【数学】2018届一轮复习人教A版　概　率学案 6页

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　概　率[学生用书P182]‎ 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 ‎2016‎ 甲卷 几何概型·T8‎ 频率估计概率、频率分布表与平均值的应用·T18‎ 乙卷 古典概型·T3‎ 丙卷 古典概型·T5‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 古典概型·T4‎ Ⅱ卷 频率分布直方图、数据的平均值和方差、用频率估计概率·T18‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 古典概型·T13‎ Ⅱ卷 古典概型·T13‎ 茎叶图、用样本的数字特征估计总体的数字特征、用频率估计概率·T19‎ ‎[命题分析]‎ ‎1．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．‎ ‎2．选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．‎ ‎3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．‎ 题示参数 真题呈现 考题溯源 题示对比 ‎ (2016·高考全国卷甲，T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)‎ A．　　　B．　　　‎ C.　　　D. ‎ (2015·高考全国卷Ⅱ，T18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．‎ 图①‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可).‎ ‎ 题溯源 ‎(必修3 P136例1)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.‎ ‎ 题溯源 ‎(必修3 P82习题2.2B组T1)某地区为了解高中生学习统计图表的情况，把标有本地区58所高中名称的号签放入一个不透明的纸箱中，充分搅拌后，逐个抽出了4个号签，再从抽出的4所学校中随机选取高一年级的一个班，得到了一个容量为173的样本．样本中的每名学生被要求做一份时间为20分钟的试卷.‎ ‎(1)上述选取学校的方法是哪种抽样方法？‎ ‎(2)下面是试卷中的一道题，请你按照要求解答这道题.‎ 某班学生一次数学测验的成绩(满分为100分)如下：‎ 男生　98，96，93，95，95，97，91，93，94，90，88，85，82，84，86，83，81，80，87，80，81，89，70，73，68，61，78，52，41，50，49‎ 女生　97，95，94，90，93，90，85，83，85，82，81，84，89，86，82，81，87，85，87，86，83，88，81，80，70，68，66，74，61，51‎ 利用学过的统计图表整理和描述上面的数据，并根据统计图表分析这个班的学习情况．(注：尽可能多地使用统计图表．)‎ ‎(3)下表是根据调查的173名学生解答这道题的情况制成的．你认为这个统计表有问题吗？如果有，问题在哪里，该如何改正？‎ 学生使用统计图表的统计表 扇形图 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图 合计 人数 ‎75‎ ‎101‎ ‎91‎ ‎78‎ ‎55‎ ‎400‎ 百分比 ‎18.75%‎ ‎25.25%‎ ‎22.75%‎ ‎19.5%‎ ‎13.75%‎ ‎100%‎ 图②‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.‎ 题材评说 T1中两题的说法不同，其实质是相同的，转化为长度比求解 T2‎ ‎(1)考题将教材情景嫁接，从统计图表的多样类型中选择茎叶图为数据的表现形式，让教材问题具体化 ‎(2)考题源于教材、高于教材，第二问的设置是教材问题的锦上添花，将事件关系和概率巧妙地融合，实则匠心独具，这也就是教材问题升华为高考试题的途径之一 ‎1．(必修3 P146复习参考题B组T3改编)鞋柜里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的是一只左脚的，一只右脚的，但不成双的概率为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　D　[解析] 设A1，A2，A3表示左脚的，对应的右脚记为B1，B2，B3，则基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种．‎ 所求事件包含的基本事件为(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6种．‎ 所以P＝＝，故选D.‎ ‎2. (必修3 P142习题3.3A组T2改编)某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] 设正三角形的边长为a，圆的半径为R，‎ 则正三角形的面积为a2.‎ 由正弦定理得2R＝，即R＝a，‎ 所以圆的面积S＝πR2＝πa2.‎ 由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.故选B.‎ ‎3．(必修3 P79练习T3改编)2016年国庆节期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎[解] (1)众数的估计值为77.5.‎ 设中位数的估计值为x，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.‎ ‎(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，‎ 车速在[65，70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，‎ 记车速在[60，65)内的两辆车为a，b，车速在[65，70)内的四辆车为c，d，e，f，则所有基本事件有：‎ ‎(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，‎ ‎(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，‎ ‎(c，d)，(c，e)，(c，f)，‎ ‎(d，e)，(d，f)，‎ ‎(e，f)，‎ 共15个．其中车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的事件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.‎ ‎4．(必修3 P56－57内文改编)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．‎ ‎(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行)‎ ‎(第7行)84　42　17　53　31　57　24　55　06　88　77　04　74　47　67　21　76　33　50　25　83　92　12　06　76‎ ‎(第8行)63　01　63　78　59　16　95　56　67　19　98　10　50　71　75　12　86　73　58　07　44　39　52　38　79‎ ‎(第9行)33　21　12　34　29　78　64　56　07　82　52　42　07　44　38　15　51　00　13　42　99　66　02　79　54‎ ‎(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：‎ 人数 数学 优秀 良好 及格 地理 优秀 ‎7‎ ‎20‎ ‎5‎ 良好 ‎9‎ ‎18‎ ‎6‎ 及格 a ‎4‎ b 成绩分为优秀、良好、及格三个等级．横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩的等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．‎ ‎①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；‎ ‎②在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．‎ ‎[解] (1)从第8行第7列的数开始向右读，依次检查的编号分别为785，916(舍)，955(舍)，667，199，…，故最先检查的3个人的编号为785，667，199.‎ ‎(2)①＝30%，‎ 所以a＝14，b＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17.‎ ‎②a＋b＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.‎ 因为a≥10，b≥8，所以a，b的搭配为(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，‎ ‎(23，8)，共14种．记a≥10，b≥8，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A.则事件A包括(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，共6个基本事件．‎ 所以P(A)＝＝，‎ 所以数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.‎