【数学】2019届一轮复习人教A版　与三角变换、平面向量综合的三角形问题学案 10页

‎ 12分 难点一　‎ 与三角变换、平面向量综合的三角形问题 ‎(对应 生用书第62页)‎ 高考数 命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求 生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的．‎ ‎1．向量运算与三角形问题的综合运用 解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用．‎ ‎【例1】　(镇江市2017届高三上 期期末)已知向量m＝(cos α，－1)，‎ ‎ n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值．‎ ‎[解]　法一(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，‎ 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，‎ 且α∈，‎ 则cos α＝，sin α＝，‎ 则cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.‎ ‎(2)由α∈，β∈得，α－β∈.‎ 因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.‎ 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ‎ ‎＝×－×＝，‎ 因β∈，则β＝.‎ 法二(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，‎ 故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，‎ 且cos2α＋sin2α＝1，α∈，β∈，‎ 则sin α＝，cos α＝，‎ 由α∈，β∈得，α－β∈.‎ 因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.‎ 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝，‎ 因β∈，则β＝.‎ ‎2．三角函数与三角形问题的结合 三角函数的起 ‎ 是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．‎ ‎【例2】　(2017·江苏省无锡市高考数 一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.‎ ‎(1)求边c的长；‎ ‎(2)求角B的大小. ‎ ‎【导 号：56394089】‎ ‎[解]　(1)∵acos B＝3，bcos A＝1，∴a×＝3，b×＝1，‎ 化为：a2＋c2－b2＝‎6c，b2＋c2－a2＝‎2c.‎ 相加可得：‎2c2＝‎8c，解得c＝4.‎ ‎(2)由(1)可得：a2－b2＝8.‎ 由正弦定理可得：＝＝，‎ 又A－B＝，∴A＝B＋，C＝π－(A＋B)＝π－，可得sin C＝sin.‎ ‎∴a＝，b＝.‎ ‎∴16sin2－16sin2B＝8sin2，‎ ‎∴1－cos－(1－cos 2B)＝sin2，即cos 2B－cos＝sin2，‎ ‎∴－2sinsin＝sin2，‎ ‎∴sin＝0或sin＝1，B∈.‎ 解得：B＝.‎ ‎3.三角变换、向量、三角形问题的综合 高考会将几方面结合起 命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形．‎ ‎【例3】　(扬州市2017届高三上 期期中)在△ABC中，AB＝6，AC＝3，·＝－18.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求tan 2B的值．‎ ‎[解]　(1)因为·＝AB×AC×cos A＝－18，且AB＝6，AC＝3，‎ BC＝ ‎＝＝3.‎ ‎(2)法一：在△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC＝3，‎ cos B＝＝＝，‎ 又B∈(0，π)，所以sin B＝＝，‎ 所以tan B＝＝，‎ 所以tan 2B＝＝＝.‎ 法二：由AB＝6，AC＝3，·＝AB×AC×cos A＝－18可得cos A＝－，‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 在△ABC中，＝，所以sin B＝＝＝，‎ 又B∈，所以cos B＝＝，所以tan B＝＝，‎ 所以tan 2B＝＝＝.‎ ‎4．实际应用中的三角形问题 在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的．‎ ‎【例4】　(2017·江苏省淮安市高考数 二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)‎3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距‎4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．‎ 图1‎ ‎(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈，≈5.744 6)‎ ‎(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．‎ ‎[解]　(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，则AC＝3BC.‎ ‎△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝，‎ ‎∴∠BAC＝17°，‎ ‎∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，‎ ‎△ABC中，由余弦定理可得cos 120°＝，∴BC≈1.686 15.‎ B到边界线l的距离为3.8－4sin 30°＝1.8，‎ ‎∵1.686 15＜1.8，‎ ‎∴能用最短时间在领海内拦截成功．‎ ‎(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处与走私船相遇，则PA＝3PB，‎ 即x2＋y2＝9[(x－2)2＋(y－2)2]，即2＋2＝，‎ ‎∴P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，‎ ‎∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，‎ ‎∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．‎ ‎5．综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键．‎ ‎6．向量与三角形问题的结合 向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景．‎ ‎6．1　向量与三角形谈“心”‎ 内心(三角形内切圆圆心 )：三角形三条内角平分线的交点；‎ 外心(三角形外接圆的圆心)：三角形各边中垂线的交点；‎ 垂心：三角形各边上高的交点；‎ 重心：三角形各边中线的交点，‎ 用向量形式可表示为如下形式：‎ 若P是△ABC内的一点， ‎⇒P是△ABC的内心；‎ 若D、E两点分别是△ABC的边BC、CA上的中点，且 ⇒P是△ABC的外心；‎ 若＋＋＝0，则G是△ABC的重心；‎ 若P是△ABC所在平面内的一点，且·＝·＝·，则P是△ABC的垂心．‎ ‎【例5】　(2017·江苏省泰州市高考数 一模)在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________. ‎ ‎【导 号：56394090】‎ ‎[解析]　在△ABC中，设三条边分别为a、b、c，三角分别为A、B、C，‎ 由·＋2·＝·，‎ 得ac·cos B＋2bc·cos A＝ba·cos C，‎ 由余弦定理得：(a2＋c2－b2)＋(b2＋c2－a2)＝(b2＋a2－c2)，‎ 化简得＝2，∴＝，由正弦定理得＝＝.‎ 故答案为：.‎ ‎[答案]　 ‎6．2　判断三角形形状 三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识 判断三角形的形状 ‎【例6】　△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，(＋)·＝0，则△ABC一定是________三角形．‎ ‎[解析]　△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则有2B＝A＋C，所以B＝，设D是AC边的中点，‎ 则＋＝2，所以2·＝0，⊥，所以△ABC一定是等边三角形．‎ ‎[答案]　等边 ‎ ‎