【数学】2018届一轮复习人教A版（文）三角函数、解三角形教案 116页

第三章三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念的推广 (1)定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形． (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α ＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝l r (l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2 lr＝1 2 |α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作 sin α x叫做α的余弦，记作 cos α y x 叫做α的正切，记作 tan α 各象 限符 号 一 ＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四 － ＋ － 三角函 数线 有向线段MP为正弦 线 有向线段 OM为余弦 线 有向线段 AT为正切 线 [小题体验] 1．若θ满足 sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D 2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则 cos α＝( ) A．4 5 B．－ 4 5 C．3 5 D．－ 3 5 答案 B 3．已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧 度数为________． 答案 1．2 1．注意易混概念的区别象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角．第一类是 象限角，第二、第三类是区间角． 2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度 必须一致，不可混用． 3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x ， 但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin α＝y r ，cos α ＝ x r ，tan α＝y x ． [小题纠偏] 1．若角α终边上有一点 P(x,5)，且 cos α＝ x 13 (x≠0)，则 sin α＝( ) A． 5 13 B．12 13 C． 5 12 D．－ 5 13 答案 A 2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 答案四 一 考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．给出下列四个命题 ①－ 3π 4 是第二象限角；② 4π 3 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象 限角．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析选 C － 3π 4 是第三象限角，故①错误； 4π 3 ＝π＋π 3 ，从而 4π 3 是第三象限角，故②正 确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A．sinα 2 >0 B．cosα 2 >0 C．tanα 2 >0 D．sinα 2 cosα 2 <0 解析选 C ∵ π 2 ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴ π 4 ＋kπ<α 2 <π 2 ＋kπ． 当 k为偶数时， α 2 是第一象限角； 当 k为奇数时， α 2 是第三象限角，即 tan α 2 >0一定成立，故选 C． 3．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________． 解析所有与 45°有相同终边的角可表示为 β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－ 765 360 ≤k<－ 45 360 ， 从而 k＝－2或 k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°． 答案－675°或－315° 4．已知角β的终边在直线 3x－y＝0上，则角β的集合 S＝____________________． 解析 如图，直线 3x－y＝0过原点，倾斜角为 60°， 在 0°～360°范围内， 终边落在射线 OA上的角是 60°， 终边落在射线 OB上的角是 240°， 所以以射线 OA，OB为终边的角的集合为 S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以角β的集合 S＝S1∪S2 ＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}． 答案{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [谨记通法] 1．终边在某直线上角的求法 4步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合． 2．确定 kα，α k (k∈N*)的终边位置 3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出 kα或α k 的范围； (3)然后根据 k的可能取值讨论确定 kα或α k 的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为( ) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 解析选 B ∵72°＝2π 5 ， ∴S 扇形＝ 1 2 |α|r2＝1 2 × 2π 5 ×202＝80π(cm2)． 2．已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1或 4 D．2或 4 解析选 C 设此扇形的半径为 r，弧长为 l， 则 2r＋l＝6， 1 2 rl＝2， 解得 r＝1， l＝4 或 r＝2， l＝2. 从而α＝l r ＝ 4 1 ＝4或α＝l r ＝ 2 2 ＝1． 3．扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100°，则该扇形的面积为________cm2． 解析由弧长公式 l＝|α|r，得 r＝ 20 100π 180 ＝ 36 π ，∴S 扇形＝ 1 2 lr＝1 2 ×20×36 π ＝ 360 π ． 答案 360 π [谨记通法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝1 2 lr＝1 2 |α|r2(其中 l是扇形的弧 长，α是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题 组练透”第 3题．考点三 三角函数的定义题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填 空题的形式出现． 常见的命题角度有 (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用． [题点全练] 角度一三角函数定义的应用 1．已知角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ，则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝________． 解析∵角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ， ∴cos α＝ －x x2＋36 ＝－ 5 13 ，即 x＝5 2 或 x＝－ 5 2 (舍去)， ∴P － 5 2 ，－6 ， ∴sin α＝－ 12 13 ，∴tan α＝sin α cos α ＝ 12 5 ， 则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝－ 13 12 ＋ 5 12 ＝－ 2 3 ． 答案－ 2 3 角度二三角函数值的符号判定 2．若 sin αtan α<0，且 cos α tan α <0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析选 C 由 sin αtan α<0可知 sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由 cos α tan α <0可知 cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． 角度三三角函数线的应用 3．函数 y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________． 解析∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<3 4 ， ∴－ 3 2 0时，cos θ＝ 5 5 ；当 t<0时，cos θ＝－ 5 5 ． 因此 cos 2θ＝2cos2θ－1＝2 5 －1＝－ 3 5 ． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析选 B 因为点 P在第三象限，所以 tan α<0， cos α<0， 所以α的终边在第二象限，故选 B． 2．设角α终边上一点 P(－4a,3a)(a<0)，则 sin α的值为( ) A．3 5 B．－ 3 5 C．4 5 D．－ 4 5 解析选 B 设点 P与原点间的距离为 r， ∵P(－4a,3a)，a<0， ∴r＝ －4a2＋3a2＝|5a|＝－5a． ∴sin α＝3a r ＝－ 3 5 ． 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为 ( ) A．π 3 B．π 2 C． 3 D．2 解析选 C 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r＝αr， 所以α＝ 3． 4．在直角坐标系中，O是原点，A( 3，1)，将点 A绕 O逆时针旋转 90°到 B点，则 B 点坐标为__________． 解析依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°， 设点 B坐标为(x，y)，所以 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)． 答案(－1， 3) 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为 x轴的非负半轴，若 P(4，y)是角θ终边上一点， 且 sin θ＝－ 2 5 5 ，则 y＝________． 解析因为 sin θ＝ y 42＋y2 ＝－ 2 5 5 ， 所以 y＜0，且 y2＝64，所以 y＝－8． 答案－8 二保高考，全练题型做到高考达标 1．将表的分针拨快 10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A．π 3 B．π 6 C．－ π 3 D．－ π 6 解析选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故 A、B不正确，又因为拨 快 10分钟，故应转过的角为圆周的 1 6 ，即为－ 1 6 ×2π＝－ π 3 ． 2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝1 5 x，则 tan α＝( ) A．4 3 B．3 4 C．－ 3 4 D．－ 4 3 解析选 D 因为α是第二象限角，所以 cos α＝1 5 x＜0， 即 x＜0．又 cos α＝1 5 x＝ x x2＋16 ． 解得 x＝－3，所以 tan α＝4 x ＝－ 4 3 ． 3．已知角α终边上一点 P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则 sin α等于( ) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 解析选 D 因为 r＝ 2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得 sin α＝y r ＝ －cos 2． 4．设θ是第三象限角，且|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，则 θ 2 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析选 B 由θ是第三象限角，知 θ 2 为第二或第四象限角，∵|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，∴cos θ 2 <0，综上知 θ 2 为第二象限角． 5．集合 α|kπ＋ π 4 ≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解析选 C 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π 4 ≤α≤2nπ＋π 2 ，此时α表示的范围与 π 4 ≤α≤π 2 表示 的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π 4 ≤α≤2nπ＋π＋π 2 ，此时α表示的范围与π＋ π 4 ≤α≤π＋π 2 表示的范围一样． 6．与 2 017°的终边相同，且在 0°～360°内的角是________． 解析∵2 017°＝217°＋5×360°， ∴在 0°～360°内终边与 2 017°的终边相同的角是 217°． 答案 217° 7．已知α是第二象限的角，则 180°－α是第________象限的角． 解析由α是第二象限的角可得 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则 180°－(180°＋ k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)， 所以 180°－α是第一象限的角． 答案一 8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的 2 3 ，面积等于圆面积的 5 27 ， 则扇形的弧长与圆周长之比为________． 解析设圆的半径为 r，则扇形的半径为 2r 3 ，记扇形的圆心角为α， 则 1 2 α 2r 3 2 πr2 ＝ 5 27 ， ∴α＝5π 6 ． ∴扇形的弧长与圆周长之比为 l c ＝ 5π 6 ·2 3 r 2πr ＝ 5 18 ． 答案 5 18 9．在(0,2π)内，使 sin x>cos x成立的 x的取值范围为____________________． 解析如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin x＝cos x的 x值，sinπ 4 ＝cosπ 4 ＝ 2 2 ，sin5π 4 ＝cos5π 4 ＝－ 2 2 ．根据三角函数线的变化规律标出满足题中 条件的角 x∈ π 4 ， 5π 4 ． 答案 π 4 ， 5π 4 10．已知扇形 AOB的周长为 8． (1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB． 