【数学】2020届一轮复习（理，鲁津京琼）人教B版1-3-2均值不等式及其应用学案 16页

第2课时　均值不等式及其应用 考试要求　1.掌握均值不等式≤(a，b≥0)；2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.均值不等式：≤ ‎(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.两个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎2.≤≤≤(a>0，b>0).‎ ‎3.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)‎ ‎(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)‎ ‎(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)‎ 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；‎ 不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.‎ ‎(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.‎ ‎(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修5P73B2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)‎ A.9 B.18 C.36 D.81‎ 解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.‎ 答案　A ‎3.(必修5P73A8改编)若x<0，则x＋(　　)‎ A.有最小值，且最小值为2 　 B.有最大值，且最大值为2‎ C.有最小值，且最小值为－2 　 D.有最大值，且最大值为－2‎ 解析　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.‎ 答案　D ‎4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝，则f(x)在 上的最小值为(　　)‎ A. B. C.－1 D.0‎ 解析　f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.‎ 又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.‎ 答案　D ‎5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.‎ 解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，‎ 所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，‎ 当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.‎ 答案　15　 ‎6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.‎ 解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.‎ 答案　 考点一　利用均值不等式求最值　多维探究 角度1　利用配凑法求最值 ‎【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设00，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3‎ ‎≤－2＋3＝－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ 答案　(1)　(2)1‎ 角度2　利用常数代换法求最值 ‎【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则＋的最小值为________.‎ 解析　∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，‎ ‎∴A(1，1).‎ 将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，‎ 可得m＋n＝1，‎ ‎∴＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，取得等号.‎ 答案　4‎ 角度3　均值不等式积(ab)与和(a＋b)的转化　典例迁移 ‎【例1－3】 (经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.‎ 解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 解得≥3，即ab≥9.‎ 答案　[9，＋∞)‎ ‎【迁移探究】 本例已知条件不变，求a＋b的最小值.‎ 解　∵a>0，b>0，∴ab≤，‎ 即a＋b＋3≤，‎ 整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，‎ 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍).‎ 故a＋b的最小值为6.‎ 规律方法　在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：‎ ‎(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.‎ ‎(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.‎ ‎【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)‎ A.2 B. C.4 D. ‎(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.‎ 解析　(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b时取等号).‎ 又因为2a＋b＝4，‎ ‎∴2≤4⇒00得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.‎ 又3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3 时，等号成立).‎ 所以k＋1<2，即k<2－1.‎ ‎(2)∵{an}为等比数列，∴a2 017·a2 019＝a＝.‎ ‎∴＋≥2＝2＝4.‎ 当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时，取得等号.‎ ‎∴＋的最小值为4.‎ 答案　(1)B　(2)4‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.‎ ‎2.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.使用均值不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.‎ ‎2.对使用均值不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：35分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ab<，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立.‎ 答案　A ‎2.下列结论正确的是(　　)‎ A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2‎ B.<1(x∈R)‎ C.当x>0时，＋≥2‎ D.当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；‎ 对于D，当01，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有(　　)‎ A.最小值20 B.最小值200‎ C.最大值20 D.最大值200‎ 解析　由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y有最小值200.‎ 答案　B ‎4.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A.16 B.9 C.4 D.2‎ 解析　在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1‎ ‎≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).‎ 由题意知2＋1≥5.所以a≥4.‎ 答案　C ‎5.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)‎ A.2 B.2 C.4 D.4 解析　由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，‎ ‎∴≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，‎ ‎∴|PA|＋|PB|≤2，∴|PA|＋|PB|的最大值为2.‎ 答案　B ‎6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)‎ A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 解析　设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由均值不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.‎ 答案　B ‎7.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 解析　依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，‎ 当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.‎ 因为＋＝，所以≥，即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，‎ 所以ab的最小值为2.‎ 答案　C ‎8.(2019·衡水中学质检)正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[3，＋∞) B.(－∞，3]‎ C.(－∞，6] D.[6，＋∞)‎ 解析　因为a>0，b>0，＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，‎ 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号.‎ 依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.‎ 又x2－4x－2＝(x－2)2－6，‎ 所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.函数y＝(x>1)的最小值为________.‎ 解析　y＝＝ ‎＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.‎ 答案　2＋2‎ ‎10.‎ 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N+)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.‎ 解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.‎ 答案　8‎ ‎11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.‎ 解析　因为x>0，y>0，所以9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时等号成立.设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，‎ 所以(t－6)(t＋18)≥0，又因为t>0，所以t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案　6‎ ‎12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则＋的最小值为________.‎ 解析　因为函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，‎ 所以m＋n－2＝0，即＋＝1.‎ 所以＋＝＝1＋＋ ‎≥1＋2＝2，‎ 当且仅当＝，即m2＝n2时取等号，‎ 所以＋的最小值为2.‎ 答案　2‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log a＋log3 有(　　)‎ A.最大值log3 B.最小值log32‎ C.最大值log D.最小值0‎ 解析　由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，‎ ‎∴2a＋b＝2，∴2≥2，∴ab≤(当且仅当2a＝b时，等号成立).‎ 又log a＋log3 ＝log a＋log b＝log (ab)≥log ＝log3 2，‎ 故log a＋log3 有最小值为log3 2.‎ 答案　B ‎14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)‎ A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2 解析　因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，‎ 所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，‎ 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，‎ 当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，‎ 所以＋的最小值为2＋2.‎ 答案　D ‎15.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.‎ 解析　∵a，b∈R，ab>0，‎ ‎∴≥＝4ab＋≥2＝4，‎ 当且仅当即时取得等号.‎ 答案　4‎ ‎16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.‎ 解析　对任意x∈N+，f(x)≥3，‎ 即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.‎ 设g(x)＝x＋，x∈N+，则g(x)＝x＋≥4，‎ 当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，‎ ‎∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，‎ ‎∴a≥－，故a的取值范围是.‎ 答案　 新高考创新预测 ‎17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.‎ 解析　∵正数x，y满足x＋y＝1，‎ ‎∴y＝1－x，0