2019届二轮复习数列中的推理与证明课件课件（21张）（全国通用） 21页

第 19 讲 数列中的推理与证明 第19讲　数列中的推理与证明     1.已知数列{ a n }满足 a n +2 = a n +1 - a n ,且 a 1 =2, a 2 =3, S n 为数列{ a n }的前 n 项和,则 S 2 017 =      　　     . 答案　 2 解析 　由题意可得 a 1 =2, a 2 =3, a 3 =1, a 4 =-2, a 5 =-3, a 6 =-1, a 7 =2, a 8 =3, a 9 =1, … ,则数列 { a n }是以6为周期的周期数列,且 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 =0,所以 S 2 017 =336( a 1 + a 2 + … + a 6 )+ a 1 =2. 2.数列{ a n }为等比数列,且 a 1 +1, a 3 +4, a 5 +7成等差数列,则公差 d = 　 　　     . 答案 　3 解析 　设等比数列{ a n }的公比为 q ( q ≠ 0),因为 a 1 +1, a 3 +4, a 5 +7成等差数列,则 a 1 +1+ a 5 +7=2( a 3 +4),即 a 1 + a 1 q 4 =2 a 1 q 2 ,解得 q 2 =1,则公差 d =( a 3 +4)-( a 1 +1)= a 1 q 2 +3- a 1 = 3. 3.如图,在平面直角坐标系中,分别在 x 轴与直线 y =   ( x +1)上从左向右依次取 点 A k 、 B k , k =1,2, … ,其中 A 1 是坐标原点,使△ A k B k A k +1 都是等边三角形,则△ A 10 B 10 A 11 的边长是 　　 　     .   答案 　512 解析 　设△ A n B n A n +1 ( n ∈N * )的边长为 a n ,则 a 1 =1, a n +1 =2 a n ,即数列{ a n }是首项为 1、公比为2的等比数列,则△ A 10 B 10 A 11 的边长 a 10 =2 9 =512. 4.已知函数 f ( x )= x 3 + x ,等差数列{ a n }满足 f ( a 2 -1)=2, f ( a 2 016 -3)=-2, S n 是其前 n 项和, 则 S 2 017 = 　 　　     . 答案 　4 034 解析 　因为函数 f ( x )= x 3 + x 是奇函数,且 f ( a 2 -1)=2, f ( a 2 016 -3)=-2,所以 a 2 -1=-( a 2 016 - 3),即 a 2 + a 2 016 =4,又{ a n }是等差数列,所以 S 2 017 =   =   = 4 034. 题型一　数列中的不等关系 例1     (2018江苏,20,16分)设{ a n }是首项为 a 1 ,公差为 d 的等差数列,{ b n }是首项 为 b 1 ,公比为 q 的等比数列. (1)设 a 1 =0, b 1 =1, q =2,若| a n - b n | ≤ b 1 对 n =1,2,3,4均成立,求 d 的取值范围; (2)若 a 1 = b 1 >0, m ∈N * , q ∈(1,   ],证明:存在 d ∈R,使得| a n - b n | ≤ b 1 对 n =2,3, … , m +1 均成立,并求 d 的取值范围(用 b 1 , m , q 表示). 解析 　(1)由条件知: a n =( n -1) d , b n =2 n -1 . 因为| a n - b n | ≤ b 1 对 n =1,2,3,4均成立, 即|( n -1) d -2 n -1 | ≤ 1对 n =1,2,3,4均成立, 即1 ≤ 1,1 ≤ d ≤ 3,3 ≤ 2 d ≤ 5,7 ≤ 3 d ≤ 9,得   ≤ d ≤   . 因此, d 的取值范围为   . (2)由条件知: a n = b 1 +( n -1) d , b n = b 1 q n -1 . 若存在 d ∈R,使得| a n - b n | ≤ b 1 ( n =2,3, … , m +1)均成立, 即| b 1 +( n -1) d - b 1 q n -1 | ≤ b 1 ( n =2,3, … , m +1), 即当 n =2,3, … , m +1时, d 满足   b 1 ≤ d ≤   b 1 . 因为 q ∈(1,   ],则1< q n -1 ≤ q m ≤ 2, 从而   b 1 ≤ 0,   b 1 >0,对 n =2,3, … , m +1均成立. 因此,取 d =0时,| a n - b n | ≤ b 1 对 n =2,3, … , m +1均成立. 下面讨论数列   的最大值和数列   的最小值( n =2,3, … , m +1). ①当2 ≤ n ≤ m 时,   -   =   =   , 当1< q ≤   时,有 q n ≤ q m ≤ 2,从而 n ( q n - q n -1 )- q n +2>0. 因此,当2 ≤ n ≤ m +1时,数列   单调递增, 故数列   的最大值为   . ②设 f ( x )=2 x (1- x ),当 x >0时, f '( x )=(ln 2-1- x ln 2)2 x <0, 所以 f ( x )单调递减,从而 f ( x )< f (0)=1. 当2 ≤ n ≤ m +1时,   =   ≤     = f   <1, 因此,当2 ≤ n ≤ m +1时,数列   单调递减, 故数列   的最小值为   . 因此, d 的取值范围为   . 【方法归纳】    数列中的不等关系大致有不等式的证明、不等式恒成立与 有解问题、参数的取值范围问题.数列中的不等式证明可利用比较法、构造 函数等方法.数列中的否定性命题的证明一般利用反证法,即反设、归谬、存 真. 1-1     (2018徐州铜山第三次模拟)已知数列{ a n }的首项 a 1 = a ( a >0),其前 n 项和为 S n ,设 b n = a n + a n +1 ( n ∈N * ).