解设扇形 AOB的半径为 r，弧长为 l，圆心角为α， (1)由题意可得 2r＋l＝8， 1 2 lr＝3， 解得 r＝3， l＝2 或 r＝1， l＝6， ∴α＝l r ＝ 2 3 或α＝l r ＝6． (2)法一∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝ 1 2 lr＝1 4 l·2r≤1 4 l＋2r 2 2＝ 1 4 × 8 2 2＝4， 当且仅当 2r＝l，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值 4． ∴圆心角α＝2，弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1． 法二∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝ 1 2 lr＝1 2 r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当 r＝2，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值 4． ∴弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0 C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0 解析选 B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除 A、C、D． 2．已知角α＝2kπ－π 5 (k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则 y＝ sin θ |sin θ| ＋ cos θ |cos θ| ＋ tan θ |tan θ| 的 值为( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析选 B 由α＝2kπ－π 5 (k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与 角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0． 所以 y＝－1＋1－1＝－1． 3．已知 sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合； (2)求α 2 终边所在的象限； (3)试判断 tanα 2 sin α 2 cos α 2 的符号． 解(1)由 sin α＜0，知α在第三、四象限或 y轴的负半轴上； 由 tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合为 α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z ． (2)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 得 kπ＋π 2 ＜ α 2 ＜kπ＋3π 4 ，k∈Z， 故 α 2 终边在第二、四象限． (3)当α 2 在第二象限时，tan α 2 ＜0， sin α 2 ＞0, cos α 2 ＜0， 所以 tanα 2 sinα 2 cos α 2 取正号； 当 α 2 在第四象限时， tanα 2 ＜0， sinα 2 ＜0, cosα 2 ＞0， 所以 tanα 2 sinα 2 cos α 2 也取正号． 因此，tanα 2 sin α 2 cos α 2 取正号． 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_ 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin α cos α ． 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 组序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变，符号看象限 [小题体验] 1．已知 sin π 2 ＋α ＝ 3 5 ，α∈ 0，π 2 ，则 sin(π＋α)＝______． 答案－ 4 5 2．若 sin θcos θ＝1 2 ，则 tan θ＋cos θ sin θ 的值为________． 答案 2 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数， 其步骤去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定． 2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏] 1．已知α是第二象限角，sin α＝ 5 13 ，则 cos α＝________． 答案－ 12 13 2．(1)sin － 31π 4 ＝________， (2)tan － 26π 3 ＝________． 答案(1) 2 2 (2) 3 考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．化简 sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析选 C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261° ＝－ sin(3×360°－ 9°)sin(90°＋9°)＋ sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝ sin 9°cos 9°－ sin 9°cos 9°＝0． 2．已知 A＝sinkπ＋α sin α ＋ coskπ＋α cos α (k∈Z)，则 A的值构成的集合是( ) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 解析选 C 当 k为偶数时，A＝sin α sin α ＋ cos α cos α ＝2； k为奇数时，A＝－sin α sin α － cos α cos α ＝－2． 3．已知 tan π 6 －α ＝ 3 3 ，则 tan 5π 6 ＋α ＝________． 解析 tan 5π 6 ＋α ＝tan π－π 6 ＋α ＝tan π－ π 6 －α ＝－tan π 6 －α ＝－ 3 3 ． 答案－ 3 3 4． (易错题 )设 f(α)＝ 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α sin α≠－ 1 2 ，则 f － 23π 6 ＝ ________． 解析∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α 1＋sin2α＋sin α－cos2α ＝ 2sin αcos α＋cos α 2sin2α＋sin α ＝ cos α1＋2sin α sin α1＋2sin α ＝ 1 tan α ， ∴f － 23π 6 ＝ 1 tan － 23π 6 ＝ 1 tan －4π＋π 6 ＝ 1 tanπ 6 ＝ 3． 答案 3 [谨记通法] 1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如 “题组练透”第 4题． 考点二 同角三角函数的基本关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1．已知 sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，则 sin2α－sin αcos α的值为( ) A．－ 1 5 B．－ 2 5 C．1 5 D．2 5 解析选 D 依题意得 tan α＋3 3－tan α ＝5， ∴tan α＝2． ∴sin2α－sin αcos α ＝ sin2α－sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ tan2α－tan α tan2α＋1 ＝ 22－2 22＋1 ＝ 2 5 ． 2．若α是三角形的内角，且 tan α＝－ 1 3 ，则 sin α＋cos α的值为________． 解析由 tan α＝－ 1 3 ，得 sin α＝－ 1 3 cos α， 将其代入 sin2α＋cos2α＝1， 得 10 9 cos2α＝1，∴cos2α＝ 9 10 ，易知 cos α<0， ∴cos α＝－ 3 10 10 ，sin α＝ 10 10 ， 故 sin α＋cos α＝－ 10 5 ． 答案－ 10 5 [由题悟法] 同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦 互化 主要利用公式 tan θ＝sin θ cos θ 化成正 弦、余弦，或者利用公式 sin θ cos θ ＝tan θ 化成正切 表达式中含有 sin θ，cos θ与 tan θ “1”的 变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ tanπ 4 ＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化 和积 转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的 关系进行变形、转化 表达式中含有 sin θ±cos θ或 sin θcos θ [即时应用] 1．若 sin α＝－ 5 13 ，且α为第四象限角，则 tan α的值等于( ) A．12 5 B．－ 12 5 C． 5 12 D．－ 5 12 解析选 D 法一因为α为第四象限的角，故 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－ － 5 13 2＝ 12 13 ， 所以 tan α＝sin α cos α ＝ － 5 13 12 13 ＝－ 5 12 ． 法二因为α是第四象限角，且 sin α＝－ 5 13 ，所以可在α的终边上取一点 P(12，－5)，则 tan α＝y x ＝－ 5 12 ．故选 D． 2．已知 sin θ＋cos θ＝4 3 ，θ∈ 0，π 4 ，则 sin θ－cos θ的值为( ) A． 2 3 B．－ 2 3 C．1 3 D．－ 1 3 解析选 B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝16 9 ，所以 2sin θcos θ＝7 9 ，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝2 9 ． 又因为θ∈ 0，π 4 ，所以 sin θ0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏] 1．函数 y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在 － π 2 ， π 2 上是增函数，在 －π，－ π 2 和 π 2 ，π 上是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在 π 2 ，π 和 －π，－ π 2 上是增函数，在 － π 2 ， π 2 上是减函数 答案 D 2．函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 2 上的最小值为________． 解析由已知 x∈ 0，π 2 ，得 2x－π 4 ∈ － π 4 ， 3π 4 ， 所以 sin 2x－π 4 ∈ － 2 2 ，1 ，故函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 4 上的最小值为－ 2 2 ． 答案－ 2 2 考点一 三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．(易错题)函数 y＝ 1 tan x－1 的定义域为__________________． 解析要使函数有意义， 必须有 tan x－1≠0， x≠π 2 ＋kπ，k∈Z， 即 x≠π 4 ＋kπ，k∈Z， x≠π 2 ＋kπ，k∈Z. 故函数的定义域为 x|x≠ π 4 ＋kπ且 x≠π 2 ＋kπ，k∈Z ． 答案 x|x≠ π 4 ＋kπ且 x≠π 2 ＋kπ，k∈Z 2．函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为______________． 解析由 sin 2x>0， 9－x2≥0， 得 kπ0)的最小正周期为π，则函数 f(x)的图象( ) A．关于直线 x＝π 4 对称 B．关于直线 x＝π 8 对称 C．关于点 π 4 ，0 对称 D．关于点 π 8 ，0 对称 解析选 B ∵f(x)＝sin ωx＋π 4 的最小正周期为π， ∴ 2π ω ＝π，ω＝2， ∴f(x)＝sin 2x＋π 4 ．当 x＝π 4 时，2x＋π 4 ＝ 3π 4 ， ∴A、C错误；当 x＝π 8 时，2x＋π 4 ＝ π 2 ， ∴B正确，D错误． 3．若函数 f(x)＝sin 1 2 x＋θ － 3 cos 1 2 x＋θ |θ|<π 2 的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A．－ π 6 B．π 6 C．－ π 3 D．π 3 解析选 D ∵f(x)＝2sin 1 2 x＋θ－π 3 ，且 f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin θ－π 3 ＝ 0，即 sin θ－π 3 ＝0，∴θ－π 3 ＝kπ(k∈Z)，即θ＝π 3 ＋kπ(k∈Z)．又|θ|<π 2 ，∴θ＝π 3 ． 角度三三角函数的单调性 4．已知 f(x)＝ 2sin x＋π 4 ，x∈[0，π]，则 f(x)的单调递增区间为________． 解析由－ π 2 ＋2kπ≤x＋π 4 ≤ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得－ 3π 4 ＋2kπ≤x≤π 4 ＋2kπ，k∈Z． 又 x∈[0，π]，所以 f(x)的单调递增区间为 0，π 4 ． 答案 0，π 4 5．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间 0，π 3 上单调递增，在区间 π 3 ， π 2 上单调递减，则ω ＝________． 解析∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点， ∴当 0≤ωx≤π 2 ，即 0≤x≤ π 2ω 时，y＝sin ωx是增函数； 当 π 2 ≤ωx≤3π 2 ，即 π 2ω ≤x≤3π 2ω 时，y＝sin ωx是减函数． 由 f(x)＝sin ωx(ω>0)在 0，π 3 上单调递增， 在 π 3 ， π 2 上单调递减知， π 2ω ＝ π 3 ，∴ω＝3 2 ． 答案 3 2 [通法在握] 1．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0时，f(x)＝0． (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一 定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通 过检验 f(x0)的值进行判断． 2．求三角函数单调区间的 2种方法 (1)代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用 基本三角函数的单调性列不等式求解． (2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [演练冲关] 1．最小正周期为π且图象关于直线 x＝π 3 对称的函数是( ) A．y＝2sin 2x＋π 3 B．y＝2sin 2x－π 6 C．y＝2sin x 2 ＋ π 3 D．