【数学】2019届一轮复习人教A版11-3　合情推理与演绎推理学案 24页

‎11.3　合情推理与演绎推理 ‎[知识梳理]‎ ‎1．推理 ‎(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．‎ ‎(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理．‎ ‎2．合情推理 ‎(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．‎ ‎(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．‎ ‎(3)归纳和类比推理的定义、特征 ‎3．演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－2P75例题)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10为(　　)‎ A．28 B．‎76 C．123 D．199‎ 答案　C 解析　记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝‎ ‎29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.故选C.‎ ‎(2)(选修A2－2P‎84A组T5)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．‎ 答案　　 解析　设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，‎ 则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，‎ T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，‎ ‎∴＝bq22，＝bq38，‎ 即2＝·T4，故T4，，成等比数列．‎ 故答案为，.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2018·厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，有双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．‎ 答案　－＝1‎ 解析　设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线－＝1上任一点为(x0，y0)，则切线方程为－＝1(这个结论是正确的，证明略)．‎ ‎(2)(2015·陕西高考)观察下列等式 ‎1－＝ ‎1－＋－＝＋ ‎1－＋－＋－＝＋＋ ‎……‎ 据此规律，第n个等式可为________．‎ 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　观察已知等式可知，第n个等式左边共有2n项，其中奇数项为，偶数项为－，等式右边共有n项，为等式左边后n项的绝对值之和，所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ 题型1　类比推理 　　已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过点P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．‎ 注意题意要求，类比上述方法求切线．‎ 答案　2x－y－＝0‎ 解析　将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)‎ ‎，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过点P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.‎ 方法技巧 ‎1．类比推理的四个角度和四个原则 ‎(1)四个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：‎ ‎①类比定义：如等差、等比数列的定义；‎ ‎②类比性质：如椭圆、双曲线的性质；‎ ‎③类比方法：如基本不等式与柯西不等式；‎ ‎④类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球．‎ ‎(2)四个原则 ‎①长度类比面积；‎ ‎②面积类比体积；‎ ‎③平面类比空间；‎ ‎④和类比积，差类比商．见典例．‎ ‎2．类比推理的一般步骤 ‎(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．‎ ‎(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．‎ ‎3．常见类比推理题型的求解策略 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．‎ 冲关针对训练 ‎(2017·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．‎ 答案　465‎ 解析　类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得，因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.‎ 题型2　归纳推理 角度1　与数字有关的归纳推理 　　(2018·石家庄模拟)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为(　　)‎ 　 　　 　　　 　　　　 ‎……‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于它肩上的两个数的和，‎ 所以A(15,2)＝＋＋＋＋＋…＋ ‎＝＋2×＋＋＋＋…＋ ‎＝＋2× ‎＝＋2× ‎＝＋2×＝.故选C.‎ 角度2　与式子有关的归纳推理 　　(2016·山东高考)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ 分析等式右边的结构规律．‎ 答案　 解析　观察前4个等式，由归纳推理可知 －2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×n×(n＋1)＝.‎ 角度3　与图形有关的归纳推理 　　如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，……，则第2018个图形用的火柴根数为(　　)‎ A．2016×2019 B．2017×2018‎ C．2017×2019 D．3027×2019‎ 答案　D 解析　由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；‎ 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；‎ 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；‎ ‎……‎ 由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．‎ 所以第2018个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2018)＝3×＝3027×2019，故选D.‎ 方法技巧 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎1．‎ 与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见角度1典例．‎ ‎2．与式子有关的归纳推理 ‎(1)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(2)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．见角度2典例．‎ ‎3．与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见角度3典例．‎ 冲关针对训练 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图，‎ n级分形图中共有________条线段．‎ 答案　3×2n－3‎ 解析　分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.‎ 题型3　演绎推理 　　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明是等比数列，将已知an＋1＝Sn中的an＋1用Sn＋1－Sn表示．‎ 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义，这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝‎4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 方法技巧 三段论的应用 ‎1．三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质 P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.‎ ‎2．应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．‎ 提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ 冲关针对训练 ‎(2017·厦门模拟)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明：‎ ‎(1)a>0且－2<<－1；‎ ‎(2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．‎ 证明　(1)因为f(0)>0，f(1)>0，‎ 所以c>0,‎3a＋2b＋c>0.‎ 由a＋b＋c＝0，消去b得a>c>0；‎ 再由条件a＋b＋c＝0，消去c得a＋b<0且‎2a＋b>0，所以－2<<－1.‎ ‎(2)因为抛物线f(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点坐标为，‎ 又因为－2<<－1，所以<－<.‎ 因为f(0)>0，f(1)>0，‎ 而f＝＝－ ‎＝－<0，‎ 所以方程f(x)＝0在区间与 内分别有一个实根，故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 答案　D 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．‎ 故选D.‎ ‎2．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案　B 解析　解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.‎ 解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.‎ ‎3．(2017·石家庄模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　)‎ A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 答案　D 解析　由V＝3，解得d＝，‎ 选项A代入得π＝＝3.1；‎ 选项B代入得π＝＝3；‎ 选项C代入得π＝＝3.2；‎ 选项D代入得π＝＝3.142857.‎ 由于D的值最接近π的真实值．故选D.‎ ‎4．