山东专用2021版高考数学一轮复习考案8第八章解析几何综合过关规范限时检测含解析 12页

‎ [考案8]第八章　综合过关规范限时检测 ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ 一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为(　B　)‎ A．y＝2x＋5　　 B．y＝2x－5‎ C．y＝3x＋5　　 D．y＝x＋ ‎[解析]　A关于y＝x的对称点为A1(1，－3)，A关于x＝0的对称点为A2(3,1)，又A1、A2都在BC上，∴kBC＝2.∴BC的方程为y＋3＝2(x－1)，即y＝2x－5.‎ ‎2．(2019·安徽模拟)抛物线y＝x2的焦点到双曲线y2－＝1的渐近线的距离为(　B　)‎ A．　 B． C．1　 D． ‎[解析]　抛物线y＝x2的焦点为(0,1)，双曲线y2－＝1的渐近线方程为x±y＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为＝，故选B.‎ ‎3．(2020·四川攀枝花统考)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于(　D　)‎ A．1　 B． C．　 D．2‎ ‎[解析]　圆x2＋y2＝4在点(－1，)处的切线为l：－x＋y＝4，即l：x－y＋4＝0，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝3，∴点P到直线l的距离的最小值等于d－1＝3－1＝2，故选D.‎ ‎4．(2020·河南新乡模拟)P为椭圆＋＝1上的一个动点，M，N分别为圆C：(x－3)2＋y2＝1与圆D：(x＋3)2＋y2＝r2(00，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　D　)‎ A．　 B． C．2　 D． ‎[解析]　抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 则有A(－1，)，B(－1，－)，‎ ‎∴|AB|＝，＝4，b＝‎2a，‎ ‎∴e＝＝＝.故选D.‎ ‎7．(2019·湖北省武汉市调研)已知A，B为抛物线y2＝4x上两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则|AB|的最小值为(　C　)‎ A．4　 B．‎2‎ C．8　 D．8 ‎[解析]　设OA方程为y＝kx(k>0)，‎ 由，得A(，)，用代换k得B(4k2，－4k)，‎ ‎∴|AB|＝4 ‎＝4≥8.‎ 当且仅当k＝1时取等号，故选C.‎ 秒杀法：由图形对称性可知|AB|最小时Δ方程为y＝x，由，得A(4,4)，故此时|AB|＝8.‎ ‎8．(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是(　C　)‎ A．①　 B．②‎ C．①②　 D．①②③‎ ‎[解析]　从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积．‎ ‎∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|x||y|≤1＋，‎ ‎∴x2＋y2≤2.‎ ‎①x可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；‎ ‎②设曲线C上任意一点到原点的距离为d，‎ 则d2＝x2＋y2≤2，‎ ‎∴d≤，故②正确；‎ ‎③由图知，图形在第一象限的面积S1>1，图形在第四象限的面积S4>，由对称性得，“心形”区域面积S>(1＋)×2＝3，故③错误，综上可知选C.‎ 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)‎ ‎9．(2020·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是(　ABC　)‎ A．离心率为 B．双曲线过点(5，)‎ C．渐近线方程为3x±4y＝0‎ D．实轴长为4‎ ‎[解析]　∵c＝5，由e＝＝知a＝4，∴b2＝c2－a2＝9，A正确；∵双曲线过点P(5，)，∴‎2a＝|PF1|－|PF2|＝－＝8，∴a＝4，B正确；由渐近线方程为3x±4y＝0知＝，又c2＝a2＋b2＝25，∴a＝4，b＝3，C正确；若‎2a＝4，则a＝2，从而b2＝c2－a2＝21，D错，故选ABC.‎ ‎10．已知△ABC为等腰直角三角形，若圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是(　ABD　)‎ A．－1　 B． C．　 D．＋1‎ ‎[解析]　因为△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C＝时，离心e＝＝＝，当C＝时，离心率e＝＝＝－1.‎ ‎(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C＝，‎ 此时，离心率e＝＝＝＝＋1，‎ 故答案为ABD.‎ ‎11．(2020·山东青岛一中期末)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W，则下述正确的是(　BCD　)‎ A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)‎ C.所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1‎ D.与的公切线方程为x＋y＝＋1‎ ‎[解析]　作CM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，曲线W与x轴围成的面积为2＋π，A错；‎ W上的整点D(－2,0)，C(－1,1)，H(0,2)，B(1,1)，A(2,0)，共5个，B正确；‎ 显然C正确；‎ 由图易知公切线l平行直线MQ：y＝－x＋1，且两直线间距离为1，‎ 设l：y＝－x＋b(b>0)，则＝－1，∴b＝＋1，‎ ‎∴l：y＝－x＋＋1，D正确；故选BCD.‎ ‎12．(2020·山东日照联考)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则(　ACD　)‎ A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离 B．以线段BM为直径的圆与y轴相切 C．当＝2时，|AB|＝ D．|AB|的最小值为4‎ ‎[解析]　对于选项A，点M到准线x＝－1的距离为(|AF|＋|BF|)＝|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，进而与直线x＝－一定相离；对于选项B，显然AB中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此命题错误；对于选项C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线方程可得，y2－4my－4＝0，y1y2＝－4，x1x2＝1，若设A(‎4a2,‎4a )，则B(，－)，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝‎4a2＋＋2，|AB|最小值为4；当＝2 可得y1＝－2y2，即‎4a＝－2(－)，所以a2＝，|AB|＝，故答案为ACD.‎ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y2＝4x上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__.‎ ‎[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，‎ 由，得.‎ ‎∴抛物线y2＝4x上到其焦点距离为1的点只有1个．‎ ‎14．(2019·江西师大附中模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为　　.‎ ‎[解析]　圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，由题意可知圆心C(3,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为，即＝＝，∴＝1－＝，∴e＝＝.‎ ‎15．(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线，点P在准线l上，若＝，则＝　　.‎ ‎[解析]　分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则|MM1|＝|MF|·|NN1|＝|NF|，‎ ‎∴＝＝＝ 设|NF|＝m，则|MF|＝‎2m，从而|PN|＝‎3m，‎ ‎∴＝＝，则m＝p，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎16．