y＝2sin 2x－π 3 解析选 B 由函数的最小正周期为π，排除 C；由函数图象关于直线 x＝π 3 对称知，该直 线过函数图象的最高点或最低点，对于 B，因为 sin 2×π 3 － π 6 ＝sin π 2 ＝1，所以选 B． 2．函数 y＝cos π 4 －2x 的单调减区间为____________． 解析由 y＝cos π 4 －2x ＝cos 2x－π 4 得 2kπ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得 kπ＋π 8 ≤x≤kπ＋5π 8 (k∈Z)． 所以函数的单调减区间为 kπ＋π 8 ，kπ＋5π 8 (k∈Z)． 答案 kπ＋π 8 ，kπ＋5π 8 (k∈Z) 3．函数 y＝|tan x|在 － π 2 ， 3π 2 上的单调减区间为_______． 解析如图，观察图象可知，y＝|tan x|在 － π 2 ， 3π 2 上的单调减区间为 － π 2 ，0 和 π 2 ，π ． 答案 － π 2 ，0 和 π 2 ，π 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A．y＝sin xcos x B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 解析选 A y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为 π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函 数，故 B、C、D都不正确，选 A． 2．(2016·合肥质检)函数 y＝sin ωx＋π 6 在 x＝2 处取得最大值，则正数ω的最小值为 ( ) A．π 2 B．π 3 C．π 4 D．π 6 解析选 D 由题意得，2ω＋π 6 ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝π 6 ＋kπ(k∈Z)，∵ω>0，∴当 k ＝0时，ωmin＝ π 6 ，故选 D． 3．下列各点中，能作为函数 y＝tan x＋π 5 的一个对称中心的点是( ) A．(0,0) B． π 5 ，0 C．(π，0) D． 3π 10 ，0 解析选 D 由 x＋π 5 ＝ kπ 2 (k∈Z)，得 x＝kπ 2 － π 5 (k∈Z)，当 k＝1 时，x＝3π 10 ，所以函数 y ＝tan x＋π 5 的一个对称中心的点是 3π 10 ，0 ，故选 D． 4．(2017·湖南六校联考)函数 y＝3sin x＋ 3cos xx∈ 0，π 2 的单调递增区间是________． 解析化简可得 y＝2 3sin x＋π 6 ，由 2kπ－π 2 ≤x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)，得－ 2π 3 ＋2kπ≤x≤π 3 ＋2kπ(k∈Z)，又 x∈ 0，π 2 ，∴函数的单调递增区间是 0，π 3 ． 答案 0，π 3 5．函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为______，此时 x＝______． 解析函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π 4 ＝π＋2kπ，即 x＝3π 4 ＋2kπ(k ∈Z)． 答案 5 3π 4 ＋2kπ(k∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y＝|cos x|的一个单调增区间是( ) A． － π 2 ， π 2 B．[0，π] C． π，3π 2 D． 3π 2 ，2π 解析选 D 将 y＝cos x的图象位于 x轴下方的图象关于 x轴对称，x 轴上方(或 x轴上) 的图象不变，即得 y＝|cos x|的图象(如图)．故选 D． 2．设偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等 腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则 f 1 6 的值为( ) A．－ 3 4 B．－ 1 4 C．－ 1 2 D． 3 4 解析选 D 由题意知，点M到 x轴的距离是 1 2 ，根据题意可设 f(x)＝1 2 cos ωx，又由题图 知 1 2 ·2π ω ＝1，所以ω＝π，所以 f(x)＝1 2 cos πx，故 f 1 6 ＝ 1 2 cosπ 6 ＝ 3 4 ． 3．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意 x都有 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ，则 f π 6 的值为( ) A．2或 0 B．－2或 2 C．0 D．－2或 0 解析选 B 因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x都有 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ，所以该函数图 象关于直线 x＝π 6 对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选 B． 4．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 对称，那么|φ|的最小值为( ) A．π 6 B．π 4 C．π 3 D．π 2 解析选 A 由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos2π 3 ＋φ＋2π＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0， ∴ 2π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，∴φ＝kπ－π 6 ，k∈Z，取 k＝0， 得|φ|的最小值为 π 6 ． 5．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 在 π 2 ，π 上单调递减，则ω的取值范围是( ) A． 1 2 ， 5 4 B． 1 2 ， 3 4 C． 0，1 2 D．(0,2] 解析选 A 由 π 2 0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 ，且该函数 图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈ 0，π 2 ，则 x0＝________． 解析由题意得 T 2 ＝ π 2 ，T＝π，ω＝2．又 2x0＋ π 6 ＝kπ(k∈Z)，x0＝ kπ 2 － π 12 (k∈Z)，而 x0∈ 0，π 2 ，所以 x0＝ 5π 12 ． 答案 5π 12 9．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2． (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x∈ π 4 ， 3π 4 时，求函数 f(x)的最大值，最小值． 解(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin 2x＋π 4 ， 令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z． 故 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 ，k∈Z． (2)∵x∈ π 4 ， 3π 4 ，∴ 3π 4 ≤2x＋π 4 ≤ 7π 4 ， ∴－1≤sin 2x＋π 4 ≤ 2 2 ，∴－ 2≤f(x)≤1， ∴当 x∈ π 4 ， 3π 4 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 2． 10．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) 0<φ<2π 3 的最小正周期为π． (1)求当 f(x)为偶函数时φ的值； (2)若 f(x)的图象过点 π 6 ， 3 2 ，求 f(x)的单调递增区间． 解∵f(x)的最小正周期为π，则 T＝2π ω ＝π，∴ω＝2． ∴f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当 f(x)为偶函数时，φ＝π 2 ＋kπ，k∈Z， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π 3 ，∴φ＝π 2 ． (2)f(x)的图象过点 π 6 ， 3 2 时，sin 2×π 6 ＋φ ＝ 3 2 ， 即 sin π 3 ＋φ ＝ 3 2 ． 又∵0<φ<2π 3 ，∴ π 3 <π 3 ＋φ<π． ∴ π 3 ＋φ＝2π 3 ，φ＝π 3 ． ∴f(x)＝sin 2x＋π 3 ． 令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12 ，k∈Z． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12 ，k∈Z． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2017·衡水中学检测)已知 x0＝ π 3 是函数 f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则 f(x)的 一个单调递减区间是( ) A． π 6 ， 2π 3 B． π 3 ， 5π 6 C． π 2 ，π D． 2π 3 ，π 解析选 B ∵x0＝π 3 是函数 f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，∴sin 2×π 3 ＋φ ＝1，∴ 2×π 3 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，解得φ＝2kπ－π 6 ，k∈Z， 不妨取φ＝－ π 6 ，此时 f(x)＝sin 2x－π 6 ， 令 2kπ＋π 2 <2x－π 6 <2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 可得 kπ＋π 3 0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝2π ω f＝1 T ＝ ω 2π ωx＋φ φ 2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x － φ ω － φ ω ＋ π 2ω π－φ ω 3π 2ω － φ ω 2π－φ ω ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π y＝Asin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 3．由函数 y＝sin x的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 [小题体验] 1．(2016·浙江高考)函数 y＝sin x2的图象是( ) 答案 D 2．函数y＝2 3 sin 1 2 x－π 4 的振幅为__________，周期为________，初相为________． 答案 2 3 4π － π 4 3．用五点法作函数 y＝sin x－π 6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、 ______、______、______、______． 答案 π 6 ，0 2π 3 ，1 7π 6 ，0 5π 3 ，－1 13π 6 ，0 1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名 函数． 3．由 y＝Asin ωx的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为|φω|，而 不是|φ|． [小题纠偏] 1．把 y＝sin 1 2 x 的图象上点的横坐标变为原来的 2倍得到 y＝sin ωx 的图象，则ω的值 为________． 答案 1 4 2．要得到函数 y＝sin 2x的图象，只需把函数 y＝sin 2x＋π 3 的图象向右平移______个 单位长度． 答案 π 6 考点一 函数 y＝Asinωx＋φ的图象与变换重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π 2 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如下表 ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图象．若 y ＝g(x)图象的一个对称中心为 5π 12 ，0 ，求θ的最小值． (3)作出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解(1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－ π 6 ，数据补全如下表 ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13π 12 Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为 f(x)＝5sin 2x－π 6 ． (2)由(1)知 f(x)＝5sin 2x－π 6 ， 则 g(x)＝5sin 2x＋2θ－π 6 ． 因为函数 y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令 2x＋2θ－π 6 ＝kπ，k∈Z，解得 x＝kπ 2 ＋ π 12 －θ，k∈Z． 由于函数 y＝g(x)的图象关于点 5π 12 ，0 成中心对称， 所以令 kπ 2 ＋ π 12 －θ＝5π 12 ， 解得θ＝kπ 2 － π 3 ，k∈Z． 由θ>0可知，当 k＝1时，θ取得最小值 π 6 ． (3)由数据作出的图象如图所示 [由题悟法] 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法 五点法 设 z＝ωx＋φ，由 z取 0，π 2 ，π，3π 2 ，2π来求出相应的 x，通过列表，计算得出 五点坐标，描点后得出图象 图象变换法 由函数 y＝sin x的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途 径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” [提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对 x而言，即 x本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． [即时应用] 1．(2016·全国乙卷)将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象对应 的函数为( ) A．y＝2sin 2x＋π 4 B．y＝2sin 2x＋π 3 C．y＝2sin 2x－π 4 D．y＝2sin 2x－π 3 解析选 D 函数 y＝2sin 2x＋π 6 的周期为π，将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移 1 4 个 周期即 π 4 个单位长度，所得图象对应的函数为 y＝2sin 2 x－π 4 ＋ π 6 ＝2sin 2x－π 3 ，故选 D． 2．(2016·西安质检)将函数 f(x)＝sin x＋π 6 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到 原来的 2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( ) A．