(2017·湖北七市联考)观察下列等式 ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________________________.‎ 答案　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ 解析　观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理，等式右边的因式应为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，系数为＝.可以得到答案．‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 解析　若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6‎ 号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.‎ ‎2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝(　　)‎ A．3 B．－‎3 C．6 D．－6‎ 答案　B 解析　∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故选B.‎ ‎3．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：‎ x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，‎ x＋＝＋＋＋≥4，…，‎ 类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)‎ A．n B．2n C．n2 D．nn 答案　D 解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.故选D.‎ ‎4．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：‎ a1‎ a‎2　‎a‎3　‎a4‎ a‎5　‎a‎6　‎a‎7　‎a‎8　‎a9‎ ‎……‎ 记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝(　　)‎ A.67 B.68‎ C.111 D.112‎ 答案　D 解析　该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，‎ 那么第10行的最后一个数为a100，‎ 第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝112.故选D.‎ ‎5．(2017·阳山一模)下面使用类比推理恰当的是(　　)‎ A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”‎ B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”‎ C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”‎ D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”‎ 答案　C 解析　对于A，“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C，将乘法类推除法，即由“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”是正确的；对于D，“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.故选C.‎ ‎6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：‎ a1‎ a2‎ a3‎ a4‎ a5‎ a6‎ a7‎ a8‎ a9‎ a10‎ a11‎ a12‎ x1‎ y1‎ x2‎ y2‎ x3‎ y3‎ x4‎ y4‎ x5‎ y5‎ x6‎ y6‎ 按如此规律下去，则a2017＝(　　)‎ A．502 B．‎503 C．504 D．505‎ 答案　D 解析　由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn＝.所以a2017＝x1009＝505.故选D.‎ ‎7．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C.‎ ‎8．(2017·陕西一模)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC 的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝.故选C.‎ ‎9．(2018·鹰潭模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.‎ S1＝[]＋[]＋[]＝3‎ S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10‎ S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，‎ ‎…，‎ 依此规律，那么S10等于(　　)‎ A．210 B．‎230 C．220 D．240‎ 答案　A 解析　∵[x]表示不超过x的最大整数，‎ ‎∴S1＝[]＋[]＋[]＝1×3＝3，‎ S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5＝10，‎ S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7＝21，‎ ‎……，‎ Sn＝[]＋[]＋[]＋…＋[]＋[]＝n×(2n＋1)，‎ ‎∴S10＝10×21＝210.故选A.‎ ‎10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x，y满足x＋y＝2，求＋的最小值”，给出如下一种解法：‎ ‎∵x＋y＝2，‎ ‎∴＋＝(x＋y)＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴＋≥2＝4，‎ ‎∴＋≥(5＋4)＝，‎ 当且仅当即时，＋取最小值.‎ 参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　A＋B＋C＝π，‎ 设A＝α，B＋C＝β，则α＋β＝π，＝1，‎ 参考题干中解法，则＋＝＋＝·(α＋β)＝≥(10＋6)＝，当且仅当＝，即3α＝β时等号成立．故选A.‎ 二、填空题 ‎11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.‎ ‎(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；‎ ‎(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．‎ 答案　(1)Q1　(2)p2‎ 解析　设A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1＝yA1＋yB1＝2y1.‎ 因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知Q1最大．‎ 又p1＝＝＝＝，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，‎ 因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大．‎ ‎12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝________.‎ 答案　2πr4‎ 解析　在二维空间中，圆的二维测度(面积)S＝πr2，则其导数S′＝2πr，即为圆的一维测度(周长)l＝2πr；在三维空间中，球的三维测度(体积)V＝πr3，则其导数V′＝4πr2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝2πr4.‎ ‎13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x.‎ 答案　 解析　第1关收税金：x；‎ 第2关收税金：x＝＝；‎ 第3关收税金：x＝＝；‎ ‎……‎ 第8关收税金：＝.‎ ‎14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：‎ ‎(1)b2016是数列{an}中的第________项；‎ ‎(2)b2k－1＝________(用k表示)．‎ 答案　(1)5040　(2) 解析　观察知这些三角形数满足an＝，n∈N*，当n＝5k－1或n＝5k，k∈N*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{bn}中的项，将5k－1和5k列为一组，所以b2016是第1008组的后面一项，即b2016是数列{an}中的第5×1008＝5040项；b2k－1是第k组的前面一项，是数列{an}中的第5k－1项，即b2k－1＝a5k－1＝.‎ 三、解答题 ‎15．(2017·未央区期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n的值的过程：‎ 因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，‎ n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1‎ ‎…‎ ‎22－12＝2×1＋1‎ 以上各式相加得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n 所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.‎ 类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n2的值．‎ 解　∵23－13＝3·22－3·2＋1，‎ ‎33－23＝3·32－3·3＋1，…，‎ n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，‎ 把这n－1个等式相加得n3－1＝3·(22＋32＋…＋n2)－3·(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，‎ 由此得n3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n2)－3·(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，‎ 即12＋22＋…＋n2＝.‎ ‎16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{an}、{bn}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是Sn，Tn，则＝.‎ ‎(1)请你证明上述命题；‎ ‎(2)请你就数列{an}、{bn}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．‎ 解　(1)证明：在等差数列{an}中，an＝(n∈N*)，那么对于等差数列{an}、{bn}有：‎ ＝＝＝.‎ ‎(2)猜想：数列{an}、{bn}是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是Xn，Yn，则2n－1＝.‎ 证明：在等比数列{an}中，a＝a‎1a2n－1＝a‎2a2n－2＝…(n∈N*)，‎ ‎(an)2n－1＝a‎1a2a3…a2n－1(n∈N*)，‎ 那么对于等比数列{an}、{bn}有 2n－1＝＝.‎