【数学】2019届一轮复习人教A版集合学案 14页

集 合 第1讲 满分晋级 ‎ ‎ 函数2级 函数及其表示 函数3级 函数的单调性 函数1级 集合 新课标剖析 ‎ ‎ 当前形势 集合在近五年北京卷(理)考查5 18分 高考 要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 集合的含义与表示 ‎√‎ 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．‎ 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ 集合间基本关系 ‎√‎ 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ 在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ 集合基本运算 ‎√‎ 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ 能使用Venn图表达集合的关系及运算 ‎1.1 集合的概念与表示 考点1：集合的概念 集合的引入（说明为什么要学习集合）‎ 塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．‎ 数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合．‎ 那到底什么叫集合呢？‎ 知识点睛 ‎1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．‎ ‎ 如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．‎ ‎⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示；‎ ‎⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作．‎ 集合含义的理解 对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中．‎ ‎ “能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．‎ 理解这个要注意以下三点：‎ ‎①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；‎ 如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；‎ 中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；‎ 这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm的人．‎ 再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．‎ 在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程的根；小于等于的实数都可以构成集合；‎ ‎②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．‎ 如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；‎ 存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．‎ ‎③方程的实数根能不能构成一个集合呢？‎ 我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用表示．‎ 再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同 都是空集．‎ 下面可以构成集合的有_______．‎ ‎①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点；‎ ‎③高一数学课本中的难题；④方程的实数解；‎ 正解：①②④．‎ ‎2．元素与集合的关系：‎ 如果是集合中的元素，就说属于，记作；‎ 如果不是集合中的元素，就说不属于，记作．‎ ‎3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：‎ 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 ‎<教师备案> 常见数集写法的字母意义：‎ 自然数是Natural Number（自然数）的首字母，即全体非负整数构成的集合；‎ 习惯用或表示正整数集，其中的星是非零的意思；‎ 整数集的是德文 ahlen（数字）的首字母．‎ 有理数集的是英语/德语Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商．‎ 实数是Real Number(实数)的首字母．‎ 在后面的学习中，会在均值不等式部分用表示正实数集，在复数中引入表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式．‎ 为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？‎ 使用作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．‎ 数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．‎ 练习1： 用，填空．‎ ‎①___；②___；③__；④___；⑤___；⑥___；⑦___R；‎ 答案：；；；；；；．‎ ‎4．元素的性质 ‎①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．‎ ‎②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．‎ ‎③无序性：集合中的元素是无次序关系的．‎ ‎<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．‎ 互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由构成的集合中，一定满足．