x＝－ π 12 B．x＝ π 12 C．x＝π 3 D．x＝2π 3 解析选 D 将函数 f(x)＝sin x＋π 6 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 y＝sin 1 2 x＋π 6 的图象，由 1 2 x＋π 6 ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z，得 x＝2π 3 ＋2kπ，k∈Z，∴ 当 k＝0时，函数图象的对称轴为 x＝2π 3 ，故选 D． 考点二 求函数 y＝Asinωx＋φ的解析式重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1．(2016·石家庄一模)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示， 则 f 11π 24 的值为( ) A．－ 6 2 B．－ 3 2 C．－ 2 2 D．－1 解析选 D 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4× 7π 12 － π 3 ＝π，则ω＝2π T ＝2．又 f 7π 12 ＝ 2sin 7π 6 ＋φ ＝－ 2，得φ＝π 3 ，则 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 ，f 11π 24 ＝ 2sin 11π 12 ＋ π 3 ＝ 2sin5π 4 ＝－1，故选 D． 2．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 π 2 ，直线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A．y＝4sin 4x＋π 6 B．y＝2sin 2x＋π 3 ＋2 C．y＝2sin 4x＋π 3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋π 6 ＋2 解析选 D 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为 4，最小值为 0，可知 b＝2，A＝2．由 函数的最小正周期为 π 2 ，可知 2π ω ＝ π 2 ，得ω＝4．由直线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，可知 4×π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，从而φ＝kπ－5π 6 ，k∈Z，故满足题意的是 y＝2sin 4x＋π 6 ＋2． [由题悟法] 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)求 A，b确定函数的最大值M和最小值 m，则 A＝M－m 2 ，b＝M＋m 2 ； (2)求ω确定函数的周期 T，则可得ω＝2π T ； (3)求φ常用的方法有 ①代入法把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b已知)或代入图象与直线 y＝b的交 点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下 第一点 图象上升时与 x轴的交点 ωx＋φ＝0 第二点 图象的“峰点” ωx＋φ＝π 2 第三点 图象下降时与 x轴的交点 ωx＋φ＝π 第四点 图象的“谷点” ωx＋φ＝3π 2 第五点 ωx＋φ＝2π [即时应用] 1．(2017·福州模拟)已知函数 f(x)＝Asin ωx－π 4 (A>0，ω>0)的部分图象如图所示，△ EFG是边长为 2的等边三角形，为了得到 g(x)＝Asin ωx的图象，只需将 f(x)的图象( ) A．向左平移 1 2 个长度单位 B．向右平移 1 2 个长度单位 C．向左平移 π 4 个长度单位 D．向右平移 π 4 个长度单位 解析选 A ∵△EFG是边长为 2的正三角形，∴三角形的高为 3，即 A＝ 3． 由题意可知函数的周期 T＝4，即 T＝2π ω ＝4，解得ω＝2π 4 ＝ π 2 ，则 f(x)＝ 3sin π 2 x－π 4 ， g(x)＝ 3sinπ 2 x， 由于 f(x)＝ 3sin π 2 x－π 4 ＝ 3sin π 2 x－1 2 ，故为了得到 g(x)＝ 3sinπ 2 x的图象，只需将 f(x)的图象向左平移 1 2 个长度单位．故选 A． 2．函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递 减区间是( ) A． 2kπ－7π 12 ，2kπ－ π 12 ，k∈Z B． 2kπ－ π 12 ，2kπ＋5π 12 ，k∈Z C． kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 ，k∈Z D． kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z 解析选 C 由题图知，周期 T＝4 3 5π 12 － － π 3 ＝π． ∴f(x)取得最小值－2 时，x＝kπ＋ － π 3 ＋ T 4 ＝kπ－ π 12 ，k∈Z，f(x)取得最大值 2 时，x ＝kπ＋ － π 3 － T 4 ＝kπ－7π 12 ，k∈Z，∴f(x)的单调减区间为 kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 ，k∈Z，故选 C． 考点三 三角函数的图象和性质的综合问题重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 已知函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x ＋ 3cos 2x． (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若关于 x的方程 f(x)－m＝2在 x∈ 0，π 2 上有两个不同的解，求实数 m的取值范围． 解(1)由 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x ＋ 3cos 2x ＝1－cos π 2 ＋2x ＋ 3cos 2x ＝1＋sin 2x＋ 3cos 2x ＝1＋2sin 2x＋π 3 ， 则由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12 ，k∈Z． 所以函数的单调递增区间为 kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12 ，k∈Z． (2)由 f(x)－m＝2，得 f(x)＝m＋2， 当 x∈ 0，π 2 时，2x＋π 3 ∈ π 3 ， 4π 3 ， ∵f(0)＝1＋2sinπ 3 ＝1＋ 3，函数 f(x)的最大值为 1＋2＝3， ∴要使方程 f(x)－m＝2在 x∈ 0，π 2 上有两个不同的解，则 f(x)＝m＋2在 x∈ 0，π 2 上 有两个不同的解，即函数 f(x)和 y＝m＋2在 x∈ 0，π 2 上有两个不同的交点，即 1＋ 3≤m ＋2＜3， 即 3－1≤m＜1． 所以实数 m的取值范围为[ 3－1,1)． [由题悟法] 1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路 先将 y＝f(x)化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如 定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数形式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)； (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象； (3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题． [即时应用] 已知 a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x, 3cos x)，函数 f(x)＝a·b＋ 3 2 ． (1)求 f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当 0≤x≤π 2 时，求函数 f(x)的值域． 解(1)因为 f(x)＝sin xcos x－ 3cos2x＋ 3 2 ＝ 1 2 sin 2x－ 3 2 (cos 2x＋1)＋ 3 2 ＝ 1 2 sin 2x－ 3 2 cos 2x ＝sin 2x－π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为π，令 sin 2x－π 3 ＝0， 得 2x－π 3 ＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z， 故所求对称中心的坐标为 kπ 2 ＋ π 6 ，0 ，k∈Z． (2)∵0≤x≤π 2 ，∴－ π 3 ≤2x－π 3 ≤ 2π 3 ， ∴－ 3 2 ≤sin 2x－π 3 ≤1， 故 f(x)的值域为 － 3 2 ，1 ． 考点四 三角函数模型的简单应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 某实验室一天的温度(单位℃)随时间 t(单位 h)的变化近似满足函数关系 f(t)＝10－ 3cos π 12 t－sin π 12 t，t∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃． 解析因为 f(t)＝10－2 3 2 cos π 12 t＋1 2 sin π 12 t ＝10－2sin π 12 t＋π 3 ，又 0≤t＜24，所以 π 3 ≤ π 12 t ＋ π 3 ＜ 7π 3 ， 所以－1≤sin π 12 t＋π 3 ≤1． 当 t＝2时，sin π 12 t＋π 3 ＝1； 当 t＝14时，sin π 12 t＋π 3 ＝－1． 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12，最小值为 8． 故实验室这一天最高温度为 12℃，最低温度为 8℃，最大温差为 4℃． 答案 4 [由题悟法] 三角函数模型在实际应用中体现的 2个方面 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意 义及自变量与函数之间的对应法则； (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识 解决问题，其关键是建模． [即时应用] 1．如图，某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin π 6 x＋φ ＋k．据 此函数可知，这段时间水深(单位 m)的最大值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 解析选 C 由题图可知－3＋k＝2，即 k＝5，y＝3sin π 6 x＋φ ＋5，∴ymax＝3＋5＝8． 2．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω ＞0，0＜φ＜π 2 的图象如图所示，则当 t＝ 1 100 秒时，电流强度是( ) A．－5安 B．5安 C．5 3安 D．10安 解析选 A 由图象知 A＝10，T 2 ＝ 4 300 － 1 300 ＝ 1 100 ， ∴ω＝2π T ＝100π． ∴I＝10sin(100πt＋φ)． 又 1 300 ，10 为五点中的第二个点， ∴100π× 1 300 ＋φ＝π 2 ． ∴φ＝π 6 ． ∴I＝10sin 100πt＋π 6 ， 当 t＝ 1 100 秒时，I＝－5安． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．y＝2sin 2x－π 4 的振幅、频率和初相分别为( ) A．2，1 π ，－ π 4 B．2，1 2π ，－ π 4 C．2，1 π ，－ π 8 D．2，1 2π ，－ π 8 答案 A 2．函数 f(x)＝ 3sin x 2 － π 4 ，x∈R的最小正周期为( ) A．π 2 B．π C．2π D．4π 解析选 D 最小正周期为 T＝ 2π 1 2 ＝4π． 3．函数 y＝sin 2x－π 3 在区间 － π 2 ，π 上的简图是( ) 解析选 A 令 x＝0，得 y＝sin － π 3 ＝－ 3 2 ，排除 B、D．由 f － π 3 ＝0，f π 6 ＝0，排除 C，故选 A． 4．(2016·四川高考)为了得到函数 y＝sin 2x－π 3 的图象，只需把函数 y＝sin 2x的图象 上所有的点( ) A．向左平行移动 π 3 个单位长度 B．向右平行移动 π 3 个单位长度 C．向左平行移动 π 6 个单位长度 D．向右平行移动 π 6 个单位长度 解析选 D ∵y＝sin 2x－π 3 ＝sin 2 x－π 6 ， ∴将函数 y＝sin 2x的图象向右平行移动 π 6 个单位长度，可得 y＝sin 2x－π 3 的图象． 5．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π 2 ，则 f π 6 的值 是( ) A．－ 3 B． 3 3 C．1 D． 3 解析选 D 由题意可知该函数的周期为 π 2 ， ∴ π ω ＝ π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x． ∴f π 6 ＝tan π 3 ＝ 3． 二保高考，全练题型做到高考达标 1．为了得到 y＝3sin 2x＋1的图象，只需将 y＝3sin x的图象上的所有点( ) A．横坐标伸长 2倍，再向上平移 1个单位长度 B．横坐标缩短 1 2 倍，再向上平移 1个单位长度 C．横坐标伸长 2倍，再向下平移 1个单位长度 D．横坐标缩短 1 2 倍，再向下平移 1个单位长度 解析选 B 将 y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短 1 2 倍，将 y＝3sin 2x的图象，再 向上平移 1个单位长度即得 y＝3sin 2x＋1的图象，故选 B． 2．(2017·贵州省适应性考试)将函数 f(x)＝sin 2x＋π 6 的图象向左平移φ 0＜φ≤π 2 个单 位长度，所得的图象关于 y轴对称，则φ＝( ) A．π 6 B．π 4 C．π 3 D．π 2 解析选 A 将函数 f(x)＝sin 2x＋π 6 的图象向左平移φ 0＜φ≤π 2 个单位长度，得到的图 象所对应的函数解析式为 y＝sin 2x＋φ＋π 6 ＝sin 2x＋2φ＋π 6 ，由题知，该函数是偶函数， 则 2φ＋π 6 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，即φ＝kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z，又 0＜φ≤π 2 ，所以φ＝π 6 ． 3．(2015·湖南高考)将函数 f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ 0<φ<π 2 个单位后得到函数 g(x) 的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的 x1，x2，有|x1－x2|min＝π 3 ，则φ＝( ) A．5π 12 B．π 3 C．π 4 D．