2018届二轮复习（理）专题六　解析几何第3讲　圆锥曲线的综合问题课件（全国通用） 67页

第3讲　圆锥曲线的综合问题 专题六　解析几何 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求 式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解. 解答 (1)求椭圆E的方程； 解　因为以F1F2为直径的圆O过点D， 所以b＝c，则圆O的方程为x2＋y2＝b2， 又a2＝b2＋c2， (2)若△ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值. 解答思维升华 所以kBC ·kOP＝－1， 所以OP⊥BC. 思维升华　解决范围问题的常用方法 (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形 结合法求解. (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不 等式求解. (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (1)求抛物线C的方程； 解答 ∴p＝1或p＝3(舍去)，∴y2＝2x. 解答 (2)若x0>2，圆E：(x－1)2＋y2＝1，过M作圆E的两条切线分别交y轴于 A(0，a)，B(0，b)两点，求△MAB面积的最小值. ∵x0>2， 当且仅当x0＝4时，取最小值8. 热点二　定点、定值问题 1.由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)， 则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则 直线必过定点(0，m). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角 的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参 数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. 例2　(2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E：y2＝4x的准线为l，焦点 为F，O为坐标原点. (1)求过点O，F，且与l相切的圆的方程； 解答思维升华 解　抛物线E：y2＝4x的准线l的方程为x＝－1， 焦点坐标为F(1,0)，设所求圆的圆心C为(a，b)，半径为r, ∵圆C与直线l：x＝－1相切， 思维升华　动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由 题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0). ②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据 其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. (2)过F的直线交抛物线E于A，B两点，A关于x轴的对称点为A′，求证： 直线A′B过定点. 证明思维升华 证明　方法一　依题意知，直线AB的斜率存在， 设直线AB方程为y＝k(x－1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，A′(x1，－y1)， 消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴直线BA′过定点(－1，0). 方法二　设直线AB的方程为x＝my＋1, A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1). ∴y1＋y2＝4m, y1y2＝－4. ∴直线BA′过定点(－1,0). 思维升华　求解定值问题的两大途径 ① 由特例得出一个值(此值一般就是定值) → 证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关 ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件 使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. 跟踪演练2　(2017届江西省重点中学协作体联 考)已知⊙F1：(x＋3)2＋y2＝27与⊙F2：(x－3)2 ＋y2＝3，以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆C： (a>b>0)经过两圆的交点. (1)求椭圆C的方程； 解答 解　设两圆的交点为Q， ∵F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点， ∴a2－b2＝9，解得b2＝3， (2)M，N是椭圆C上的两点，若直线OM与ON的斜率之积为 ，试问 △OMN的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解答 解　①当直线MN的斜率不存在时， 设M(x1，y1)，N(x1，－y1). ②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－12)>0， 得12k2－m2＋3>0， (*) ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) 整理得2m2＝12k2＋3, 代入(*)得m≠0. 综上所述，△OMN的面积为定值3. 热点三　探索性问题 1.解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型， 解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化.其步 骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数 法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、 直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 例3　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝2py(p>0)上的不同两点. 解答 ∴p＝4，满足Δ>0， ∴抛物线C的标准方程为x2＝8y. 解答思维升华 解　由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零， 设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0，b>0)， 作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′， 思维升华　解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在， 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取 另外的途径. (1)求椭圆C的方程； 解答 解　由题意可得2a＝6，所以a＝3. (2)过点P(0,2)作斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断 在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在， 求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 解答 解　直线l的解析式为y＝kx＋2， 假设存在点D(m，0)，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，则 DE⊥AB. Ⅱ 真题押题精练 真题体验 答案解析1 2 1.(2017·全国Ⅰ改编)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂 直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则 |AB|＋|DE|的最小值为______.16 解析　因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0). 由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0， 设l1的斜率为k， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 2 1 2 同理可得|DE|＝4(1＋k2). 1 2 (1)求椭圆E的方程； 解答1 2 解答1 2 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知，Δ＞0， 1 2 由题意可知，圆M的半径r为 1 2 1 2 1 2 1 2 押题预测 解答 押题依据　本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆 锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色. (1)求C1，C2的方程； 押题依据 解　因为C1，C2的焦点重合， 所以a2＝4. 又a>0，所以a＝2. 抛物线C2的方程为y2＝4x. 解答 则可设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， N(x4，y4). 且Δ＝144k2＋144>0，