‎ 因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解．‎ 集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．‎ 集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．‎ 经典精讲 ‎ ‎ 【例1】 ‎⑴若是一个集合中的两个元素，实数应满足什么条件？‎ ‎⑵设，将对象，，，，，组成集合，则集合中元素最多时有（ ）‎ A．个 B．个 C．5个 D．6个 ‎⑶下列叙述中正确的个数是（ ）‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③，若，则；④，若，则．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 ‎⑴ 且；‎ ‎⑵ A ‎⑶ C；‎ 讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．‎ 考点2：集合的表示法——列举法与描述法 知识点睛 ‎5．集合的表示法 ‎⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，‎ 并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．‎ ‎ 例如：，．‎ ‎【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成．‎ 有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成．‎ 描述法引入 列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程（为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．‎ ‎⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：‎ 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．‎ 例如：大于的所有整数用描述法表示为．‎ 方程的实根用描述法表示为．‎ ‎【注意】‎ ‎①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．‎ 如：；；‎ ‎，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：‎ 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……‎ ‎，说明集合描述的是实数，这个实数具有大于等于的特点．‎ 若元素范围为，在不致发生误解时，也可以省略，直接写成．‎ 但对于集合，则一定不能省略．‎ ‎②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为．‎ 如：，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点．‎ ‎③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．‎ ‎<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．‎ 练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：‎ ‎①；②；③；‎ ‎④；⑤且．‎ 答案： ①；②；③；④；⑤．‎ 练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：‎ ‎①；②；③．‎ 答案：①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．‎ 经典精讲 ‎ ‎ 【例1】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．‎ ‎，，．‎ 【解析】 ‎：描述的是实数，满足；；‎ ‎：描述的是实数，，；‎ ‎：描述的是点，表示抛物线上所有的点．‎ 【例2】 ‎⑴已知集合，集合，用列举法表示 集合_________________．‎ ‎⑵已知集合，集合，则用列举法表示集合________，集合_______________．‎ ‎⑶集合，，，‎ 又，，则有（ ）‎ A． B． ‎ C． D．不属于，，中任意个 【解析】 ‎⑴ ．‎ ‎⑵ ，；‎ ‎⑶ B 【备选】 集合中有（ ）个元素．‎ A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．无数 【解析】 B 列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．‎ 考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法 知识点睛 ‎⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．‎ 图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．‎ ‎⑷ 区间表示法：设，且，‎ 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 一类特殊的区间 实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”．‎ 实数集也可以用表示．‎ 练习4：将下面的集合表示成区间：‎ ‎⑴；⑵；⑵．‎ 答案：⑴；⑵；⑶．‎ ‎<教师备案> 区间是集合的一种表示方法，就表示一个集合，不需要用表示一个集合．‎ 引入区间表示法后能进一步看出描述法中的字母只是一个符号，没有本质的意义．‎ 如：用区间表示即为，与无关．‎ 在直角坐标系下，记号可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，可以根据情况区分．‎ 【例1】 把下列集合表示成区间 ‎⑴；⑵；⑶．‎ 【解析】 ‎⑴．⑵；⑶．‎ ‎ ‎ 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）‎ 配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．