π 6 解析选 D 由已知得 g(x)＝sin (2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时 y＝f(x)和 y ＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝π 3 ，令 2x1＝π 2 ，2x2－2φ＝－ π 2 ，此时|x1－x2| ＝|π2－φ|＝π 3 ，又 0<φ<π 2 ，故φ＝π 6 ，选 D． 4．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R) ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示，如果 x1，x2∈ － π 6 ， π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A．1 2 B． 3 2 C． 2 2 D．1 解析选 B 由图可知， T 2 ＝ π 3 － － π 6 ＝ π 2 ， 则 T＝π，ω＝2， 又∵ － π 6 ＋ π 3 2 ＝ π 12 ，∴f(x)的图象过点 π 12 ，1 ， 即 sin 2× π 12 ＋φ ＝1，得φ＝π 3 ， ∴f(x)＝sin 2x＋π 3 ． 而 x1＋x2＝－ π 6 ＋ π 3 ＝ π 6 ， ∴f(x1＋x2)＝f π 6 ＝sin 2×π 6 ＋ π 3 ＝sin 2π 3 ＝ 3 2 ． 5．如图是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间 － π 6 ， 5π 6 上的图象，为了 得到 y＝sin x(x∈R)的图象，只要将函数 f(x)的图象上所有的点( ) A．向左平移 π 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变 B．向右平移 π 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 C．向左平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变 D．向右平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 解析选 D 由题图可知 A＝1，T＝5π 6 － － π 6 ＝π，∴ω＝2π T ＝2． ∵题图过点 π 3 ，0 ，且 π 3 ，0 在函数的单调递减区间上， ∴sin 2π 3 ＋φ ＝0，∴ 2 3 π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z， ∴f(x)＝sin 2x＋π 3 ＋2kπ ＝sin 2x＋π 3 ． 故将函数 f(x)＝sin 2x＋π 3 ＝sin 2 x＋π 6 的图象向右平移 π 6 个单位长度，再把所得各点 的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，可得 y＝sin x的图象，故选 D． 6．若函数 f(x)＝ 3sin ωx－π 3 (ω＞0)的最小正周期为 π 2 ，则 f π 3 ＝________． 解析由 f(x)＝ 3 sin ωx－π 3 (ω＞ 0)的最小正周期为 π 2 ，得ω＝ 4．所以 f π 3 ＝ 3sin 4×π 3 － π 3 ＝0． 答案 0 7．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的值域是________． 解析 f(x)＝3sin ωx－π 6 ＝3cos π 2 － ωx－π 6 ＝3cos ωx－2π 3 ，易知ω＝2，则 f(x)＝ 3sin 2x－π 6 ， ∵x∈ 0，π 2 ，∴－ π 6 ≤2x－π 6 ≤ 5π 6 ， ∴－ 3 2 ≤f(x)≤3． 答案 － 3 2 ，3 8．已知角φ的终边经过点 P(－4,3)，函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对 称轴之间的距离等于 π 2 ，则 f π 4 的值为________． 解析由角φ的终边经过点 P(－4,3)，可得 cos φ＝－ 4 5 ，sin φ＝3 5 ． 根据函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 π 2 ， 可得周期为 2π ω ＝2×π 2 ，解得ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋φ)， ∴f π 4 ＝sin π 2 ＋φ ＝cos φ＝－ 4 5 ． 答案－ 4 5 9．(2017·郴州模拟)已知函数 f(x)＝sinωx＋π 3 (ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象； (2)函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解(1)f(x)＝sin ωx＋π 3 ， 因为 T＝π，所以 2π ω ＝π，即ω＝2， 故 f(x)＝sin 2x＋π 3 ． 列表如下 2x＋π 3 π 3 π 2 π 3π 2 2π 7π 3 x 0 π 12 π 3 7π 12 5π 6 π f(x) 3 2 1 0 －1 0 3 2 y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示． (2)将 y＝sin x的图象上的所有点向左平移 π 3 个单位长度，得到函数 y＝sin x＋π 3 的图象． 再将 y＝sin x＋π 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)，得到函数 f(x) ＝sin 2x＋π 3 (x∈R)的图象． 10．函数 f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<π 2 的部分图象如图所示． (1)求φ及图中 x0的值； (2)设 g(x)＝f(x)＋f x＋1 3 ，求函数 g(x)在区间 － 1 2 ， 1 3 上的最大值和最 小值． 解(1)由题图得 f(0)＝ 3 2 ，所以 cos φ＝ 3 2 ， 因为 0<φ<π 2 ，故φ＝π 6 ． 由于 f(x)的最小正周期等于 2， 所以由题图可知 10)个单位长 度得到点 P′．若 P′位于函数 y＝sin 2x的图象上，则( ) A．t＝1 2 ，s的最小值为 π 6 B．t＝ 3 2 ，s的最小值为 π 6 C．t＝1 2 ，s的最小值为 π 3 D．t＝ 3 2 ，s的最小值为 π 3 解析选 A 因为点 P π 4 ，t 在函数 y＝sin 2x－π 3 的图象上， 所以 t＝sin 2×π 4 － π 3 ＝sin π 6 ＝ 1 2 ． 所以 P π 4 ， 1 2 ． 将点 P向左平移 s(s>0)个单位长度得 P′ π 4 －s，1 2 ． 因为 P′在函数 y＝sin 2x的图象上， 所以 sin 2 π 4 －s ＝ 1 2 ，即 cos 2s＝1 2 ， 所以 2s＝2kπ＋π 3 或 2s＝2kπ＋5π 3 (k∈Z)， 即 s＝kπ＋π 6 或 s＝kπ＋5π 6 (k∈Z)， 所以 s的最小值为 π 6 ． 2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营 成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各 个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律 ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在 2月份最少，在 8月份最多，相差约 400人； ③2月份入住客栈的游客约为 100人，随后逐月递增直到 8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备 400份以上的食物？ 解(1)设该函数为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个 函数的周期是 12； 由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且 f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为 200； 由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且 f(2)＝100， 所以 f(8)＝500． 根据上述分析可得， 2π ω ＝12，故ω＝π 6 ， 且 －A＋B＝100， A＋B＝500， 解得 A＝200， B＝300. 根据分析可知，当 x＝2时 f(x)最小， 当 x＝8时 f(x)最大， 故 sin 2×π 6 ＋φ ＝－1，且 sin 8×π 6 ＋φ ＝1． 又因为 0<|φ|<π，故φ＝－ 5π 6 ． 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)＝200sin π 6 x－5π 6 ＋300． (2)由条件可知，200sin π 6 x－5π 6 ＋300≥400， 化简得 sin π 6 x－5π 6 ≥ 1 2 ， 即 2kπ＋π 6 ≤ π 6 x－5π 6 ≤2kπ＋5π 6 ，k∈Z， 解得 12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z． 因为 x∈N*，且 1≤x≤12，故 x＝6,7,8,9,10． 即只有 6,7,8,9,10五个月份要准备 400份以上的食物． 命题点一 同角三角函数的基本关系及诱导公式 命题指数☆☆☆ 难度中、低 题型选择题、填空题 1．(2016·全国丙卷)若 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝( ) A．64 25 B．48 25 C．1 D．16 25 解析选 A 因为 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 1＋4tan α tan2α＋1 ＝ 1＋4×3 4 3 4 2＋1 ＝ 64 25 ．故选 A． 2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆 O的半径为 1，A是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P作直线 OA的垂线，垂足为M．将点 M到直线 OP的距离表示成 x的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( ) 解析选 B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x， 当 x∈ 0，π 2 时，f(x)＝cos x·sin x＝1 2 sin 2x； 当 x∈ π 2 ，π 时，f(x)＝－cos x·sin x＝－ 1 2 sin 2x，故选 B． 3．(2015·四川高考)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2． 所以 2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α－1 tan2α＋1 ＝ －4－1 4＋1 ＝－1． 答案－1 命题点二 三角函数的图象与性质 命题指数☆☆☆☆☆ 难度中 题型选择题、填空题、解答题 1．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π 6 ，④y＝tan 2x－π 4 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 解析选 A ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝ |cos x|，最小正周期为π；③y＝ cos 2x＋π 6 ，最小正周期为π；④y＝tan 2x－π 4 ，最小正周期为 π 2 ，所以最小正周期为π的所 有函数为①②③，故选 A． 2．(2016·全国甲卷)若将函数 y＝2sin 2x的图象向左平移 π 12 个单位长度，则平移后图象 的对称轴为( ) A．x＝kπ 2 － π 6 (k∈Z) B．x＝kπ 2 ＋ π 6 (k∈Z) C．x＝kπ 2 － π 12 (k∈Z) D．x＝kπ 2 ＋ π 12 (k∈Z) 解析选 B 将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π 12 个单位长度，得到函数 y＝2sin 2 x＋ π 12 ＝2sin 2x＋π 6 的图象．由 2x＋π 6 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋ π 6 (k∈Z)，即平移后 图象的对称轴为 x＝kπ 2 ＋ π 6 (k∈Z)． 3．(2016·全国甲卷)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A．y＝2sin 2x－π 6 B．y＝2sin 2x－π 3 C．y＝2sin x＋π 6 D．y＝2sin x＋π 3 解析选 A 由图象知 T 2 ＝ π 3 － － π 6 ＝ π 2 ，故 T＝π，因此ω＝2π π ＝2．又图象的一个最高点 坐标为 π 3 ，2 ，所以 A＝2，且 2×π 3 ＋φ＝2kπ＋π 2 (k∈Z)，故φ＝2kπ－π 6 (k∈Z)，结合选项可 知 y＝2sin 2x－π 6 ．故选 A． 4．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间 为( ) A． kπ－1 4 ，kπ＋3 4 ，k∈Z B． 2kπ－1 4 ，2kπ＋3 4 ，k∈Z C． k－1 4 ，k＋3 4 ，k∈Z D． 2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z 解析选 D 由图象知，周期 T＝2 5 4 － 1 4 ＝2， ∴ 2π ω ＝2，∴ω＝π． 由π×1 4 ＋φ＝π 2 ＋2kπ，得φ＝π 4 ＋2kπ，k∈Z， 不妨取φ＝π 4 ，∴f(x)＝cos πx＋π 4 ． 由 2kπ＜πx＋π 4 ＜2kπ＋π， 得 2k－1 4 ＜x＜2k＋3 4 ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为 2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z，故选 D． 5．(2016·全国甲卷)函数 f(x)＝cos 2x＋6cos π 2 －x 的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析选 B ∵ f(x)＝ cos 2x＋6cos π 2 －x ＝ cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－ 2 sin x－3 2 2＋ 11 2 ， 又 sin x∈[－1,1]，∴当 sin x＝1时，f(x)取得最大值 5．故选 B． 6．(2016·全国丙卷)函数 y＝sin x－ 3cos x的图象可由函数 y＝sin x＋ 3cos x的图象至 少向右平移________个单位长度得到． 解析因为 y＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋π 3 ，y＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π 3 ，所以把 y＝ 2sin x＋π 3 的图象至少向右平移 2π 3 个单位长度可得 y＝2sin x－π 3 的图象． 答案 2π 3 7．(2016·浙江高考)已知 2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则 A＝________，b ＝________． 