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- 2021-06-16 发布
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第2课时 三角函数的图象与性质(二)
三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)
(1)函数f(x)=2cos2-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,则( )
A.ω=2,θ= B.ω=,θ=
C.ω=,θ= D.ω=2,θ=
【解析】 (1)因为f(x)=2cos2-1
=cos=cos=sin 2x.
所以T==π,f(x)=sin 2x是奇函数.
故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.
(2)因为函数y=2sin(ωx+θ)的最大值为2,且其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,所以函数y=2sin(ωx+θ)的最小正周期是π.
由=π得ω=2.
因为函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数,所以θ=+kπ,k∈Z.
又0<θ<π,所以θ=,故选A.
【答案】 (1)A (2)A
(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,
而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解.
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x
解析:选B.y=sin=cos 2x是偶函数,不符合题意;y=cos=-sin 2x是T=π的奇函数,符合题意;同理C,D均不是奇函数.
2.(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)=sin
的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
解析:选A.f(x)=sin,因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,所以f(x)=sin.f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=-cos 2x,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,故选A.
三角函数的对称性(师生共研)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意可得=π,所以ω=2,
可得f(x)=Asin(2x+φ),
再由函数图象关于直线x=对称,
故f=Asin=±A,故可取φ=-.
故函数f(x)=Asin,令2x-=kπ,k∈Z,
可得x=+,k∈Z,故函数的对称中心为,k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是.
【答案】 B
三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路:函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解.
(2)方法:利用整体代换的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用类似方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的图象无对称轴).
1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T==2×(-)=π,解得ω=2,选A.
2.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法错误的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的周期为
C.(π,0)是f(x)的一个对称中心
D.f(x)在区间上单调递减
解析:选A.f(x)=|sin x||cos x|=|sin xcos x|=·|sin 2x|,则f=|sin π|=0,则f(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;函数周期T=×=,故B正确;f(π)=|sin 2π|=0,则(π,0)是f(x)的一个对称中心,故C正确;当x∈时,2x∈,此时sin 2x>0,且sin 2x为减函数,故D正确.
三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)
已知函数f(x)=sin(2π-x)·sin-cos2x+.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)当x∈时,求f(x)的最小值和最大值.
【解】 (1)由题意,得f(x)=(-sin x)(-cos x)-cos2x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x+=sin+,
所以f(x)的最小正周期T==π;
令2x-=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),
故所求图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)当0≤x≤时,-≤2x-≤,
由函数图象(图略)可知,-≤sin≤1,即0≤sin(2x-)+≤.
故f(x)的最小值为0,最大值为.
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ
)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数的最大值及相应的x值的集合;
(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心.
解:(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,
即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;
故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.
(2)由2x-=+kπ,k∈Z,
得x=+kπ,k∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.
由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,
即对称中心为,k∈Z.
[基础题组练]
1.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
解析:选C.因为y=2=
2sin,所以T==π.
2.f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)=( )
A.0 B.3
C.-1 D.-2
解析:选A.因为f(b)=tan b+sin b+1=2,
即tan b+sin b=1.
所以f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1
=-(tan b+sin b)+1=0.
3.若是函数f(x)=sin ωx+cos ωx图象的一个对称中心,则ω的一个取值是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C.因为f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,
由题意,知f=sin=0,所以+=kπ(k∈Z),即ω=8k-2(k∈Z),当k=1时,ω=6.
4.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间(0,)上单调递减
C.(,0)为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
解析:选C.函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,A错;在区间(0,)上单调递增,B错;最小正周期为,D错;由2x-=,k∈Z得x=+,当k=0时,x=,所以它的图象关于(,0)中心对称,故选C.
5.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
解析:选B.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期是4π,而T==4π,所以ω=,即f(x)=2sin.函数f(x)的对称轴为+=+kπ,解得x=π+2kπ(k∈Z);令k=0得x=π.函数f(x)的对称中心的横坐标为+=kπ,解得x=2kπ-π(k∈Z),令k=1得f(x)的一个对称中心.
6.若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为 .
解析:由题意知+=kπ+(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin=2.
答案:2
7.(2020·无锡期末)在函数①y=cos|2x|;②y=|cos 2x|;③y=cos;④y=tan 2x中,最小正周期为π的所有函数的序号为 .
解析:①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;②y=cos 2x,最小正周期为π,由图象知y=|cos 2x|的最小正周期为;③y=cos的最小正周期T==π;④y=tan 2x的最小正周期T=.因此①③的最小正周期为π.
答案:①③
8.已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为 .
解析:由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,
所以ω=k+,又ω∈(1,2),所以ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=.
答案:
9.已知函数f(x)=2cos2+2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心.
解:因为f(x)=2cos2+2sin·sin
=cos+1+2sinsin
=cos+2sincos+1
=cos 2x+sin 2x+sin+1
=sin 2x-cos 2x+1
=sin+1,
所以f(x)的最小正周期为=π,图象的对称中心为,k∈Z.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
解:由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).
所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),
展开整理得sin 2xcos φ=0,
已知上式对∀x∈R都成立,
所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.
(2)因为f=,所以sin=,
即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),
故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),
又因为0<φ<,所以φ=,
即f(x)=sin,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得
kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
[综合题组练]
1.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.
由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,
所以函数f(x)的最小正周期T=,
所以ω==4.
2.(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1),且关于直线x=对称,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在上是减函数
B.若x=x0是f(x)图象的对称轴,则一定有f′(x0)≠0
C.f(x)≥1的解集是,k∈Z
D.f(x)图象的一个对称中心是
解析:选D.由f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1),得sin φ=,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin.因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以存在m∈Z使得ω+=mπ+,得ω=+(m∈Z),又0<ω<1,所以ω=,则f(x)=2sin.令2nπ+≤x+≤2nπ+,n∈Z,得4nπ+≤x≤4nπ+,n∈Z,故A错误;若x=x0是f(x)图象的对称轴,则f(x)在x=x0处取得极值,所以一定有f′(x0)=0,故B错误;由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ+,k∈Z,故C错误;因为f=0,所以是其图象的一个对称中心,故D正确.选D.
3.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解:(1)因为f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z
).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.
4.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
解:(1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)
=sin 2x-cos 2x=sin.
当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),
所以当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
所以x1+x2=π,则x1=π-x2,
所以cos(x1-x2)=cos=sin,
又f(x2)=sin=,
故cos(x1-x2)=.