‎ ‎【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的值．‎ ‎⑴；⑵；‎ ‎⑶，；⑷，．‎ 【解析】 ‎⑴，最小值为，此时，无最大值；‎ ‎⑵，最大值为，此时，无最小值；‎ ‎⑶当时，有最小值为；当时，有最大值；‎ ‎⑷当，有最大值；当时，有最小值．‎ ‎【练习】求下列函数的最值：⑴，；⑵，．‎ 【解析】 ‎⑴，最小值为，最大值为；‎ ‎⑵，最大值为，最小值为．‎ ‎ ‎ 集合的关系引入 我们研究问题的轨迹通常是从特殊到一般，从单个到多个．前面研究的都是单个集合，下面要研究的是集合间的关系．首先，并不是所有的集合之间都有关系，如这个集合与{花果山的猴子}之间可能就没什么关系；实数集与{市场上所有卖的鸡蛋}之间可能也没什么关系．但有些集合间是有各种各样稀奇古怪的关系的．如{我们班的同学}与{我们班的女同学}就感觉有关系，下面我们就研究一下这些有关系的集合之间的关系：‎ ‎1.2集合的关系 考点4：子集、真子集与集合相等 知识点睛 ‎1．子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作（或），读作 “包含于”（或“包含”）．‎ 规定：是任意集合的子集．‎ 如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或．‎ ‎<教师备案> 从一个大的群体中选出一个部分，这个部分就是群体的一个子集．如：{我们班同学}，{我们班男同学}，{我们班所有戴眼镜的同学}，{我们班所有有头发的同学}．则，，都是的一个子集．又{猴子}是{动物}的一个子集；{小孩子}是{人}的一个子集……‎ 与的区别：（调侃：一个横杠在里面，一个横杠在外面）‎ 表示的是集合与集合的关系，左右两边都是集合；表示的是元素与集合的关系．‎ 子集数学上的严格的定义是：对任意的，都有，则称是的子集．‎ 意味着，从里随便拽一个出来，都在里．如，．‎ 可以让学生写出的所有子集．‎ 其中是不是子集可以重点讲解：由子集的定义：集合中的任意一个元素都在集合中，所以．‎ 再强调一下空集是任意集合的子集，写子集先写空集，即．‎ 真子集引入 子集分为两类，一类是“相等”关系的子集，另一类是把“相等”关系的子集去掉的子集，称为真子集．可以用韦恩图表示如下．‎ ‎： ：‎ 在刚刚的例子中，真子集有个，就是指一个集合的所有子集中，去掉和它相等的那个．‎ ‎2．真子集：如果集合，且存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，‎ 记作（或），读作真包含于（真包含）．‎ 规定：是任意非空集合的真子集．‎ ‎<教师备案> 可以让学生写出的所有真子集、非空真子集．它们分别比所有子集少一个、两个集合．而对于一般的子集个数的问题，我们放到同步再讲．‎ 注意：高中数学真子集统一用符号表示，在立体几何中的线面关系中，因为线在面内时，线一定是面的真子集，那时会用一个新的符号表示，在集合的章节里，没有这样的记号．但有时可能会在有些资料中遇到用表示真子集的情况．‎ 练习5：下列四个命题中正确的有_______．‎ ‎①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零；‎ ‎④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．‎ 答案：③．‎ ‎3．集合相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=．‎ ‎<教师备案> 集合相等的定义在理论性证明时比较有用，如对于两个比较抽象的集合，证明两个集合相等，一般都是通过证明一个集合中的任何一个元素都是另一个集合中的元素得到的．这类问题与已知集合相等求参数的问题我们留到在同步时再讲．‎ 经典精讲 【例1】 ‎⑴ 下面关系式中，正确的是_______．‎ ‎①；②；③；④；⑤；⑥．‎ ‎⑵ 用填空：‎ ‎①______；②______‎ ‎③______；④______；‎ ‎⑤_____；⑥_____；‎ ‎⑦______；⑧______．‎ 【解析】 ‎⑴②③；‎ ‎<教师备案> 空集的含义：把集合想象成一个大的塑料袋，空集就是这个塑料袋中什么都没有．但 不再是空集，因为这个塑料袋中还放着一个塑料袋呢．在这个集合中，是一个元素，但同时也可以作为一个集合，所以与都正确．所以与的关系有很多种不同的说法，理解即可，不必太纠结．‎ ‎⑵①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．‎ ‎【备注】一般来说，我们只研究有关系的两个集合之间的关系，而数集与点集是两种不同类型的集合，它们之间一般没有关系，但在概念初学阶段，我们有时会出现这类的题帮助学生更好地理解它们之间的区别．‎ 【例2】 ‎⑴若，，，‎ 则，，的关系是（ ）‎ A． 　　　　B． 　　C． 　　D．‎ ‎⑵若，，，则的关系是（ ）‎ A． 　　　　B． 　　C． 　　D．‎ 【解析】 ‎⑴ C；‎ ‎⑵B．‎ 集合的运算引入 什么叫运算？‎ 在座的诸位，从小学一年级算起，直到现在，学了九年的数 若再加上幼儿园，可能时间会更长些，有没有同学一生下来就会数学的？一生下来，你张口不是“哇”，而是“一”，有这样的吗？‎ 我们在这么长的学习中，其实很多次都接触到运算，那么我们都学习过哪些运算？，这叫四则运算；对求：，，，，也都是运算．到底什么叫运算呢？‎ 运算最广义的定义是：如果有一个对象或几个对象，你对它/它们进行相应的操作，得到一个新的对象，这个过程就可以理解为运算．‎ 对于今天集合间的运算，我们来学习三种：交运算、并运算、补运算．集合通过这些运算，最终得到一个新的集合，注意运算后的结果仍然是一个集合．‎ ‎1.3集合的运算 考点5：交集、并集与补集 知识点睛 交集的引入 直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．‎ 例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．‎ 与的交集用表示．‎ 给一些数学上的例子：‎ 例：⑴，则；‎ ‎⑵，则；‎ ‎⑶，，则；‎ 交集的严格数学定义即：．‎ 我们可以注意到，若，则．‎ ‎1．交集：对于两个给定的集合、，属于又属于的所有元素构成的集合叫做、的交集，记作“”．