【数学】2020届江苏一轮复习通用版20-1计数原理与排列组合作业 10页

专题二十　计数原理 ‎【真题典例】‎ ‎20.1　计数原理与排列组合 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 计数原理与排列组合 ‎1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ‎2.排列、组合的概念,排列数公式,组合数公式及应用 ‎2016江苏,23‎ 组合数计算 ‎★★★‎ ‎2018江苏,23‎ 计数原理与排列 分析解读　　江苏高考对两个计数原理、排列、组合的考查往往与集合、数列、概率等进行综合,难度较大,主要考查学生的逻辑推理能力.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　加法原理与乘法原理 ‎1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有 ‎　　　　种. ‎ 答案　18‎ ‎2.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求有公共边的两部分颜色互异,则共有　　　　种不同的涂色方法. ‎ 答案　260‎ 考点二　排列 ‎1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为　　　　. ‎ 答案　64‎ ‎2.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是　　　　. ‎ 答案　18‎ ‎3.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有　　　　个. ‎ 答案　28‎ 考点三　组合 ‎1.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有　　　　种.(用数字作答) ‎ 答案　480‎ ‎2.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法有　　　　种. ‎ 答案　432‎ ‎3.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种?‎ ‎(1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;‎ ‎(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3;‎ ‎(3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2.‎ 解析　(1)C‎6‎‎1‎C‎5‎‎2‎C‎3‎‎3‎=60(种).‎ ‎(2)C‎6‎‎1‎C‎5‎‎2‎C‎3‎‎3‎A‎3‎‎3‎=60×6=360(种).‎ ‎(3)C‎6‎‎2‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=15(种).‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　两个计数原理应用的基本策略 ‎1.(2018江苏靖江中学调研)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　　种(用数字作答). ‎ 答案　480‎ ‎2.(2019届江苏海门中学调研)从0,8中任取一个数字,从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为　　　　. ‎ 答案　18‎ 方法二　排列组合及其应用的解题策略 ‎1.(2019届江苏金陵中学调研)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有　　　　种. ‎ 答案　18‎ ‎2.(2018江苏吴江中学月考)将甲、乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲、乙不分在同一组的分法有　　　　种. ‎ 答案　80‎ ‎3.(2018江苏常州二中调研)桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个,相同颜色的球不加以区分,将此9个球排成一排共有　　　　种不同的排法.(用数字作答) ‎ 答案　1 680‎ ‎4.(2019届江苏太湖中学月考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,则满足条件的点的个数为　　　　. ‎ 答案　252‎ 方法三　集合中的计数问题 ‎1.(2019届江苏赣榆中学月考)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集.‎ ‎(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;‎ ‎(2)若M={a1,a2,a3,…,an},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.‎ 解析　(1)110.‎ ‎(2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n-1)个.‎ 若A⫋B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素,则满足A⫋B的有序集合对(A,B)有‎∑‎k=1‎nCnk(2k-1)=‎∑‎k=0‎nCnk2k-‎∑‎k=0‎nCnk=(3n-2n)个.