【数学】2018届一轮复习人教A版正整数指数函数问题学案 4页

‎3.1　正整数指数函数 问题导学 一、正整数指数函数的概念 活动与探究1‎ 若函数y＝(a－2)x为正整数指数函数，求实数a的取值范围．‎ 迁移与应用 ‎1．下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)．‎ A．y＝x5(x∈N＋)　　　 B．y＝3x＋2(x∈N＋)‎ C．y＝4－x(x∈N＋) D．y＝4×3－x(x∈N＋)‎ ‎2．若函数y＝(a2－‎3a＋3)·ax为正整数指数函数，求a的值．‎ 判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：‎ 首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x；其次看定义域：x的取值为全体正整数．‎ 以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．[ ]‎ 二、正整数指数函数的图像与性质 活动与探究2 ‎ 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.‎ ‎(1)写出这种物质的剩留量y随年数x(x∈N＋)变化的函数关系式；[ ]‎ ‎(2)画出该函数的图像；‎ ‎(3)说明该函数的单调性．‎ 迁移与应用 ‎1．函数y＝x，x∈N＋是(　　)．‎ A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 ‎2．画出正整数指数函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并指出其单调性和值域．‎ ‎1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；‎ ‎2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a＞1时，函数是增函数；当底数0＜a＜1时，函数是减函数．‎ 三、正整数指数函数的应用 活动与探究3‎ 高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y，请写出n与y之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)‎ 迁移与应用 某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．‎ ‎1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．‎ ‎2．求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题．‎ 当堂检测 ‎1．下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)．‎ A．y＝2x＋1，x∈N＋ B．y＝x3，x∈N＋‎ C．y＝3－x，x∈N＋ D．y＝3×2x，x∈N＋‎ ‎2．函数y＝x，x∈N＋的图像是(　　)．‎ A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线 C．一系列上升的点 D．一系列下降的点 ‎3．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函数，则实数a的取值范围是__________．[ ]‎ ‎4．函数y＝x，x∈N＋，且x∈[－3,2]的值域是________．‎ ‎5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x(x∈N＋)年后，该市人口总数y(万人)的表达式为__________．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．y＝ax　N＋‎ 预习交流1　提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：[ ]‎ ‎(1)形如y＝ax形式．‎ ‎(2)对各量的要求是a＞0，a≠1，x∈N＋.‎ 预习交流2　提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．‎ ‎2．y＝kax(k∈R，k≠0， k≠1，a＞0，且a≠1)‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a的取值范围． ‎ 解：若函数y＝(a－2)x为正整数指数函数，‎ 则解得a＞2，且a≠3.[ ]‎ 所以实数a的取值范围是{a|a＞2，且a≠3}．‎ 迁移与应用　1．C　解析：y＝4－x＝x(x∈N＋)是正整数指数函数．‎ ‎2．解：若函数y＝(a2－‎3a＋3)·ax为正整数指数函数，需满足解得a＝2.‎ 活动与探究2　思路分析：通过归纳分析，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．‎ 解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.‎ 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；‎ 经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；‎ ‎……‎ 一般地，经过x年，剩留量y随年数x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．‎ ‎(2)根据这个函数关系式可以列表如下： ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6 ‎ ‎…‎ y ‎0.84‎ ‎0.71‎ ‎0.59‎ ‎0.50[ 学。科。网]‎ ‎0.42‎ ‎0.35‎ ‎…‎ 用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．‎ ‎(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．‎ 迁移与应用　1．A ‎2．解：列表，描点作图，如图所示．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎3‎ ‎9‎ ‎27‎ ‎…‎ 单调性：函数y＝3x(x∈N＋)是增函数．‎ 值域：{3,32,33，…}．‎ 活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)3，…，n年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)n；所以n与y之间的关系式为y＝2 000(1＋0.38%)n(n∈N＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y＝2 000(1＋2.38%)12.‎ 迁移与应用　144　解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2＝144万元．‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1．C　解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，其中指数仅为自变量，且x∈N＋，ax的系数为1.而A中y＝2x＋1＝2×2x；B中y＝x3是幂函数的形式；D中y＝3×2x，均不符合；C中y＝3－x＝x符合题目要求．‎ ‎2．D　解析：底数0＜＜1，函数为减函数，图像下降．因为x∈N＋，所以其图像为一系列下降的点．‎ ‎3．1＜a＜2　解析：依题意，应有0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.‎ ‎4．　解析：∵x∈[－3,2]，且x∈N＋，‎ ‎∴x＝1,2.‎ 又∵y＝x，∴y∈.‎ ‎5．y＝100×(1＋1.2%)x　解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x年后，人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.‎