‎ ‎ 集合用符号语言表示为：，‎ 用维恩（）图表示为：‎ ‎ 为其公共部分 并集的引入 直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．‎ 例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．‎ 与的并集用表示．‎ 可以给一些数学上的小例子：‎ 例：⑴，则；‎ ‎⑵表示所有偶数，表示所有奇数，则 为所有整数；‎ ‎⑶，，则．‎ 在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的互异性决定的．‎ 例时，；，则；‎ 我们可以注意到，若，则．‎ 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如的解集可以写成或，可以用区间与并集符号写成．‎ ‎2．并集：对于两个给定的集合、，由两个集合所有元素构成的集合叫做与的并集，记作“”． ‎ ‎ 集合用符号语言表示为;‎ ‎ 用维恩（）图表示如下：‎ ‎ 或 或 ‎ 补集的引入 一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．‎ 把在全集中不属于的那些元素构成的集合，叫到在中的补集，直观上，就是从中把挖掉剩下的部分．如：{我们班同学}，{我们班男生}，的补集就是{我们班女生}；{我们班人}，{我们班同学}，的补集就是{老师}．‎ 在中的补集记为．‎ 例：，，则；‎ 就是所有的负整数；就是所有的无理数；‎ ‎，则；‎ ‎，，．‎ ‎3．补集：‎ ‎①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表示．‎ ‎②补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作“”．读作“在中的补集”．‎ 在中的补集的数学表达式是．‎ 用维恩（）图表示：‎ 经典精讲 【例1】 ‎⑴已知全集，集合，，‎ 那么集合等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎⑵设集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎⑶集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑷已知集合，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 ‎⑴D；⑵A；⑶B；⑷C．‎ 但我们会在下一讲安排一元二次不等式解法的初高衔接内容，这里不希望涉及到太多的解一元二次方程的内容，但为了完整，我们将2012年北京高考题放在下面：‎ ‎⑸（2012北京理1）已知集合，，‎ 则（D）‎ A． B． C． D．‎ 【例1】 ‎⑴集合，，若，‎ 求；‎ ‎⑵集合，且，求实数的值．‎ 【解析】 ‎⑴ ；‎ ‎⑵实数的值为．‎ ‎【备选】若非空集合，，则使得成立的所有的集合是（ ）‎ A． B． C． D．空集 【解析】 B；‎ ‎ ‎ 这里补充一个初高衔接的内容：因式分解 因式分解是一种研究问题的手段，把一个多项式化成几个整式的积的形式，如将，这与代数的核心目的是一样的，代数的核心目的是降次或消元，因式分解的主要目的是降次．‎ ‎<教师备案>初中学过完全平方公式；平方差公式：．这些学生比较熟悉，我们不再安排例题．对二次多项式，另一种常用的因式分解方式是十字相乘，这是这里练习的重点．‎ ‎【例题】将下列关于的代数式进行因式分解 ‎⑴；⑵；⑶；⑷．‎ 【解析】 ‎⑴；⑵；⑶；⑷．‎ ‎【练习】将下列关于的代数式进行因式分解：⑴；⑵（）．‎ 【解析】 ‎⑴；⑵．‎ 对于更高次的多项式，高中需要掌握的因式分解方式是通过猜根进行分解，通常猜根．猜根后可以通过多式的除法（又称长除法）得到分解后的式子．‎ 更多的高次多项式的因式分解技巧，如分组分解、添加项等不作一般要求．‎ ‎【例题】将下列代数式因式分解 ‎⑴；⑵．‎ 【解析】 ‎⑴ 当时，代数式为，故代数式有因子，‎ ‎；‎ ‎⑵ 当时，代数式为，故代数式有因子，‎ ‎．‎ ‎【练习】将因式分解．‎ 【解析】 时，代数式为，故代数式有因子，‎ ‎．‎ ‎【拓展】将因式分解．‎ 【解析】 是因子，‎ 原式 ‎．‎ ‎ ‎ 已知集合各元素之和等于3，则实数的值为 ．‎ 【解析】 或 ‎【点评】忽略集合的互异性，由直接得到，‎ ‎∴．漏解，此时．‎ 实战演练 ‎ ‎ ‎【演练1】用最恰当的符号（）填空 ‎⑴； ⑵___； ⑶___‎ ‎⑷____； ⑸___； ‎ ‎⑹______‎ ‎⑺____．‎ 【解析】 ‎⑴；⑵ ； ⑶； ⑷； ⑸ ；⑹；⑺．‎ ‎【演练2】已知集合，用列举法表示下面集合 ‎⑴；⑵．‎ 【解析】 ‎⑴；‎ ‎⑵．‎ ‎【演练3】已知，，则集合与的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 A；‎ ‎【演练4】⑴ 已知，，则 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑵ 已知，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎⑶已知，，则等 于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 ‎⑴ A；‎ ‎⑵D ‎⑶ A．‎ ‎【演练5】设集合，，求．‎ 【解析】 ‎①当时，，；‎ ‎②当时，，；‎ ‎③当时，，；‎ ‎④当且且时，，．‎ 概念要点回顾 ‎1．集合中的元素具有______性、______性、______性； ‎ ‎2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．‎ ‎3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．‎ ‎4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．‎ ‎5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．‎ ‎6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:‎ 且___；或___,，且______．‎ 答案：‎ ‎1．确定性、互异性、无序性．2．；或；；；；3．列举法、描述法、图示法、区间表示法．4．；；5．任何集合、任何非空集合；6．交、并、补，．‎