【数学】2020届一轮复习人教A版四种命题、充要条件学案 5页

数学高考总复习：四种命题、充要条件 ‎【考纲要求】‎ ‎1、理解命题的概念.‎ ‎2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。‎ ‎3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎【知识网络】‎ 四种命题、充要条件 充要条件 四种命题及其关系 互为逆否关系的命题等价 充分、必要、充要、既不充分也不必要 ‎【考点梳理】‎ 一、命题：可以判断真假的语句。‎ 二、四种命题 原命题：若则； 原命题的逆命题：若则；‎ 原命题的否命题：若，则； 原命题的逆否命题：若，则 三、四种命题的相互关系及其等价性 ‎1、四种命题的相互关系 ‎ ‎ ‎2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。‎ 四、充分条件、必要条件和充要条件 ‎1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。‎ 如：命题是命题成立的××条件，则命题是条件，命题是结论。‎ 又如：命题成立的××条件是命题，则命题是条件，命题是结论。‎ 又如：记条件对应的集合分别为A,B则,则是的充分不必要条件；,则是的必要不充分条件。‎ ‎2、“”读作“推出”、“等价于”。，即成立，则一定成立。‎ ‎3、充要条件 已知命题是条件，命题是结论 ‎（1）充分条件：若，则是充分条件.‎ 所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。‎ 如：是的充分条件。‎ ‎（2）必要条件：若，则是必要条件.‎ 所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。‎ 如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足才是偶函数，满足是奇函数。‎ ‎（3）充要条件：若，且，则是充要条件.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：四种命题及其关系 例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。‎ 解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；‎ ‎ 否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；‎ ‎ 逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。‎ 点评：‎ ‎1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；‎ ‎2. 互为逆否命题的两个命题同真假；‎ ‎3. 注意区分命题的否定和否命题. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】写出下列命题的否定，并判断真假.‎ ‎(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；‎ ‎(2)∀x∈Q， x2＋x＋1是有理数；‎ ‎(3)∃α、β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；‎ ‎(4)∃x，y∈Z，使3x－2y≠10.‎ ‎【解析】(1)的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”.假命题.‎ ‎(2)的否定是“∃x∈Q，x2＋x＋1不是有理数”.假命题.‎ ‎(3)的否定是“∀α，β∈R，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ”.假命题.‎ ‎(4)的否定是“∀x，y∈Z，使3x－2y＝10”.假命题.‎ 类型二：充要条件的判断 ‎2.(2018 湖北高考)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；‎ ‎，则（ ）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 ‎ D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【答案】A 解析：‎ 试题分析：对命题p：a1，a2，…，an成等比数列，则公比且an≠0；‎ 对命题q，①当an=0时，成立；‎ ‎②当an≠0时，根据柯西不等式，等式成立，‎ 则，所以a1，a2，…，an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件. 故选A 点评：‎ ‎1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；‎ ‎2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】（2018 天津高考）设 ，则“ ”是“ ”的 ‎ （A）充分而不必要条件 ‎ （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 解析：的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件。‎ 故选：A.‎ 例3.(2017丰台二模)已知直线m,n和平面，若⊥，则“⊂”是“⊥”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若⊥，则垂直于内所有直线，所以若⊂，则⊥；‎ 反过来，若n垂直于内的一条直线，n不一定垂直于，故不成立。‎ 所以“⊂”是“⊥”的充分而不必要条件。‎ 故答案为：A ‎【变式】(2017石景山文一模)设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的(　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】因为数列是首项大于零的等比数列是大前提，数列是递增数列所以，充分必要条件 故答案为：C 类型三：求参数的取值范围 例4.已知m∈R，设P：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－‎ x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.‎ 解析：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，‎ ‎∴|x1－x2|＝＝. ‎ 当a∈[1,2]时，的最小值为3.‎ 要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.‎ 由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式 Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，‎ 得m<－1或m>4.‎ 综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即 解得实数m的取值范围是(4,8].‎ 点评：‎ 从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设命题；命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】由题意知：命题：若是的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：是的充分不必要条件.‎ ‎；‎ 即，所以 ‎∵是的充分不必要条件，即，‎ 如图：‎ ‎，‎ 则，∴. ‎ 即的取值范围是.‎