2018届二轮复习指数与指数函数学案（全国通用） 14页

‎ 2.5　指数与指数函数 考情考向分析　直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为填空题，中档难度．‎ ‎1．分数指数幂 ‎(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.‎ ‎2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，y>1；‎ 当x<0时，00时，01‎ ‎(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 ‎(7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识拓展 ‎1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.‎ ‎2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．‎ ‎3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1 研究．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)‎ ‎(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)‎ ‎(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　×　)‎ ‎(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P62练习T5]化简(x＜0，y＜0)＝________.‎ 答案　－2x2y ‎3．[P71习题T11]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.‎ 答案　 解析　由题意知＝a2，所以a＝，‎ 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.‎ ‎4．[P70练习T4]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．‎ 答案　c>0，‎ 即a>b>1，‎ 又c＝<0＝1，‎ ‎∴c0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．‎ 答案　或 解析　当01时，a2－a＝，‎ ‎∴a＝或a＝0(舍去)．‎ 综上所述，a＝或.‎ 题型一　指数幂的运算 ‎1．化简· (a>0，b>0)＝________.‎ 答案　 解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝.‎ ‎2．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________.‎ 答案　－ 解析　原式＝－2＋500－＋1，‎ ‎＝＋10－10－20＋1＝－.‎ ‎3．化简：÷×(a>0)＝________.‎ 答案　a2‎ 解析　原式＝‎ ‎＝＝a2.‎ 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：‎ ‎①必须同底数幂相乘，指数才能相加；‎ ‎②运算的先后顺序．‎ ‎(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．‎ ‎(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．‎ 题型二　指数函数的图象及应用 典例 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．‎ 答案　①‎ 解析　f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．(填序号)‎ ‎①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；‎ ‎③2－a<2c；④2a＋2c<2.‎ 答案　④‎ 解析　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，‎ ‎∵a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知，‎ ‎0＜f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.‎ ‎∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，‎ ‎∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.‎ ‎∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，‎ 又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，‎ ‎∴2a＋2c＜2.‎ 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．‎ ‎(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．‎ 跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：‎ ‎①0－3.又a<0，∴－30)，‎ 则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，‎ 令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，‎ 所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．‎ 命题点3　指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值；‎ ‎(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．‎ 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，‎ 令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.‎ 则u＝－(x＋2)2＋7在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，‎ 因此必有解得a＝1，‎ 即当f(x)有最大值3时，a的值为1.‎ ‎(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.‎ 思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．‎ ‎(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．‎ 跟踪训练 (1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(2)(2017·无锡一中月考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．‎ 答案　(1)[－3,0)　(2)e 解析　(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，‎ 当a≤x＜0时，f(x)∈，‎ ‎∴[－8,1]，‎ 即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0，‎ ‎∴实数a的取值范围是[－3,0)．‎ ‎(2)f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝ 当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；‎ 当x<1时，f(x)>e.‎ 故f(x)的最小值为f(1)＝e.‎ 指数函数底数的讨论 典例 已知函数(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间上有最大值3，最小值， 试求a，b的值．‎ 错解展示：‎ 现场纠错 解　令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，‎ ‎∵x∈，∴t∈[－1,0]．‎ ‎①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，‎ ‎∴at∈，b＋∈，‎ 依题意得解得 ‎②若01，即a2>4，得a<－2或a>2.‎ ‎2．(2017·苏州十中月考)函数f(x)＝的值域为________．‎ 答案　(－∞，1]‎ 解析　当x≤0时，f(x)＝2x∈(0,1]；‎ 当x>0时，f(x)＝－x2＋1∈(－∞，1)，‎ 因此f(x)的值域为(0,1]∪(－∞，1)＝(－∞，1]．‎ ‎3．(2017·常州中 质检)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝________.‎ 答案　1－ 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的周期为2，‎ ‎∴f＝f＝f＝f＝－f＝1－.‎ ‎4．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．‎ 答案　或3‎ 解析　令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1‎ ‎＝(t＋1)2－2.‎ 当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，‎ 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，‎ 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．‎ 当00，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．‎ 答案　[2，＋∞)‎ 解析　由f(1)＝得a2＝，‎ 所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.‎ 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．‎ ‎7．若“m＞a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．‎ 答案　－1‎ 解析　f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－.∵“m＞a”是“m≥－”的必要不充分条件，∴a＜－，则实数a能取的最大整数为－1.‎ ‎8．不等式>x＋4的解集为________．‎ 答案　(－1,4)‎ 解析　原不等式等价为>2－x－4，‎ 又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，‎ 即x2－3x－4<0，∴－10且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　(数形结合法)‎ 当01时，解得01矛盾．‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(－1,2)‎ 解析　原不等式变形为m2－m0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，‎ 所以 所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.‎ 所以f(x)＝3·2x.‎ ‎(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．‎ 又因为y＝x与y＝x均为减函数，所以y＝x＋x也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.‎ ‎13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．‎ 答案　 解析　设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0，不符合，舍去；‎ ‎②当<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，‎ 令－λ2＋3＝1，得λ＝；‎ ‎③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，‎ 令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合，舍去．‎ 综上所述，实数λ的值为.‎