‎ 同理,满足B⫋A的有序集合对(A,B)有(3n-2n)个.‎ 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 ‎2n(2n-1)-2(3n-2n)=4n+2n-2×3n.‎ ‎2.(2019届江苏扬州中学月考)已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1,S2,S3,…,集合Sk中所有元素的平均值记为bk.将所有bk组成数组T:b1,b2,b3,…,数组T中所有数的平均值记为m(T).‎ ‎(1)若S={1,2},求m(T);‎ ‎(2)若S={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2),求m(T).‎ 解析　(1)S={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},所以数组T为1,2,‎3‎‎2‎.因此m(T)=‎1+2+‎‎3‎‎2‎‎3‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)因为S={a1,a2,…,an},n∈N*,n≥2,‎ 所以m(T)=‎‎∑‎i=1‎nai‎+‎1‎‎2‎Cn-1‎‎1‎‎∑‎i=1‎nai+‎1‎‎3‎Cn-1‎‎2‎‎∑‎i=1‎nai+…+‎‎1‎nCn-1‎n-1‎‎∑‎i=1‎naiCn‎1‎‎+Cn‎2‎+Cn‎3‎+…+‎Cnn ‎=‎1+‎1‎‎2‎Cn-1‎‎1‎+‎1‎‎3‎Cn-1‎‎2‎+…+‎‎1‎nCn-1‎n-1‎Cn‎1‎‎+Cn‎2‎+Cn‎3‎+…+‎Cnn‎∑‎i=1‎nai.‎ 又因为‎1‎kCn-1‎k-1‎=‎1‎k·‎(n-1)!‎‎(k-1)!(n-k)!‎=‎(n-1)!‎k!(n-k)!‎=‎1‎n·n!‎‎(n-k)!k!‎=‎1‎nCnk,‎ 所以m(T)=‎1‎nCn‎1‎‎+‎1‎nCn‎2‎+‎1‎nCn‎3‎+…+‎‎1‎nCnnCn‎1‎‎+Cn‎2‎+Cn‎3‎+…+‎Cnn‎∑‎i=1‎nai=‎1‎n‎∑‎i=1‎nai.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2016江苏,23,10分)‎ ‎(1)求7C‎6‎‎3‎-4C‎7‎‎4‎的值;‎ ‎(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:‎ ‎(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1‎m+(m+3)Cm+2‎m+…+nCn-1‎m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2‎m+2‎.‎ 解析　(1)7C‎6‎‎3‎-4C‎7‎‎4‎=7×‎6×5×4‎‎3×2×1‎-4×‎7×6×5×4‎‎4×3×2×1‎=0.‎ ‎(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时,‎ ‎(k+1)Ckm=‎‎(k+1)·k!‎m!·(k-m)!‎ ‎=(m+1)·‎‎(k+1)!‎‎(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!‎ ‎=(m+1)Ck+1‎m+1‎,k=m+1,m+2,…,n.‎ 又因为Ck+1‎m+1‎+Ck+1‎m+2‎=Ck+2‎m+2‎,‎ 所以(k+1)Ckm=(m+1)(Ck+2‎m+2‎-Ck+1‎m+2‎),k=m+1,m+2,…,n.‎ 因此,(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1‎m+(m+3)Cm+2‎m+…+(n+1)‎Cnm ‎=(m+1)Cmm+[(m+2)Cm+1‎m+(m+3)Cm+2‎m+…+(n+1)Cnm]‎ ‎=(m+1)Cm+2‎m+2‎+(m+1)[(Cm+3‎m+2‎-Cm+2‎m+2‎)+(Cm+4‎m+2‎-Cm+3‎m+2‎)+…+(Cn+2‎m+2‎-Cn+1‎m+2‎)]=(m+1)Cn+2‎m+2‎.‎ ‎2.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.‎ ‎(1)求f3(2),f4(2)的值;‎ ‎(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).‎ 解析　本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,‎ 所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.‎ 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.‎ 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.‎ ‎(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.‎ 为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.‎ 因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.‎ 当n≥5时,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n‎2‎‎-n-2‎‎2‎.‎ 因此,当n≥5时,fn(2)=n‎2‎‎-n-2‎‎2‎.