【数学】2021届一轮复习人教A版函数的基本性质学案 9页

专题05 函数的基本性质 ‎【名师预测】‎ 函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题是江苏高考考试中的重点考点，经常是以综合性考题出现，近几年出现在填空题9-11题，难度中等，对于考生来说，属易错题型，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，需细心谨慎。‎ ‎【知识精讲】‎ 一．函数的单调性 ‎1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.‎ ‎2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．‎ 注意：‎ ‎（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．‎ ‎（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．‎ ‎（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.‎ ‎（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．‎ ‎3．函数单调性的常用结论 ‎（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；‎ ‎（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；‎ ‎（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；‎ ‎（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；‎ ‎（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；‎ ‎（6）对勾函数的单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．‎ 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎②存在，使得 ‎①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎②存在，使得 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 注意：‎ ‎（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；‎ ‎（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.‎ 三．函数的奇偶性 ‎1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ －f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．‎ 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．‎ ‎2．函数奇偶性的几个重要结论 ‎（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．‎ ‎（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：‎ 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ‎（3）若奇函数的定义域包括，则．‎ ‎（4）若函数是偶函数，则．‎ ‎（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．‎ ‎（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，‎ 为偶函数．‎ ‎（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：‎ ‎①函数为偶函数，函数为奇函数．‎ ‎②函数（且）为奇函数．‎ ‎③函数（且）为奇函数．‎ ‎④函数（且）为奇函数．‎ 四．函数的周期性 ‎1．周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ 注意：若不特别说明，一般都是指最小正周期，且并不是所有周期函数都有最小正周期.‎ ‎3．函数周期性的常用结论 设函数，.‎ ‎（1）若，则函数的周期为；‎ ‎（2）若，则函数的周期为；‎ ‎（3）若，则函数的周期为；‎ ‎（4）若，则函数的周期为；‎ ‎（5）函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；‎ ‎（6）若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；‎ ‎（7）若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；‎ ‎（8）若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；‎ ‎（9）若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.‎ 五．函数的图象 ‎（1）描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：‎ ‎①确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；‎ ‎②列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)；‎ ‎③描点，连线．‎ ‎（2）图象变换 平移变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．‎ 对称变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ ‎③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象 y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．‎ 伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图象 ‎②y＝f(x)的图象 y＝af(x)的图象．‎ 翻转变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．‎ ‎2．函数图象的应用 函数图象应用的常见题型及求解策略 ‎（1）利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．‎ ‎（2）利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．‎ ‎（3）利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎（4）利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.‎ ‎【典例精练】‎ ‎ 考点一 函数单调性的判断 例1． 讨论函数f (x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．‎ 例2．已知函数f (x)＝a＋(a∈R)，判断函数f (x)的单调性，并用单调性的定义证明．‎ 考点二 求函数的单调区间 例3．函数f (x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为________．‎ 例4．函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间为________．‎ 考点三 函数单调性的应用 例5．函数在区间[－1,1]上的最大值为________．‎ 例6．设函数f (x)定义在实数集R上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f (x)＝3x－1，则 f ，f ，f 的大小关系为________________(用“＜”号表示)．‎ 例7．函数f (x)＝若f (a＋1) ≥ f (‎2a－1)，则实数a的取值范围是________．‎ 例8．已知函数满足对任意x1＜x2，都有f (x1)＜f (x2)成立，那么实数a 的取值范围是________．‎ 考点四 函数奇偶性的判断 例9．判断下列函数的奇偶性：‎ ‎（1）f (x)＝＋；‎ ‎（2）f (x)＝＋；‎ ‎（3）f (x)＝3x－3－x；‎ ‎（4）f (x)＝；‎ ‎（5）f (x)＝ 考点五 函数的周期性 例10．已知f (x)是定义在R上周期为4的函数，且f (－x)＋f (x)＝0，当0＜x＜2时，f (x)＝2x－1，则f (－21)＋f (16)＝________.‎ 例11．已知f (x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．‎ 考点六 函数性质的综合应用 例12．函数f (x)在R上为奇函数，且x＞0时，f (x)＝＋1，则当x＜0时，f (x)＝________.‎ 例13．已知函数f (x)在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且，则实数m的取值范围是________．‎ 例14．设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，，则f (2 018)＝________.‎ ‎【名校新题】‎ 一、填空题 ‎1．（2019·徐州考前模拟）已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为____．‎ ‎2．（2019·南通3月联考）已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．‎ ‎3．（2019·江苏如皋期中）已知函数，且，则______‎ ‎4．（2019·苏北四市2月模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，‎ ‎，则实数a的值为_____．‎ ‎5．（2019·海安月考）若函数是奇函数，则实数的值为______．‎ ‎6．（2019·南通期末）已知函数的周期为4，且当时，，则的值为______.‎ ‎7．（2019·仪征模拟考试）定义在上的函数满足:,当时，,则=________．‎ ‎8．（2019·苏北一模）已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．‎ ‎9．（2019·苏北三模）已知函数 则不等式的解集为____．‎ ‎10．（2019·苏锡常第二次学情调查）已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．‎ ‎11．（2019·海安4月模拟考试）已知是定义在区间上的奇函数，当时， ．则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎12．（2019·南师大附中期中）已知函数，，则t的取值范围是 _______．‎ ‎13．（2019·苏北第三次调研测试）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．‎ ‎14．（2019·扬州中学4月月考）设，，则比较的大小关系_______.‎ ‎15．（2019·南通模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，当－2≤x＜0时，f (x)＝2x，若an＝f (n)(n∈N*)，则a2 018＝________.‎ ‎16．（2019·如东中学期中）对于任意实数，定义.设函数，，则函数的最大值是________．‎ 二、解答题 ‎17．（2019·金陵中学10月月考）已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎18．（2019·姜堰中学期中）已知函数，定义域为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若在上的值域为，求实数的取值范围．‎ ‎19．（2019·镇江期中）已知函数．‎ ‎（1）若函数为奇函数，求实数a的值；‎ ‎（2）若对任意的[﹣1，1]，不等式在[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）若在处取得极小值，且(0，3)，求实数的取值范围．‎ ‎20．（2019·金陵中学10月月考）已知函数f (x)和g(x)的图象关于原点对称，且f (x)＝x2＋2x.‎ ‎（1）求函数g(x)的解析式；‎ ‎（2）解不等式g(x)≥f (x)－|x－1|；‎ ‎（3）若h(x)＝g(x)－λf (x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．‎