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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版 绝对值不等式学案

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知识点 考纲下载 绝对值不等式 理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:‎ ‎(1)|a+b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:‎ ‎|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ 不等式的证明 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.‎ ‎2.会用数学归纳法证明贝努利不等式:‎ ‎(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数).‎ 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立.‎ ‎3.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.‎ ‎4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.‎ 柯西不等式与排序不等式 ‎1.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式:|α|·|β|≥|α·β|.‎ ‎(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.‎ ‎(3)+≥.‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式)‎ ‎2.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:‎ ‎3.会用向量递归方法讨论排序不等式.‎ 第1讲 绝对值不等式 ‎[学生用书P247]‎ ‎1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎2.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<-a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎ (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎ 含绝对值不等式的解法[学生用书P248]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 设函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],求a的值.‎ ‎【解】 (1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,‎ 所以或 或,‎ 所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).‎ ‎(2)f(x)≤1即|x-a|≤1,‎ 解得a-1≤x≤a+1,‎ 而f(x)≤1的解集是[0,2],‎ 所以,解得a=1.‎ ‎  ‎ ‎ 解不等式|x+3|-|2x-1|<+1.‎ ‎[解] (1)当x<-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,‎ 解得x<10,所以x<-3.‎ ‎(2)当-3≤x<时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,‎ 解得x<-,所以-3≤x<-.‎ ‎(3)当x≥时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,所以x>2.‎ 综上可知,原不等式的解集为.‎ ‎ 绝对值不等式性质的应用[学生用书P248]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 设不等式|x-2|0; ‎ ‎(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] (1)不等式f(x)>0,‎ 即|2x-1|>|x+2|,‎ 即4x2-4x+1>x2+4x+4,‎ 即3x2-8x-3>0,‎ 解得x<-或x>3,‎ 所以不等式f(x)>0的解集为.‎ ‎(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=,‎ 故f(x)的最小值为f=-.‎ 因为∃x0∈R,‎ 使得f(x0)+2m2<4m,‎ 所以4m-2m2>-,‎ 解得-4,|x+3|+|x-4|≤11⇒x+3+x-4≤11⇒40,所以4t+≥2=4,当且仅当4t=,即t=时,等号成立,所以B=[4,+∞),‎ 所以A∩B=[4,6].‎ ‎2.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].‎ ‎(1)求m+n的值;‎ ‎(2)若|x-a|-2时,只需满足点(a,a+2)不在点的下方即可,所以a+2≥a,即-21时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3.‎ 不等式组的解集为.‎ 综上得,f(x)≥3的解集为∪.‎ ‎(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.‎ 若a<1,则f(x)= f(x)的最小值为1-a.‎ 若a>1,则f(x)= f(x)的最小值为a-1.‎ 所以∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,从而a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).‎ ‎8.(2017·湖南常德模拟)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<2的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤a-有解,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当x>1时,f(x)=2x+1-(x-1)=x+2,‎ 因为f(x)<2,‎ 所以x<0,此时无解;‎ 当-≤x≤1时,f(x)=2x+1-(1-x)=3x,‎ 因为f(x)<2,所以x<,此时-≤x<;‎ 当x<-时,f(x)=-2x-1-(1-x)=-x-2,‎ 因为f(x)<2,‎ 所以x>-4,此时-4-;‎ 当-≤x≤1时,-≤f(x)≤3;‎ 当x>1时,f(x)>3.所以f(x)min=-,故-≤a-⇒a2-2a-3≤0⇒-1≤a≤3.‎

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