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　计数原理与排列组合 ‎1.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　种.(用数字填写答案) ‎ 答案　16‎ ‎2.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答) ‎ 答案　1 260‎ ‎3.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎9‎ ‎4.(2017课标全国Ⅱ理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有　　　　种. ‎ 答案　36‎ ‎5.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有　　　　种不同的选法.(用数字作答) ‎ 答案　660‎ ‎6.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) ‎ 答案　1 080‎ ‎7.(2016课标全国Ⅱ理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为　　　　. ‎ 答案　18‎ ‎8.(2016课标全国Ⅲ理改编,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有　　　　个. ‎ 答案　14‎ ‎9.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为　　　　. ‎ 答案　72‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答) ‎ 答案　1 560‎ ‎2.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有　　　　个. ‎ 答案　120‎ ‎3.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有　　　　种. ‎ 答案　216‎ ‎4.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是　　　　. ‎ 答案　120‎ ‎5.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有　　　　对. ‎ 答案　48‎ ‎6.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有　　　　种. ‎ 答案　36‎ ‎7.(2011江苏,23,10分)设整数n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点,其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.‎ ‎(1)记An为满足a-b=3的点P的个数,求An;‎ ‎(2)记Bn为满足‎1‎‎3‎(a-b)是整数的点P的个数,求Bn.‎ 解析　(1)点P的坐标满足条件:1≤b=a-3≤n-3,所以An=n-3.‎ ‎(2)设k为正整数,记fn(k)为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数.只要讨论fn(k)≥1的情形.由1≤b=a-3k≤n-3k知fn(k)=n-3k,且k≤n-1‎‎3‎.‎ 设n-1=3m+r,其中m∈N*,r∈{0,1,2},则k≤m.所以Bm=‎∑‎k=1‎mfn(k)=‎∑‎k=1‎m(n-3k)=mn-‎3m(m+1)‎‎2‎=m(2n-3m-3)‎‎2‎.‎ 将m=n-1-r‎3‎代入上式,‎ 化简得Bn=‎(n-1)(n-2)‎‎6‎-r(r-1)‎‎6‎.‎ 所以Bn=‎n(n-3)‎‎6‎‎,n‎3‎是整数,‎‎(n-1)(n-2)‎‎6‎‎,n‎3‎不是整数.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎1.(2019届江苏太仓中学月考)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有　　　　种. ‎ 答案　75‎ ‎2.(2018江苏太湖中学月考)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有　　　　种. ‎ 答案　10‎ ‎3.(2018江苏泰兴中学月考)用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有　　　　种. ‎ 答案　240‎ 二、解答题(共60分)‎ ‎4.(2019届江苏前黄中学月考)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.‎ ‎(1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法?‎ ‎(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?‎ 解析　(1)每个盒子放一球,共有A‎4‎‎4‎=24种不同的放法.‎ ‎(2)第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;‎ 第二步:选两球为一个元素,有C‎4‎‎2‎种选法;‎ 第三步:三个元素放入三个盒中,有A‎3‎‎3‎种放法.