对任意x∈，ksin xcos x