(2020·山东日照联考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　－1　；双曲线N的离心率为__2__.‎ ‎[解析]　由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋c，再根据椭圆定义得c＋c＝‎2a，所以椭圆M的离心率为＝＝－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，∴＝tan2＝3，∴c2＝＝＝4，∴e＝2.‎ 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)，B(0，－1)，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝m与椭圆C有两个不同的交点M、N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－.证明：点D在x轴上．‎ ‎[解析]　(1)由题意知c＝，b＝1，且焦点在x轴上，‎ ‎∴a2＝b2＋c2＝4‎ 所以椭圆C的方程为：＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可设M(－x0，m)，N(x0，m)，－1b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，‎ ＝，又a2＝b2＋c2，‎ 可得a＝，b＝2，c＝1.‎ 所以，椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．‎ 设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，‎ 则直线PB的方程为y＝kx＋2，‎ 与椭圆方程联立 整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，‎ 可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，‎ 进而直线OP的斜率＝.‎ 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.‎ 由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.‎ 由OP⊥MN，得·(－)＝－1，‎ 化简得k2＝，从而k＝±.‎ 所以，直线PB的斜率为或－.‎ ‎19．(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y－＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，过定点P(2,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.‎ ‎[解析]　(1)依题意可设圆C方程为x2＋y2＝b2，‎ ‎∵圆C与直线x－y＋＝0相切，‎ ‎∴b＝＝1，∴a2－c2＝1，‎ 又＝，解得a＝，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)依题意可知直线l斜率存在，‎ 设l方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，‎ 整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，‎ ‎∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1<0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∵F(1,0)，∴k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝2k－k(＋)‎ ‎＝2k－k()‎ ‎＝2k－k ‎＝2k－k＝0，‎ 即∠PFM＝∠PFB.‎ ‎20．(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y＝2x与抛物线Γ：y2＝2px(p>0)交于O和E两点，且|OE|＝.‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程；‎ ‎(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A，B两点，P为直线x＝－2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xM·xN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由y2＝2px与y＝2x，解得交点O(0,0)，E(，p)，∴|OE|＝＝，得p＝2，‎ ‎∴抛物线Γ的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入y2＝4x中，‎ 则y2－4ty－8＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴ 设P(－2，y0)，则直线PA的方程为y－y0＝(x＋2)，‎ 令y＝0，得(y0－y1)xM＝y0x1＋2y1，③‎ 同理可得(y0－y2)xN＝y0x2＋2y2，④‎ 由③×④得(y0－y1)(y0－y2)xM·xN＝(y0x1＋2y1)(y0x2＋2y2)，‎ 即[y－(y1＋y2)y0＋y1y2]xM·xN＝yx1x2＋2y0(y1x2＋y2x1)＋4y1y2＝y×＋2y0(y1×＋y2×)＋4y1y2＝y×yy＋y0y1y2×＋4y1y2，‎ 由①②可得(y－4ty0－8)xM·xN＝4(y－4ty0－8)，‎ 当点P不在直线AB上时，y－4ty0－8≠0，∴xM·xN＝4；‎ 当点P在直线AB上时，xM＝xN＝xQ＝2，∴xM·xN＝4.综上，xM·xN为定值，且定值为4.‎ ‎21．(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P(1，)为椭圆上一点，且|PF1|＝.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当∠MAN最小时，求直线AB的方程．‎ ‎[解析]　(1)设F1(－c,0)(c>0)，‎ 则|PF1|＝＝⇒c＝1，‎ ‎∴|PF2|＝，‎ 则由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝2，‎ ‎∴a＝，b＝1，‎ 故椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB：x＝ty＋1，‎ 联立方程得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，‎ ‎∵直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∴Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8(t2＋1)>0，‎ 由韦达定理y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 则yN＝－，‎ ‎∴xN＝tyN＋1＝－＋1＝，‎ ‎∵MN⊥AB，∴kMN＝－t，‎ ‎∴|MN|＝·|－2－|＝· 又|AN|＝|AB|＝·|y1－y2|＝· ‎∴tan∠MAN＝＝ ‎＝(＋)≥·2＝4，‎ 当且仅当＝即t＝±1时取等号．‎ 此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.‎ ‎22．(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P(，－1)，且△PF‎1F2的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|＝λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)由△PF‎1F2的面积可得·‎2c·1＝2，‎ 即c＝2，∴a2－b2＝4.①‎ 又椭圆C过点P(，－1)，‎ ‎∴＋＝1.②‎ 由①②解得a＝2，b＝2，‎ 由椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，‎ 则原点到直线l的距离d＝，‎ 由弦长公式可得|AB|＝2＝，‎ 将y＝x＋m代入椭圆方程＋＝1，‎ 得3x2＋4mx＋‎2m2‎－8＝0，‎ 由判别式Δ＝‎16m2‎－12(‎2m2‎－8)>0，‎ 解得－2