解析∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋ 2sin 2x＋π 4 ， ∴1＋ 2sin 2x＋π 4 ＝Asin(ωx＋φ)＋b， ∴A＝ 2，b＝1． 答案 2 1 8．(2014·北京高考)设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若 f(x)在 区间 π 6 ， π 2 上具有单调性，且 f π 2 ＝f 2π 3 ＝－f π 6 ，则 f(x)的最小正周期为________． 解析∵f(x)在区间 π 6 ， π 2 上具有单调性，且 f π 2 ＝f 2π 3 ，∴x＝π 2 和 x＝2π 3 均不是 f(x)的 极值点，其极值应该在 x＝ π 2 ＋ 2π 3 2 ＝ 7π 12 处取得，∵f π 2 ＝－f π 6 ，∴x＝π 6 也不是函数 f(x)的极 值点，又 f(x)在区间 π 6 ， π 2 上具有单调性，∴x＝π 6 － 7π 12 － π 2 ＝ π 12 为 f(x)的另一个相邻的极值 点，故函数 f(x)的最小正周期 T＝2× 7π 12 － π 12 ＝π． 答案π 9．(2014·北京高考)函数 f(x)＝3sin 2x＋π 6 的部分图象如图所示． (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0的值； (2)求 f(x)在区间 － π 2 ，－ π 12 上的最大值和最小值． 解(1)f(x)的最小正周期为 2π ω ＝ 2π 2 ＝π，x0＝7π 6 ，y0＝3． (2)因为 x∈ － π 2 ，－ π 12 ，所以 2x＋π 6 ∈ － 5π 6 ，0 ． 于是，当 2x＋π 6 ＝0，即 x＝－ π 12 时，f(x)取得最大值 0； 当 2x＋π 6 ＝－ π 2 ，即 x＝－ π 3 时，f(x)取得最小值－3． 10．(2016·天津高考)已知函数 f(x)＝4tan xsin π 2 －x ·cos x－π 3 － 3． (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 － π 4 ， π 4 上的单调性． 解(1)f(x)的定义域为 x|x≠ π 2 ＋kπ，k∈Z ． f(x)＝4tan xcos xcos x－π 3 － 3 ＝4sin xcos x－π 3 － 3 ＝4sin x 1 2 cos x＋ 3 2 sin x － 3 ＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3 ＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x ＝2sin 2x－π 3 ． 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π． (2)令－ π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤ π 2 ＋2kπ， 得－ π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z． 设 A＝ － π 4 ， π 4 ，B＝x|－ π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z ，易知 A∩B＝ － π 12 ， π 4 ． 所以当 x∈ － π 4 ， π 4 时，f(x)在区间 － π 12 ， π 4 上单调递增，在区间 － π 4 ，－ π 12 上单调递 减． 11．(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝1 2 sin 2x－ 3cos2x． (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x) 的图象．当 x∈ π 2 ，π 时，求 g(x)的值域． 解(1)f(x)＝1 2 sin 2x－ 3cos2x ＝ 1 2 sin 2x－ 3 2 (1＋cos 2x) ＝ 1 2 sin 2x－ 3 2 cos 2x－ 3 2 ＝sin 2x－π 3 － 3 2 ， 因此 f(x)的最小正周期为π，最小值为－ 2＋ 3 2 ． (2)由条件可知 g(x)＝sin x－π 3 － 3 2 ． 当 x∈ π 2 ，π 时，有 x－π 3 ∈ π 6 ， 2π 3 ， 从而 y＝sin x－π 3 的值域为 1 2 ，1 ， 那么 g(x)＝sin x－π 3 － 3 2 的值域为 1－ 3 2 ， 2－ 3 2 ． 故 g(x)在区间 π 2 ，π 上的值域是 1－ 3 2 ， 2－ 3 2 ． 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β ． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ． 3．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝ 2sin α±π 4 ． [小题体验] 1．已知 sin π 2 ＋α ＝ 1 2 ，－ π 2 <α<0，则 cos α－π 3 的值是( ) A．1 2 B．2 3 C．－ 1 2 D．1 答案 C 2．化简 cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为________． 答案 1 2 3．(教材习题改编)已知 sin(α－π)＝3 5 ，则 cos 2α＝________． 答案 7 25 1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升 次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围． [小题纠偏] 1．已知 sin 2α＝2 3 ，则 cos2 α＋π 4 ＝________． 答案 1 6 2．若锐角α，β满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则α＋β＝________． 解析由已知可得 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 3，即 tan(α＋β)＝ 3． 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π 3 ． 答案 π 3 考点一 三角函数公式的基本应用基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．已知 cos α＝－ 3 5 ，α是第三象限角，则 cos π 4 ＋α 为( ) A． 2 10 B．－ 2 10 C．7 2 10 D．－ 7 2 10 解析选 A ∵cos α＝－ 3 5 ，α是第三象限的角， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－ － 3 5 2＝－ 4 5 ， ∴cos π 4 ＋α ＝cos π 4 cos α－sin π 4 sin α ＝ 2 2 × － 3 5 － 2 2 × － 4 5 ＝ 2 10 ． 2．(2017·河南八市重点高中质检)已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝1 2 f(x)，则 tan 2x的值是( ) A．－ 2 3 B．－ 4 3 C．4 3 D．3 4 解析选 D 因为 f′(x)＝cos x＋sin x＝1 2 sin x－1 2 cos x，所以 tan x＝－3，所以 tan 2x＝ 2tan x 1－tan2x ＝ －6 1－9 ＝ 3 4 ，故选 D． 3．已知α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 ，则 cos 5π 6 －2α 的值为______． 解析因为α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 2 5 5 ． sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 5 × － 2 5 5 ＝－ 4 5 ， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 5 2＝ 3 5 ， 所以 cos 5π 6 －2α ＝cos5π 6 cos 2α＋sin 5π 6 sin 2α ＝ － 3 2 × 3 5 ＋ 1 2 × － 4 5 ＝－ 4＋3 3 10 ． 答案－ 4＋3 3 10 [谨记通法] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．如“题组练透”第 3 题易忽视α范围． 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1．(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈ 0，π 4 ，且 sin θ－cos θ＝－ 14 4 ，则 2cos2θ－1 cos π 4 ＋θ ＝ ( ) A．2 3 B．4 3 C．3 4 D．3 2 解析选 D 由 sin θ－cos θ＝－ 14 4 得 sin π 4 －θ ＝ 7 4 ，∵θ∈ 0，π 4 ，∴0<π 4 －θ<π 4 ，∴ cos π 4 －θ ＝ 3 4 ． 2cos2θ－1 cos π 4 ＋θ ＝ cos 2θ sin π 4 －θ ＝ sin π 2 －2θ sin π 4 －θ ＝ sin 2 π 4 －θ sin π 4 －θ ＝2cos π 4 －θ ＝ 3 2 ． 2．计算 sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° 的值为( ) A．－ 1 2 B．1 2 C． 3 2 D．－ 3 2 解析选 B sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° ＝ sin 70°sin 20° cos 310° ＝ cos 20°sin 20° cos 50° ＝ 1 2 sin 40° sin 40° ＝ 1 2 ． [由题悟法] 1．三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者中可以知二 求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现 1 2 ，1， 3 2 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特 殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． [即时应用] 1．在△ABC中，若 tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则 cos C的值为( ) A．－ 2 2 B． 2 2 C．1 2 D．－ 1 2 解析选 B 由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得 tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－1，即 tan(A＋B) ＝－1，又 A＋B∈(0，π)， 所以 A＋B＝3π 4 ，则 C＝π 4 ，cos C＝ 2 2 ． 2．(2016·河南六市一联)已知 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ，则 sin α＋7π 6 的值是( ) A．－ 2 3 5 B．2 3 5 C．4 5 D．－ 4 5 解析选 D 由 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ， 可得 3 2 cos α＋1 2 sin α＋sin α＝4 3 5 ， 即 3 2 sin α＋ 3 2 cos α＝4 3 5 ， ∴ 3sin α＋π 6 ＝ 4 3 5 ，sin α＋π 6 ＝ 4 5 ， ∴sin α＋7π 6 ＝－sin α＋π 6 ＝－ 4 5 ． 考点三 角的变换重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 已知α，β均为锐角，且 sin α＝3 5 ，tan(α－β)＝－ 1 3 ． (1)求 sin(α－β)的值； (2)求 cos β的值． 解(1)∵α，β∈ 0，π 2 ，从而－ π 2 <α－β<π 2 ． 又∵tan(α－β)＝－ 1 3 <0，∴－ π 2 <α－β<0． ∴sin(α－β)＝－ 10 10 ． (2)由(1)可得，cos(α－β)＝3 10 10 ． ∵α为锐角，且 sin α＝3 5 ，∴cos α＝4 5 ． ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝ 4 5 × 3 10 10 ＋ 3 5 × － 10 10 ＝ 9 10 50 ． [由题悟法] 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [即时应用] 1．已知 tan(α＋β)＝1，tan α－π 3 ＝ 1 3 ，则 tan β＋π 3 的值为( ) A．2 3 B．1 2 C．3 4 D．4 5 解析选 B tan β＋π 3 ＝tan α＋β－ α－π 3 ＝ tanα＋β－tan α－π 3 1＋tanα＋βtan α－π 3 ＝ 1－1 3 1＋1×1 3 ＝ 1 2 ． 2．(2016·福建师大附中检测)若 sin π 3 －α ＝ 1 4 ，则 cos π 3 ＋2α ＝( ) A．－ 7 8 B．－ 1 4 C．1 4 D．7 8 解析选 A cos π 3 ＋2α ＝cos π－ 2π 3 －2α ＝－cos 2π 3 －2α ＝－ 1－2sin2 π 3 －α ＝－ 7 8 ． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2017·西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A．1 B．1 2 C． 3 2 D．－ 1 2 解析选 B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝ sin 45°·cos 15°＋ (－cos 45°)sin 15°＝ sin(45°－15°)＝sin 30°＝1 2 ． 2．(2016·河北三市第二次联考)若 2sin θ＋π 3 ＝3sin(π－θ)，则 tan θ等于( ) A．－ 3 3 B． 3 2 C．2 3 3 D．2 3 解析选 B 由已知得 sin θ＋ 3cos θ＝3sin θ， 即 2sin θ＝ 3cos θ，所以 tan θ＝ 3 2 ．故选 B． 3．(2016·兰州实战考试)若 sin 2α＝24 25 ，0＜α＜π 2 ，则 2cos π 4 －α 的值为( ) A．－ 1 5 B．1 5 C．－ 7 5 D．7 5 解析选 D 2cos π 4 －α ＝ 2 2 2 cos α＋ 2 2 sin α ＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋cos α)2＝1 ＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝49 25 ，0＜α＜π 2 ，∴sin α＋cos α＝7 5 ，故选 D． 4．(2017·广州模拟)已知 cos(θ＋π)＝－ 1 3 ，则 sin 2θ＋π 2 ＝________． 解析 cos(θ＋π)＝－ 1 3 ，所以 cos θ＝1 3 ，sin 2θ＋π 2 ＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－ 7 9 ． 答案－ 7 9 5．(2017·贵阳摸底)设 sin α＝2cos α，则 tan 2α的值为________． 