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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版12-2 参数方程学案

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‎12.2 参数方程 ‎[知识梳理]‎ ‎1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.‎ ‎2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y-y0=tanα(x-x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2+y2=r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 +=1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 提醒:直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1.概念思辨 ‎(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(  )‎ ‎(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量.(  )‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.(  )‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为.(  )‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.教材衍化 ‎(1)(选修A4-4P39T1)直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 直线的普通方程为x-2y+3=0.‎ 圆的圆心为(0,0),半径r=3.‎ ‎∴圆心到直线的距离d==.‎ ‎∴弦长为2=.故选B.‎ ‎(2)(选修A4-4P24例2)已知点(x,y)满足曲线方程(θ为参数),则的最小值是(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 D 解析 曲线方程(θ为参数)化为普通方程得(x-4)2+(y-6)2=2,‎ ‎∴曲线是以C(4,6)为圆心,以为半径的圆,‎ ‎∴是原点和圆上的点的连线的斜率,‎ 如图,当原点和圆上的点的连线是切线OA时,取最小值,设过原点的切线方程为y=kx,‎ 则圆心C(4,6)到切线y=kx的距离:‎ d==,即7k2-24k+17=0,‎ 解得k=1或k=,‎ ‎∴的最小值是1.故选D.‎ ‎3.小题热身 ‎(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆 C截得的弦长为(  )‎ A. B.‎2 C. D.2 答案 D 解析 由消去t,得x-y-4=0,‎ 由ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ,∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2.‎ ‎∴点C到直线l的距离d==,‎ ‎∴所求弦长=2=2.故选D.‎ ‎(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=________.‎ 答案 2 解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4.‎ 由得x2=,即x=±,‎ 则|AB|=|xA-xB|=×=2.‎ 题型1 参数方程与普通方程的互化   (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎(1)用公式法,代入消参法;(2)过P作PH⊥l,垂足为H,当|PH|最长时,|PA|取最大值.‎ 解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点 P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为 d=|4cosθ+3sinθ-6|,‎ 则|PA|= ‎=|5sin(θ+α)-6|,‎ 其中α为锐角,且tanα=.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ 方法技巧 将参数方程化为普通方程的方法 ‎1.‎ 将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等.‎ ‎2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响,一定要保持同解变形.‎ 冲关针对训练 已知直线l的方程为y=x+4,圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线l与圆C的交点的极坐标;‎ ‎(2)若P为圆C上的动点,求点P到直线l的距离d的最大值.‎ 解 (1)由题知直线l:y=x+4,圆C:x2+(y-2)2=4,‎ 联立 解得或 其对应的极坐标分别为,.‎ ‎(2)解法一:设P(2cosθ,2+2sinθ),‎ 则d==,‎ 当cos=1时,d取得最大值2+.‎ 解法二:圆心C(0,2)到直线l的距离为=,圆的半径为2,所以点P到直线l的距离d的最大值为2+.‎ 题型2 参数方程的应用   (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ ‎(1)方程组法;(2)代入点到直线的距离公式,采用分类讨论思想求解.‎ 解 (1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为.‎ 由题设得=,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.‎ 由题设得=,‎ 所以a=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ 方法技巧 直线的参数方程在交点问题中的应用 ‎1.若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2‎ ‎,则||||=|t1t2|,||=|t2-t1|=.‎ ‎2.若线段M‎1M2‎的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,则t3=.‎ ‎3.若直线l上的线段M‎1M2‎的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.‎ 提醒:对于形如(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.‎ 冲关针对训练 ‎(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρ·sin2θ=2cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.‎ 解 (1)由ρ·sin2θ=2cosθ,得 ‎(ρsinθ)2=2ρcosθ,即y2=2x.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得 t2sin2α-2tcosα-1=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则 t1+t2=,t1t2=-,‎ ‎∴|AB|=|t1-t2|= ‎==,‎ 当α=时,|AB|的最小值为2.‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,故C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,‎ 所以a=1.‎ ‎2.(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的普通方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=5,射线OM:θ=与圆C 的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 解 (1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.‎ ‎(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,‎ 得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.‎ 设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.‎ 设Q(ρ2,θ2),‎ 则由 解得ρ2=5,θ2=.‎ 所以|PQ|=3.‎ ‎[基础送分 提速狂刷练]‎ ‎1.(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.‎ 解 (1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,‎ 联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,‎ 则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,‎ 令t=1+sin2α,‎ 则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,‎ ‎∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).‎ ‎2.(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P的直角坐标为P(2,1),直线l与曲线C相交于A,B两点,并且|PA|·|PB|=,求tanα的值.‎ 解 (1)将方程ρsin2θ=4cosθ两边同乘以ρ,得 ρ2sin2θ=4ρcosθ,‎ 由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得y2=4x.‎ 经检验,极点的直角坐标(0,0)也满足此式.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.‎ ‎(2)将代入y2=4x,‎ 得sin2α·t2+(2sinα-4cosα)t-7=0,‎ 因为P(2,1)在直线l上,‎ 所以|t1t2|==,所以sin2α=,α=或α=,即tanα=或tanα=-.‎ ‎3.(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C1:‎ (t为参数),C2:(θ为参数).‎ ‎(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.‎ 解 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,‎ C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.‎ ‎(2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cosθ,3sinθ),‎ 故M,‎ 又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离 d=|4cosθ-3sinθ-13|=|3sinθ-4cosθ+13|‎ ‎=|5sin(θ-φ)+13|,‎ 所以d的最小值为.‎ ‎4.(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程是ρ=asinθ,直线l的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)若a=2,直线l与x轴的交点是M,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;‎ ‎(2)直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,求a的值.‎ 解 (1)当a=2时,圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1.‎ ‎∴圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1.‎ 令y=t=0得t=0,把t=0代入x=-t+2得x=2.∴M(2,0).‎ ‎∴|MC|==.‎ ‎∴|MN|的最大值为|MC|+r=+1.‎ ‎(2)由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ,∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay,即x2+2=.‎ ‎∴圆C的圆心为C,半径为,‎ 直线l的普通方程为4x+3y-8=0.‎ ‎∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍,‎ ‎∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半.‎ ‎∴=,解得a=32或a=.‎ ‎5.(2017·锦州二模)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.‎ 解 (1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:‎ ρ2=4ρcosθ,‎ ‎∴x2+y2=4x,‎ ‎∴(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:‎ ‎(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,‎ 化简得t2-2tcosα-3=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则 ‎∴|AB|=|t1-t2|==,‎ ‎∵|AB|=,‎ ‎∴ =.‎ ‎∴cosα=±.‎ ‎∵α∈[0,π),‎ ‎∴α=或α=.‎ ‎∴直线的倾斜角α=或α=.‎ ‎6.(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin=.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角;‎ ‎(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.‎ 解 (1)由消去参数α得+y2=1,‎ 即C的普通方程为+y2=1.‎ 由ρsin=,得ρsinθ-ρcosθ=2,(*)‎ 将代入(*),化简得y=x+2,‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1),知点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),‎ 代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,‎ Δ=(18)2-4×5×27=108>0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-<0,t1t2=>0,‎ 所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.‎

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