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  • 2021-06-16 发布

【数学】2021届一轮复习人教A版(文)第四章 第4讲 第2课时 三角函数的图象与性质(二)学案

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第2课时 三角函数的图象与性质(二)‎ ‎     三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)‎ ‎ (1)函数f(x)=2cos2-1是(  )‎ A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,则(  )‎ A.ω=2,θ=      B.ω=,θ= C.ω=,θ= D.ω=2,θ= ‎【解析】 (1)因为f(x)=2cos2-1‎ ‎=cos=cos=sin 2x.‎ 所以T==π,f(x)=sin 2x是奇函数.‎ 故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.‎ ‎(2)因为函数y=2sin(ωx+θ)的最大值为2,且其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,所以函数y=2sin(ωx+θ)的最小正周期是π.‎ 由=π得ω=2.‎ 因为函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数,所以θ=+kπ,k∈Z.‎ 又0<θ<π,所以θ=,故选A.‎ ‎【答案】 (1)A (2)A ‎(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,‎ 而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.‎ ‎(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解.‎ ‎1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(  )‎ A.y=sin    B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 解析:选B.y=sin=cos 2x是偶函数,不符合题意;y=cos=-sin 2x是T=π的奇函数,符合题意;同理C,D均不是奇函数.‎ ‎2.(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)=sin 的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(  )‎ A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 解析:选A.f(x)=sin,因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,所以f(x)=sin.f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=-cos 2x,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,故选A.‎ ‎      三角函数的对称性(师生共研)‎ ‎ 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)图象的一个对称中心是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意可得=π,所以ω=2,‎ 可得f(x)=Asin(2x+φ),‎ 再由函数图象关于直线x=对称,‎ 故f=Asin=±A,故可取φ=-.‎ 故函数f(x)=Asin,令2x-=kπ,k∈Z,‎ 可得x=+,k∈Z,故函数的对称中心为,k∈Z.‎ 所以函数f(x)图象的一个对称中心是.‎ ‎【答案】 B 三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 ‎(1)思路:函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解.‎ ‎(2)方法:利用整体代换的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用类似方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的图象无对称轴).‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(  )‎ A.2 B. C.1 D. 解析:选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T==2×(-)=π,解得ω=2,选A.‎ ‎2.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法错误的是(  )‎ A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的周期为 C.(π,0)是f(x)的一个对称中心 D.f(x)在区间上单调递减 解析:选A.f(x)=|sin x||cos x|=|sin xcos x|=·|sin 2x|,则f=|sin π|=0,则f(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;函数周期T=×=,故B正确;f(π)=|sin 2π|=0,则(π,0)是f(x)的一个对称中心,故C正确;当x∈时,2x∈,此时sin 2x>0,且sin 2x为减函数,故D正确.‎ ‎    三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)‎ ‎ 已知函数f(x)=sin(2π-x)·sin-cos2x+.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;‎ ‎(2)当x∈时,求f(x)的最小值和最大值.‎ ‎【解】 (1)由题意,得f(x)=(-sin x)(-cos x)-cos2x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x+=sin+,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π;‎ 令2x-=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),‎ 故所求图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ ‎(2)当0≤x≤时,-≤2x-≤,‎ 由函数图象(图略)可知,-≤sin≤1,即0≤sin(2x-)+≤.‎ 故f(x)的最小值为0,最大值为.‎ 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ ‎)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.‎ ‎ 已知函数f(x)=2sin.‎ ‎(1)求函数的最大值及相应的x值的集合;‎ ‎(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心.‎ 解:(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,‎ 即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;‎ 故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.‎ ‎(2)由2x-=+kπ,k∈Z,‎ 得x=+kπ,k∈Z.‎ 即函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.‎ 由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,‎ 即对称中心为,k∈Z.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为(  )‎ A.           B. C.π D.2π 解析:选C.因为y=2=‎ ‎2sin,所以T==π.