数列{ b n }的前 n 项和为 T n ,满足 T n = n 2 . (1)求证:数列{ b n }的任意连续三项不成等比数列; (2)求数列{ a n }的通项公式; (3)若 ∀ n ∈N * ,且 n ≥ 2,不等式( a n -1)( a n +1 -1) ≥ 2(1- n )恒成立,求 a 的取值范围. 解析 　(1)证明:由 T n = n 2 ,得 b n = T n - T n -1 =2 n -1( n ≥ 2), 由于 b 1 =1符合上式,所以 b n =2 n -1( n ∈N * ). 假设存在{ b n }的连续三项 b k -1 , b k , b k +1 ( k ∈N * , k ≥ 2)成等比数列, 则   = b k -1 b k +1 ,即(2 k -1) 2 =(2 k -3)(2 k +1). 可得4 k 2 -4 k +1=4 k 2 -4 k -3,与1 ≠ -3矛盾,所以假设不成立, 从而数列{ b n }的任意连续三项不成等比数列. (2)由(1)得, a n + a n +1 = b n =2 n -1. 所以 a n -( n -1)=-( a n +1 - n ),即   =-1, 所以数列{ a n -( n -1)}为等比数列,且公比为-1. 因为 a 1 = a >0,所以 a n = a ·(-1) n -1 +( n -1)( n ∈N * ). (3)不等式( a n -1)( a n +1 -1) ≥ 2(1- n ),即 a n a n +1 -( a n + a n +1 )+1 ≥ 2(1- n ), 由于 a n + a n +1 =2 n -1,所以 a n a n +1 ≥ 0. 当 n 是奇数时, a n = a +( n -1), a n +1 =- a + n , 所以 a n a n +1 =[ a +( n -1)]·(- a + n )=- a 2 + a + n ( n -1) ≥ 0, 即 ∀ n ∈N * ,且 n ≥ 2,- a 2 + a ≥ - n ( n -1)恒成立, 所以- a 2 + a ≥ -2,解得-1 ≤ a ≤ 2. 因为 a >0,所以 a 的取值范围是(0,2]. 题型二　在数列中抽取与插入项的问题 例2 　已知数列{ a n }中, a 1 =1,在 a 1 , a 2 之间插入1个数,在 a 2 , a 3 之间插入2个数,在 a 3 , a 4 之间插入3个数, … ,在 a n , a n +1 之间插入 n 个数,使得所有插入的数和原数列{ a n } 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{ b n }. (1)若 a 4 =19,求{ b n }的通项公式; (2)设数列{ b n }的前 n 项和为 S n ,且满足   = b n + μ ( λ , μ 为常数),求 λ , μ 的值以 及{ a n }的通项公式. 解析 　(1)设{ b n }的公差为 d , 由题意得, b 1 = a 1 =1, b 3 = a 2 , b 6 = a 3 , b 10 = a 4 =19, 又 b 10 = b 1 +9 d ,则 d =2,而 b 1 =1, 故数列{ b n }的通项公式为 b n =1+2( n -1)=2 n -1. (2)由   = b n + μ ( λ , μ 为常数). 得2 S n + λ =( b n + μ ) 2 =   +2 μb n + μ 2 ,   ① 当 n =1时,2+ λ =1+2 μ + μ 2 ,   ② 当 n ≥ 2时,2 S n -1 + λ =   +2 μb n -1 + μ 2 ,   ③ ①-③得2 b n =   -   +2 μ ( b n - b n -1 ), 则2 b n = d ( b n + b n -1 )+2 μd = d (2 b n - d )+2 μd ,   ④ 若 d =0, b n = b 1 =1,代入④式,得2=0,不成立,则 d ≠ 0. ④式可变形为(2-2 d ) b n =2 μd - d 2 , 则   解得   代入②式,得 λ =   . 所以等差数列{ b n }的首项 b 1 =1,公差 d =1,则 b n = n . 设{ a n }中的第 n 项为数列{ b n }中的第 k 项,则 a n 的前面共有{ a n }中的 n -1项,且插 入了1+2+3+ … +( n -1)=   项,则 k =( n -1)+   +1=   , 故 a n = b k = k =   ,即{ a n }的通项公式为 a n =   . 【方法归纳】    解决在数列中抽取与插入项问题的关键是要分清插入或抽 取的项和原数列项的位置关系.解决问题的方法仍是等差、等比数列基本量 的运算. 2-1 　已知数列{ a n },对于任意 n ≥ 2,在 a n -1 与 a n 之间插入 n 个数,构成的新数列 { b n }成等差数列,并记在 a n -1 与 a n 之间插入的这 n 个数的平均值为 C n . (1)若 a n =   ,求 C 1 , C 2 , C 3 ; (2)在(1)的条件下,是否存在常数 λ ,使数列{ C n +1 - λC n }是等差数列?如果存在,求 出满足条件的 λ ,如果不存在,请说明理由. 解析 　(1)由题意知, a 1 =-2, a 2 =1, a 3 =5, a 4 =10, 则在 a 1 与 a 2 之间插入-1,0,且 C 1 =-   ; 在 a 2 与 a 3 之间插入2,3,4,且 C 2 =3; 在 a 3 与 a 4 之间插入6,7,8,9,且 C 3 =   . (2)设等差数列{ b n }的公差为 d ( d ≠ 0),则 d =   =1, 则 C n -1 =   =   =   ( n ≥ 2). 假设存在 λ 使得{ C n +1 - λC n }是等差数列, 则( C n +1 - λC n )-( C n - λC n -1 ) = C n +1 - C n - λ ( C n - C n -1 )=   - λ ·   =(1- λ ) n +   -   λ , ∵上式为一常数,∴ λ =1, 即 λ =1时,{ C n +1 - λC n }是等差数列.