‎ 故共有4×C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎=144种放法.‎ ‎5.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N*),其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b).‎ ‎(1)当k=2时,求m(1)的值;‎ ‎(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.‎ 解析　(1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=C‎8‎‎1‎+C‎8‎‎5‎=64.‎ ‎(2)依题意,m(3)表示数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,……,或(4k-1)个1,其余为0,‎ 所以m(3)=C‎4k‎3‎+C‎4k‎7‎+C‎4k‎11‎+…+C‎4k‎4k-1‎.‎ 同理,得m(1)=C‎4k‎1‎+C‎4k‎5‎+C‎4k‎9‎+…+C‎4k‎4k-3‎.‎ 因为C‎4ki=C‎4k‎4k-i(i=3,7,11,…,4k-1),‎ 所以m(1)=m(3).‎ 又m(1)+m(3)=C‎4k‎1‎+C‎4k‎3‎+C‎4k‎5‎+…+C‎4k‎4k-3‎+C‎4k‎4k-1‎=24k-1,‎ 所以m(3)=24k-2=42k-1.‎ ‎6.(2019届江苏苏州实验中学月考)记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,an的个数为f(n)(n≥2,n∈N*).性质T:排列a1,a2,…,an中有且只有一个ai>ai+1(i∈{1,2,…,n-1}).‎ ‎(1)求f(3);‎ ‎(2)求f(n).‎ 解析　(1)当n=3时,1,2,3的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得ai>ai+1的排列为(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以f(3)=4.‎ ‎(2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,an)中,‎ 若ai=n(1≤i≤n-1),从(n-1)个数1,2,3,…,n-1中选(i-1)个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,ai-1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为Cn-1‎i-1‎.‎ 若an=n,则满足题意的排列个数为f(n-1).‎ 综上,f(n)=f(n-1)+‎∑‎i=1‎n-1‎Cn-1‎i-1‎=f(n-1)+2n-1-1.‎ 从而f(n)=‎2‎‎3‎‎(1-‎2‎n-3‎)‎‎1-2‎-(n-3)+f(3)=2n-n-1.‎ ‎7.(2018江苏南师附中考前模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.‎ ‎(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;‎ ‎(2)若M={a1,a2,a3,…,an},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数.‎ 解析　(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},‎ 则A=⌀,{a1},{a2},则(A,B)的个数为3;‎ 若集合B含有1个元素,则B有C‎2‎‎1‎种,不妨设B={a1},则A=⌀,‎ 此时(A,B)的个数为C‎2‎‎1‎×1=2.‎ 综上,(A,B)的个数为5.‎ ‎(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,‎ 则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).‎ 若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为Cn‎0‎(Cn‎0‎-1)+Cn‎1‎(Cn‎1‎-1)+Cn‎2‎(Cn‎2‎-1)+…+Cnn(Cnn-1)‎ ‎=(Cn‎0‎)2+(Cn‎1‎)2+(Cn‎2‎)2+…+(Cnn)2-(Cn‎0‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎+…+Cnn).‎ 又(x+1)n(x+1)n的展开式中xn的系数为(Cn‎0‎)2+(Cn‎1‎)2+(Cn‎2‎)2+…+(Cnn)2,‎ 且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中xn的系数为C‎2nn,‎ 所以(Cn‎0‎)2+(Cn‎1‎)2+(Cn‎2‎)2+…+(Cnn)2=C‎2nn.‎ 又因为Cn‎0‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎+…+Cnn=2n,‎ 所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为C‎2nn-2n.‎ 所以A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为‎2‎n‎(‎2‎n-1)-(C‎2nn-‎2‎n)‎‎2‎=‎2‎‎2n‎-‎C‎2nn‎2‎.