‎ ‎2.f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)=(  )‎ A.0 B.3‎ C.-1 D.-2‎ 解析:选A.因为f(b)=tan b+sin b+1=2,‎ 即tan b+sin b=1.‎ 所以f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1‎ ‎=-(tan b+sin b)+1=0.‎ ‎3.若是函数f(x)=sin ωx+cos ωx图象的一个对称中心,则ω的一个取值是(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ 解析:选C.因为f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,‎ 由题意,知f=sin=0,所以+=kπ(k∈Z),即ω=8k-2(k∈Z),当k=1时,ω=6.‎ ‎4.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是(  )‎ A.是奇函数 B.在区间(0,)上单调递减 C.(,0)为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析:选C.函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,A错;在区间(0,)上单调递增,B错;最小正周期为,D错;由2x-=,k∈Z得x=+,当k=0时,x=,所以它的图象关于(,0)中心对称,故选C.‎ ‎5.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象(  )‎ A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 解析:选B.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期是4π,而T==4π,所以ω=,即f(x)=2sin.函数f(x)的对称轴为+=+kπ,解得x=π+2kπ(k∈Z);令k=0得x=π.函数f(x)的对称中心的横坐标为+=kπ,解得x=2kπ-π(k∈Z),令k=1得f(x)的一个对称中心.‎ ‎6.若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为 .‎ 解析:由题意知+=kπ+(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin=2.‎ 答案:2‎ ‎7.(2020·无锡期末)在函数①y=cos|2x|;②y=|cos 2x|;③y=cos;④y=tan 2x中,最小正周期为π的所有函数的序号为 .‎ 解析:①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;②y=cos 2x,最小正周期为π,由图象知y=|cos 2x|的最小正周期为;③y=cos的最小正周期T==π;④y=tan 2x的最小正周期T=.因此①③的最小正周期为π.‎ 答案:①③‎ ‎8.已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为 .‎ 解析:由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,‎ 所以ω=k+,又ω∈(1,2),所以ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=.‎ 答案: ‎9.已知函数f(x)=2cos2+2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心.‎ 解:因为f(x)=2cos2+2sin·sin ‎=cos+1+2sinsin ‎=cos+2sincos+1‎ ‎=cos 2x+sin 2x+sin+1‎ ‎=sin 2x-cos 2x+1‎ ‎=sin+1,‎ 所以f(x)的最小正周期为=π,图象的对称中心为,k∈Z.‎ ‎10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.‎ 解:由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,‎ 所以f(x)=sin(2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).‎ 所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),‎ 展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 已知上式对∀x∈R都成立,‎ 所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.‎ ‎(2)因为f=,所以sin=,‎ 即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又因为0<φ<,所以φ=,‎ 即f(x)=sin,‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.‎ 由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=,‎ 所以ω==4.‎ ‎2.(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1),且关于直线x=对称,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)在上是减函数 B.若x=x0是f(x)图象的对称轴,则一定有f′(x0)≠0‎ C.f(x)≥1的解集是,k∈Z D.f(x)图象的一个对称中心是 解析:选D.由f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,1),得sin φ=,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin.因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以存在m∈Z使得ω+=mπ+,得ω=+(m∈Z),又0<ω<1,所以ω=,则f(x)=2sin.令2nπ+≤x+≤2nπ+,n∈Z,得4nπ+≤x≤4nπ+,n∈Z,故A错误;若x=x0是f(x)图象的对称轴,则f(x)在x=x0处取得极值,所以一定有f′(x0)=0,故B错误;由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ+,k∈Z,故C错误;因为f=0,所以是其图象的一个对称中心,故D正确.选D.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解:(1)因为f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z ‎).‎ ‎(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.‎ ‎4.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;‎ ‎(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.‎ 解:(1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)‎ ‎=sin 2x-cos 2x=sin.‎ 当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.‎ ‎(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),‎ 所以当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.‎ 又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.‎ 所以x1+x2=π,则x1=π-x2,‎ 所以cos(x1-x2)=cos=sin,‎ 又f(x2)=sin=,‎ 故cos(x1-x2)=.‎

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