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- 2021-06-16 发布
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12.2 参数方程
[知识梳理]
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.
2.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y-y0=tanα(x-x0)
(t为参数)
圆
x2+y2=r2
(θ为参数)
椭圆
+=1(a>b>0)
(φ为参数)
提醒:直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.( )
(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量.( )
(3)方程表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(选修A4-4P39T1)直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 直线的普通方程为x-2y+3=0.
圆的圆心为(0,0),半径r=3.
∴圆心到直线的距离d==.
∴弦长为2=.故选B.
(2)(选修A4-4P24例2)已知点(x,y)满足曲线方程(θ为参数),则的最小值是( )
A. B. C. D.1
答案 D
解析 曲线方程(θ为参数)化为普通方程得(x-4)2+(y-6)2=2,
∴曲线是以C(4,6)为圆心,以为半径的圆,
∴是原点和圆上的点的连线的斜率,
如图,当原点和圆上的点的连线是切线OA时,取最小值,设过原点的切线方程为y=kx,
则圆心C(4,6)到切线y=kx的距离:
d==,即7k2-24k+17=0,
解得k=1或k=,
∴的最小值是1.故选D.
3.小题热身
(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆
C截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
答案 D
解析 由消去t,得x-y-4=0,
由ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ,∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2.
∴点C到直线l的距离d==,
∴所求弦长=2=2.故选D.
(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=________.
答案 2
解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4.
由得x2=,即x=±,
则|AB|=|xA-xB|=×=2.
题型1 参数方程与普通方程的互化
(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
(1)用公式法,代入消参法;(2)过P作PH⊥l,垂足为H,当|PH|最长时,|PA|取最大值.
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点
P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=|4cosθ+3sinθ-6|,
则|PA|=
=|5sin(θ+α)-6|,
其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
方法技巧
将参数方程化为普通方程的方法
1.
将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等.
2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响,一定要保持同解变形.
冲关针对训练
已知直线l的方程为y=x+4,圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线l与圆C的交点的极坐标;
(2)若P为圆C上的动点,求点P到直线l的距离d的最大值.
解 (1)由题知直线l:y=x+4,圆C:x2+(y-2)2=4,
联立
解得或
其对应的极坐标分别为,.
(2)解法一:设P(2cosθ,2+2sinθ),
则d==,
当cos=1时,d取得最大值2+.
解法二:圆心C(0,2)到直线l的距离为=,圆的半径为2,所以点P到直线l的距离d的最大值为2+.
题型2 参数方程的应用
(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
(1)方程组法;(2)代入点到直线的距离公式,采用分类讨论思想求解.
解 (1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.
当a≥-4时,d的最大值为.
由题设得=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.
由题设得=,
所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
方法技巧
直线的参数方程在交点问题中的应用
1.若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2
,则||||=|t1t2|,||=|t2-t1|=.
2.若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,则t3=.
3.若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.
提醒:对于形如(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
冲关针对训练
(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρ·sin2θ=2cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.
解 (1)由ρ·sin2θ=2cosθ,得
(ρsinθ)2=2ρcosθ,即y2=2x.
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得
t2sin2α-2tcosα-1=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则
t1+t2=,t1t2=-,
∴|AB|=|t1-t2|=
==,
当α=时,|AB|的最小值为2.
1.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,故C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.
2.(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=5,射线OM:θ=与圆C
的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解 (1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,
得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.
设Q(ρ2,θ2),
则由
解得ρ2=5,θ2=.
所以|PQ|=3.
[基础送分 提速狂刷练]
1.(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
解 (1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,
联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,
则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,
令t=1+sin2α,
则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,
∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).
2.(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P的直角坐标为P(2,1),直线l与曲线C相交于A,B两点,并且|PA|·|PB|=,求tanα的值.
解 (1)将方程ρsin2θ=4cosθ两边同乘以ρ,得
ρ2sin2θ=4ρcosθ,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得y2=4x.
经检验,极点的直角坐标(0,0)也满足此式.
所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)将代入y2=4x,
得sin2α·t2+(2sinα-4cosα)t-7=0,
因为P(2,1)在直线l上,
所以|t1t2|==,所以sin2α=,α=或α=,即tanα=或tanα=-.
3.(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C1:
(t为参数),C2:(θ为参数).
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
解 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,
C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cosθ,3sinθ),
故M,
又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离
d=|4cosθ-3sinθ-13|=|3sinθ-4cosθ+13|
=|5sin(θ-φ)+13|,
所以d的最小值为.
4.(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程是ρ=asinθ,直线l的参数方程是(t为参数).
(1)若a=2,直线l与x轴的交点是M,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;
(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,求a的值.
解 (1)当a=2时,圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1.
∴圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1.
令y=t=0得t=0,把t=0代入x=-t+2得x=2.∴M(2,0).
∴|MC|==.
∴|MN|的最大值为|MC|+r=+1.
(2)由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ,∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay,即x2+2=.
∴圆C的圆心为C,半径为,
直线l的普通方程为4x+3y-8=0.
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半.
∴=,解得a=32或a=.
5.(2017·锦州二模)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
解 (1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:
ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,
∴(x-2)2+y2=4.
(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:
(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,
化简得t2-2tcosα-3=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则
∴|AB|=|t1-t2|==,
∵|AB|=,
∴ =.
∴cosα=±.
∵α∈[0,π),
∴α=或α=.
∴直线的倾斜角α=或α=.
6.(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
解 (1)由消去参数α得+y2=1,
即C的普通方程为+y2=1.
由ρsin=,得ρsinθ-ρcosθ=2,(*)
将代入(*),化简得y=x+2,
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1),知点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),
代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,
Δ=(18)2-4×5×27=108>0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-<0,t1t2=>0,
所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.