‎ ‎8.(2017江苏苏州期末)如图,由若干个小正方形组成的k层三角形图阵中,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k层有k个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x1,x2,…,xk,其中 xi∈{0,1}(1≤i≤k),其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0.‎ ‎(1)当k=4时,若要求x0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法?‎ ‎(2)当k=11时,若要求x0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?‎ 解析　(1)当k=4时,第4层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4;‎ 第3层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,x3+x4;‎ 第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4;‎ 所以x0=x1+3x2+3x3+x4.‎ 因为x0是2的倍数,xi∈{0,1},所以x1,x2,x3,x4中取值为1的个数为偶数个.‎ 其不同的取法总数为C‎4‎‎0‎+C‎4‎‎2‎+C‎4‎‎4‎=8.‎ 故所求的不同的标注方法有8种.‎ ‎(2)当k=11时,第11层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4,…,x10,x11;‎ 第10层标注的数字依次为C‎1‎‎0‎xi+C‎1‎‎1‎xi+1,i=1,2,…,10;‎ 第9层标注的数字依次为C‎1‎‎0‎xi+(C‎1‎‎0‎+C‎1‎‎1‎)xi+1+C‎1‎‎1‎xi+2=C‎1‎‎0‎xi+C‎2‎‎1‎xi+1+C‎2‎‎2‎xi+2,i=1,2,…,9;‎ 依此规律,第1层标注的数字为x0=C‎10‎‎0‎x1+C‎10‎‎1‎x2+…+C‎10‎‎9‎x10+C‎10‎‎10‎x11.‎ 计算得C‎10‎‎0‎=C‎10‎‎10‎=1,C‎10‎‎1‎=C‎10‎‎9‎=10,当i=2,3,4,…,8时,C‎10‎i均是3的倍数.‎ 若要求x0是3的倍数,等价于x1+C‎10‎‎1‎x2+C‎10‎‎9‎x10+x11是3的倍数,即x1+x2+x10+x11是3的倍数.‎ 所以x1,x2,x10,x11中,取值为1的个数为0个或3个.‎ 所以x1,x2,x3,…,x10,x11的不同的取法总数为(C‎4‎‎0‎+C‎4‎‎3‎)·27=640.‎ 故所求的不同的标注方法有640种.‎ ‎9.(2019届江苏无锡天一中学月考)当n≥3,n∈N时,对于集合M={1,2,3,…,n},集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1,N2,N3,…,NM(n)-1,NM(n),其中M(n)表示集合M的含3个元素的子集的个数.设pi为集合Ni中的最大元素,qi为集合Ni中的最小元素,1≤i≤M(n),记P=p1+p2+…+pM(n)-1+pM(n),Q=q1+q2+…+qM(n)-1+qM(n).‎ ‎(1)当n=4时,分别求M(4),P,Q;‎ ‎(2)求证:P=3Q.‎ 解析　(1)当n=4时,M(4)=C‎4‎‎3‎=4,‎ ‎4个子集分别为{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},‎ 则P=3+4+4+4=15,Q=1+1+1+2=5.‎ ‎(2)证明:显然3≤pi≤n,pi∈Z,并且以3为最大元素的子集有C‎2‎‎2‎个,‎ 以4为最大元素的子集有C‎3‎‎2‎个,以5为最大元素的子集有C‎4‎‎2‎个,……,以k(3≤k≤n)为最大元素的子集有Ck-1‎‎2‎个,……,以n为最大元素的子集有Cn-1‎‎2‎个,‎ P=p1+p2+…+pM(n)-1+pM(n)=3×C‎2‎‎2‎+4×C‎3‎‎2‎+…+nCn-1‎‎2‎,①‎ 因为kCk-1‎‎2‎=k‎(k-1)(k-2)‎‎2‎=3Ck‎3‎(k=3,4,…,n),‎ 所以P=3(C‎3‎‎3‎+C‎4‎‎3‎+…+Cn‎3‎)=3(C‎4‎‎4‎+C‎4‎‎3‎+…+Cn‎3‎)=3(C‎5‎‎4‎+C‎5‎‎3‎+…+Cn‎3‎)=3(C‎6‎‎4‎+C‎6‎‎3‎+…+Cn‎3‎)=3Cn+1‎‎4‎.‎ 显然1≤qi≤n-2,qi∈Z,以1为最小元素的子集有Cn-1‎‎2‎个,以2为最小元素的子集有Cn-2‎‎2‎个,以3为最小元素的子集有Cn-3‎‎2‎个,……,以k(1≤k≤n-2)为最小元素的子集有Cn-k‎2‎个,……,以n-2为最小元素的子集有C‎2‎‎2‎个.Q=q1+q2+…+qM(n)-1+qM(n),‎ 则Q=(n-2)C‎2‎‎2‎+(n-3)C‎3‎‎2‎+…+kCn-k‎2‎+…+Cn-1‎‎2‎,②‎ ‎①+②得P+Q=(n+1)(C‎2‎‎2‎+C‎3‎‎2‎+C‎4‎‎2‎+…+Cn-1‎‎2‎)‎ ‎=(n+1)(C‎3‎‎3‎+C‎3‎‎2‎+C‎4‎‎2‎+…+Cn-1‎‎2‎)=(n+1)(C‎4‎‎3‎+C‎4‎‎2‎+C‎5‎‎2‎+…+Cn-1‎‎2‎)‎ ‎=(n+1)(C‎5‎‎3‎+C‎5‎‎2‎+C‎6‎‎2‎+…+Cn-1‎‎2‎)=(n+1)Cn‎3‎=4Cn+1‎‎4‎.‎ 所以P=3Q.‎