解析由题可知，tan α＝sin α cos α ＝2， ∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝－ 4 3 ． 答案－ 4 3 二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2017·南宁质量检测)已知 π 2 <α<π，3sin 2α＝2cos α，则 cos(α－π)等于( ) A．2 3 B． 6 4 C．2 2 3 D．3 2 6 解析选 C 由 3sin 2α＝2cos α，得 sin α＝1 3 ．因为 π 2 <α<π，所以 cos(α－π)＝－cos α＝ 1－ 1 3 2＝ 2 2 3 ． 2．设 tan α－π 4 ＝ 1 4 ，则 tan α＋π 4 ＝( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 解析选 C ∵tan α－π 4 ＝ tan α－tanπ 4 1＋tan αtanπ 4 ＝ tan α－1 1＋tan α ＝ 1 4 ， ∴tan α＝5 3 ， ∴tan α＋π 4 ＝ tan α＋1 1－tan α ＝－4． 3．已知 sin α＋cos α＝1 3 ，则 sin2 π 4 －α ＝( ) A． 1 18 B．17 18 C．8 9 D． 2 9 解析选 B 由 sin α＋cos α＝1 3 两边平方得 1＋sin 2α＝1 9 ，解得 sin 2α＝－ 8 9 ，所以 sin2 π 4 －α ＝ 1－cos π 2 －2α 2 ＝ 1－sin 2α 2 ＝ 1＋8 9 2 ＝ 17 18 ． 4．(2017·广东肇庆模拟)已知 sin α＝3 5 且α为第二象限角，则 tan 2α＋π 4 ＝( ) A．－ 19 5 B．－ 5 19 C．－ 31 17 D．－ 17 31 解析选 D 由题意得 cos α＝－ 4 5 ，则 sin 2α＝－ 24 25 ，cos 2α＝2cos2α－1＝ 7 25 ． ∴tan 2α＝－ 24 7 ，∴tan 2α＋π 4 ＝ tan 2α＋tan π 4 1－tan 2αtanπ 4 ＝ － 24 7 ＋1 1－ － 24 7 ×1 ＝－ 17 31 ． 5．已知 sin α－π 4 ＝ 7 2 10 ，cos 2α＝ 7 25 ，则 sin α＝( ) A．4 5 B．－ 4 5 C．3 5 D．－ 3 5 解析选 C 由 sin α－π 4 ＝ 7 2 10 得 sin α－cos α＝7 5 ．① 由 cos 2α＝ 7 25 得 cos2α－sin2α＝ 7 25 ， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝ 7 25 ．② 由①②可得 cos α＋sin α＝－ 1 5 ．③ 由①③可得 sin α＝3 5 ． 6．已知 cos θ＝－ 5 13 ，θ∈ π，3π 2 ，则 sin θ－π 6 的值为________． 解析由 cos θ＝－ 5 13 ，θ∈ π，3π 2 得 sin θ＝－ 1－cos2θ＝－ 12 13 ，故 sin θ－π 6 ＝sin θcosπ 6 －cos θsinπ 6 ＝－ 12 13 × 3 2 － － 5 13 × 1 2 ＝ 5－12 3 26 ． 答案 5－12 3 26 7．已知 cos x－π 6 ＝－ 3 3 ，则 cos x＋cos x－π 3 ＝________． 解析 cos x＋cos x－π 3 ＝cos x＋1 2 cos x＋ 3 2 sin x ＝ 3 2 cos x＋ 3 2 sin x ＝ 3cos x－π 6 ＝ 3× － 3 3 ＝－1． 答案－1 8．计算 sin250° 1＋sin 10° ＝________． 解析 sin250° 1＋sin 10° ＝ 1－cos 100° 21＋sin 10° ＝ 1－cos90°＋10° 21＋sin 10° ＝ 1＋sin 10° 21＋sin 10° ＝ 1 2 ． 答案 1 2 9．(2017·广东六校联考)已知函数 f(x)＝sin x＋ π 12 ，x∈R． (1)求 f － π 4 的值； (2)若 cos θ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ，求 f 2θ－π 3 的值． 解(1)f － π 4 ＝sin － π 4 ＋ π 12 ＝sin － π 6 ＝－ 1 2 ． (2)f 2θ－π 3 ＝sin 2θ－π 3 ＋ π 12 ＝sin 2θ－π 4 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ)． 因为 cos θ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ， 所以 sin θ＝3 5 ， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝24 25 ， cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ 7 25 ， 所以 f 2θ－π 3 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ) ＝ 2 2 × 24 25 － 7 25 ＝ 17 2 50 ． 10．已知α∈ π 2 ，π ，且 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ． (1)求 cos α的值； (2)若 sin(α－β)＝－ 3 5 ，β∈ π 2 ，π ，求 cos β的值． 解(1)因为 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ， 两边同时平方，得 sin α＝1 2 ． 又 π 2 <α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 3 2 ． (2)因为 π 2 <α<π，π 2 <β<π， 所以－ π 2 <α－β<π 2 ． 又由 sin(α－β)＝－ 3 5 ，得 cos(α－β)＝4 5 ． 所以 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－ 3 2 × 4 5 ＋ 1 2 × － 3 5 ＝－ 4 3＋3 10 ． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知 cos α＝1 3 ，cos(α＋β)＝－ 1 3 ，且α，β∈ 0，π 2 ，则 cos(α－β)＝( ) A．－ 1 2 B．1 2 C．－ 1 3 D．23 27 解析选 D 因为α∈ 0，π 2 ，所以 2α∈(0，π)，因为 cos α＝1 3 ，所以 cos 2α＝2cos2α－1 ＝－ 7 9 ，所以 sin 2α＝ 1－cos22α＝4 2 9 ．又α，β∈ 0，π 2 ，所以α＋β∈(0，π)，所以 sin(α ＋β)＝ 1－cos2α＋β＝2 2 3 ，所以 cos(α－β)＝cos[2α－ (α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝ － 7 9 × － 1 3 ＋ 4 2 9 × 2 2 3 ＝ 23 27 ．故选 D． 2．(2017·合肥质检)已知 cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝－ 1 4 ，α∈ π 3 ， π 2 ． (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan α－ 1 tan α 的值． 解(1)cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝cos π 6 ＋α sin π 6 ＋α ＝ 1 2 sin 2α＋π 3 ＝－ 1 4 ， 即 sin 2α＋π 3 ＝－ 1 2 ． ∵α∈ π 3 ， π 2 ，∴2α＋π 3 ∈ π，4π 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝－ 3 2 ， ∴ sin 2α＝sin 2α＋π 3 － π 3 ＝sin 2α＋π 3 cosπ 3 －cos 2α＋π 3 sinπ 3 ＝ 1 2 ． (2)∵α∈ π 3 ， π 2 ，∴2α∈ 2π 3 ，π ， 又由(1)知 sin 2α＝1 2 ，∴cos 2α＝－ 3 2 ． ∴tan α－ 1 tan α ＝ sin α cos α － cos α sin α ＝ sin2α－cos2α sin αcos α ＝ －2cos 2α sin 2α ＝－2× － 3 2 1 2 ＝2 3． 第六节 简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1．化简 sin 2α－2cos2α sin α－π 4 ＝________． 解析原式＝ 2sin αcos α－2cos2α 2 2 sin α－cos α ＝2 2cos α． 答案 2 2cos α 2．化简 1＋sin θ＋cos θ· sin θ 2 －cosθ 2 2＋2cos θ (0＜θ＜π)． 解原式＝ 2sinθ 2 cosθ 2 ＋2cos2θ 2 · sinθ 2 －cosθ 2 4cos2θ 2 ＝cosθ 2 · sin2θ 2 －cos2θ 2 |cosθ2| ＝ －cosθ 2 ·cos θ |cosθ2| ． ∵0＜θ＜π，∴0＜θ 2 ＜ π 2 ，∴cosθ 2 ＞0，∴原式＝－cos θ． [谨记通法] 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角 函数式时，一般需要升次．如“题组练透”第 2题． 考点二 三角函数式的求值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据 函数名称的变换特点，选择合适的公式求解． 常见的命题角度有 (1)给值求值； (2)给角求值； (3)给值求角． [题点全练] 角度一给值求值 1．(2015·广东高考)已知 tan α＝2． (1)求 tan α＋π 4 的值； (2)求 sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 的值． 解(1)tan α＋π 4 ＝ tan α＋tan π 4 1－tan αtan π 4 ＝ 2＋1 1－2×1 ＝－3． (2) sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝ 2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ 2tan α tan2α＋tan α－2 ＝ 2×2 4＋2－2 ＝1． 角度二给角求值 2．化简 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________． 解析 sin 50°(1＋ 3tan 10°) ＝sin 50° 1＋ 3·sin 10° cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋ 3sin 10° cos 10° ＝sin 50°×2 1 2 cos 10°＋ 3 2 sin 10° cos 10° ＝ 2sin 50°·cos 50° cos 10° ＝ sin 100° cos 10° ＝ cos 10° cos 10° ＝1． 答案 1 角度三给值求角 3．若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且α∈ π 4 ，π ，β∈ π，3π 2 ，则α＋β的值是( ) A．7π 4 B．9π 4 C．5π 4 或 7π 4 D．5π 4 或 9π 4 解析选 A ∵α∈ π 4 ，π ，∴2α∈ π 2 ，2π ， ∵sin 2α＝ 5 5 ，∴2α∈ π 2 ，π ． ∴α∈ π 4 ， π 2 且 cos 2α＝－ 2 5 5 ， 又∵sin(β－α)＝ 10 10 ，β∈ π，3π 2 ， ∴β－α∈ π 2 ， 5π 4 ，cos(β－α)＝－ 3 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝ － 3 10 10 × － 2 5 5 － 10 10 × 5 5 ＝ 2 2 ， 又α＋β∈ 5π 4 ，2π ，所以α＋β＝7π 4 ，故选 A． [通法在握] 三角函数求值的 3类求法 (1)“给值求值”给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (2)“给角求值”一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊 角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围， 最后确定角． [演练冲关] 1． 2sin235°－1 cos 10°－ 3sin 10° 的值为( ) A．1 B．－1 C．1 2 D．－ 1 2 解析选 D 原式＝ 2sin235°－1 2 1 2 cos 10°－ 3 2 sin 10° ＝ －cos 70° 2sin 20° ＝－ 1 2 ． 2．已知 2tan αsin α＝3，－ π 2 ＜α＜0，则 cos α－π 6 的值是( ) A．0 B． 2 2 C．1 D．1 2 解析选 A 由 2tan αsin α＝3，得2sin2α cos α ＝3，即 2cos2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝1 2 或 cos α＝－2(舍去)．∵－ π 2 ＜α＜0，∴sin α＝－ 3 2 ，∴cos α－π 6 ＝cos αcosπ 6 ＋sin αsinπ 6 ＝0．故 选 A． 3．已知α∈ π 4 ， π 2 ，tan 2α＋π 4 ＝ 1 7 ，那么 sin 2α＋cos 2α的值为( ) A．－ 1 5 B．7 5 C．－ 7 5 D．3 4 解析选 A 由 tan 2α＋π 4 ＝ 1 7 ，知 tan 2α＋1 1－tan 2α ＝ 1 7 ， ∴tan 2α＝－ 3 4 ．∵2α∈ π 2 ，π ，∴sin 2α＝3 5 ，cos 2α＝－ 4 5 ． ∴sin 2α＋cos 2α＝－ 1 5 ，故选 A． 考点三 三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领] (2016·北京高考)已知函数 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)求 f(x)的单调递增区间． 解(1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝ 2sin 2ωx＋π 4 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2ω ＝ π ω ． 依题意，得 π ω ＝π， 解得ω＝1． (2)由(1)知 f(x)＝ 2sin 2x＋π 4 ． 函数 y＝sin x的单调递增区间为 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 (k∈Z)． 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 (k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－3π 8 ，kπ＋π 8 (k∈Z)． [由题悟法] 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函 数化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征， 注意利用整体思想解决相关问题． [即时应用] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2 x－π 6 ，x∈R． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 － π 3 ， π 4 上的最大值和最小值． 解(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x 2 － 1－cos 2x－π 3 2 ＝ 1 2 1 2 cos 2x＋ 3 2 sin 2x － 1 2 cos 2x ＝ 3 4 sin 2x－1 4 cos 2x＝1 2 sin 2x－π 6 ． 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π． (2)因为 f(x)在区间 － π 3 ，－ π 6 上是减函数， 在区间 － π 6 ， π 4 上是增函数， 且 f － π 3 ＝－ 1 4 ，f － π 6 ＝－ 1 2 ，f π 4 ＝ 3 4 ， 所以 f(x)在区间 － π 3 ， π 4 上的最大值为 3 4 ，最小值为－ 1 2 ． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．已知 cos π 4 －x ＝ 3 5 ，则 sin 2x＝( ) A．18 25 B． 7 25 C．－ 7 25 D．－ 16 25 解析选 C ∵sin 2x＝cos π 2 －2x ＝2cos2 π 4 －x －1， ∴sin 2x＝－ 7 25 ． 2．若 tan θ＝ 3，则 sin 2θ 1＋cos 2θ ＝( ) A． 3 B．－ 3 C． 3 3 D．－ 3 3 解析选 A sin 2θ 1＋cos 2θ ＝ 2sin θcos θ 1＋2cos2θ－1 ＝tan θ＝ 3． 3．化简 cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B． 3 C． 2 D．2 解析选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝ cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故选 C． 4．已知 tan(3π－x)＝2，则 2cos2x 2 －sin x－1 sin x＋cos x ＝________． 解析由诱导公式得 tan(3π－x)＝－tan x＝2， 故 2cos2x 2 －sin x－1 sin x＋cos x ＝ cos x－sin x sin x＋cos x ＝ 1－tan x tan x＋1 ＝－3． 答案－3 5．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝______． 解析∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sin B＝1 3 ，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ，即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A ＝ 3 3 ． 答案 3 3 二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2017·东北四市联考)已知 sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ，则 cos 2α＝( ) A．1 B．－1 C．1 2 D．0 解析选 D ∵sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ， ∴ 1 2 cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2 sin α， 即 1 2 － 3 2 sin α＝－ 1 2 － 3 2 cos α， ∴tan α＝sin α cos α ＝－1， ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α sin2α＋cos2α ＝ 1－tan2α tan2α＋1 ＝0． 2．已知 sin 2α＝3 5 π 2 <2α<π ，tan(α－β)＝1 2 ，则 tan(α＋β)等于( ) A．－2 B．－1 C．－ 2 11 D． 2 11 解析选 A 由题意，可得 cos 2α＝－ 4 5 ，则 tan 2α＝－ 3 4 ，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝ tan 2α－tanα－β 1＋tan 2αtanα－β ＝－2． 3．2cos 10°－sin 20° sin 70° 的值是( ) A．1 2 B． 3 2 C． 3 D． 2 解析选 C 原式＝ 2cos30°－20°－sin 20° sin 70° ＝ 2cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20° sin 70° ＝ 3cos 20° cos 20° ＝ 3． 4．在斜三角形 ABC中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A的值 为( ) A．π 4 B．π 3 C．π 2 D．3π 4 解析选 A 由题意知，sin A＝－ 2cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 在等式－ 2cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以 cos B cos C得 tan B＋tan C＝－ 2， 又 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝－1＝－tan A， 即 tan A＝1，所以 A＝π 4 ． 5．若 tan α＝3，则 sin 2α＋π 4 的值为( ) A．－ 2 10 B． 2 10 C．5 2 10 D．7 2 10 解析选 A ∵sin 2α＝2sin αcos α＝ 2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α tan2α＋1 ＝ 3 5 ，cos 2α＝cos2α－sin2α＝ cos2α－sin2α cos2α＋sin2α ＝ 1－tan2α 1＋tan2α ＝－ 4 5 ， ∴sin 2α＋π 4 ＝ 2 2 sin 2α＋ 2 2 cos 2α＝ 2 2 × 3 5 ＋ － 4 5 ＝－ 2 10 ． 6．已知 cos(α＋β)＝1 6 ，cos(α－β)＝1 3 ，则 tan αtan β的值为________． 解析因为 cos(α＋β)＝1 6 ， 所以 cos αcos β－sin αsin β＝1 6 ．① 因为 cos(α－β)＝1 3 ， 所以 cos αcos β＋sin αsin β＝1 3 ．② ①＋②得 cos αcos β＝1 4 ． ②－①得 sin αsin β＝ 1 12 ． 所以 tan αtan β＝ sin αsin β cos αcos β ＝ 1 3 ． 答案 1 3 7．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且α，β∈ － π 2 ， π 2 ， 则α＋β＝________． 解析由已知得 tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝1． 又∵α，β∈ － π 2 ， π 2 ，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，∴tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈ － π 2 ，0 ， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－ 3π 4 ． 答案－ 3π 4 8． 3tan 12°－3 4cos212°－2sin 12° ＝________． 解析原式＝ 3· sin 12° cos 12° －3 22cos212°－1sin 12° ＝ 2 3 1 2 sin 12°－ 3 2 cos 12° cos 12° 2cos 24°sin 12° ＝ 2 3sin－48° 2cos 24°sin 12°cos 12° ＝ －2 3sin 48° sin 24°cos 24° ＝ －2 3sin 48° 1 2 sin 48° ＝－4 3． 答案－4 3 9．已知 tan α＝－ 1 3 ，cos β＝ 5 5 ，α∈ π 2 ，π ，β∈ 0，π 2 ，求 tan(α＋β)的值，并求出α ＋β的值． 解由 cos β＝ 5 5 ，β∈ 0，π 2 ， 得 sin β＝2 5 5 ，tan β＝2． ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ － 1 3 ＋2 1＋2 3 ＝1． ∵α∈ π 2 ，π ，β∈ 0，π 2 ， ∴ π 2 <α＋β<3π 2 ， ∴α＋β＝5π 4 ． 10．已知函数 f(x)＝Acos x 4 ＋ π 6 ，x∈R，且 f π 3 ＝ 2． (1)求 A的值； (2)设α，β∈ 0，π 2 ，f 4α＋4π 3 ＝－ 30 17 ，f 4β－2π 3 ＝ 8 5 ，求 cos(α＋β)的值． 解(1)因为 f π 3 ＝Acos π 12 ＋ π 6 ＝Acosπ 4 ＝ 2 2 A＝ 2，所以 A＝2． (2)由 f 4α＋4π 3 ＝2cos α＋π 3 ＋ π 6 ＝2cos α＋π 2 ＝－2sin α＝－ 30 17 ， 得 sin α＝15 17 ，又α∈ 0，π 2 ， 所以 cos α＝ 8 17 ． 由 f 4β－2π 3 ＝2cos β－π 6 ＋ π 6 ＝2cos β＝8 5 ， 得 cos β＝4 5 ，又β∈ 0，π 2 ， 所以 sin β＝3 5 ， 所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝ 8 17 × 4 5 － 15 17 × 3 5 ＝－ 13 85 ． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．cosπ 9 ·cos2π 9 ·cos － 23π 9 ＝( ) A．－ 1 8 B．－ 1 16 C． 1 16 D．1 8 解析选 A cosπ 9 ·cos2π 9 ·cos － 23π 9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－ sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 2 sin 40°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 4 sin 80°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 8 sin 160° sin 20° ＝－ 1 8 sin 20° sin 20° ＝－ 1 8 ． 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区 间 0，2π 3 上的值域． 解(1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 ． ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 ． (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1， ∵0≤x≤2π 3 ，∴－ π 6 ≤2x－π 6 ≤ 7π 6 ． ∴－ 1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1，∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]． 第七节 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R，(R为 △ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式(边角转化) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝ 2Rsin C； sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ， sin C＝ c 2R ； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝c2＋a2－b2 2ca ； cos C＝a2＋b2－c2 2ab 2．三角形中常用的面积公式 (1)S＝1 2 ah(h表示边 a上的高)； (2)S＝1 2 bcsin A＝1 2 acsin B＝1 2 absin C； (3)S＝1 2 r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． [小题体验] 1．(2016·天津高考)在△ABC中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 2．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则 a等于________． 答案 6 2 3．在△ABC中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝1 3 ，则△ABC的面积为________． 答案 4 3 1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判 断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏 解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． [小题纠偏] 1．在△ABC中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析选 B ∵ a sin A ＝ b sin B ， ∴sin B＝b a sin A＝24 18 sin 45°＝2 2 3 ． 又∵a1． ∴角 B不存在，即满足条件的三角形不存在． 4．已知 a，b，c分别为△ABC三个内角 A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a － 3c)sin A，则角 B的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析选 A 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－ 3c)sin A得(b －c)(b＋c)＝(a－ 3c)a，即 b2－c2＝a2－ 3ac，所以 a2＋c2－b2＝ 3ac，又因为 cos B＝ a2＋c2－b2 2ac ，所以 cos B＝ 3 2 ，所以 B＝30°． 5．已知△ABC中，内角 A，B，C所对边长分别为 a，b，c，若 A＝π 3 ，b＝2acos B，c ＝1，则△ABC的面积等于( ) A． 3 2 B． 3 4 C． 3 6 D． 3 8 解析选 B 由正弦定理得 sin B＝2sin Acos B， 故 tan B＝2sin A＝2sinπ 3 ＝ 3，又 B∈(0，π)，所以 B＝π 3 ． 故 A＝B＝π 3 ，则△ABC是正三角形， 所以 S△ABC＝ 1 2 bcsin A＝1 2 ×1×1× 3 2 ＝ 3 4 ． 6．设△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－ 1 4 ，3sin A＝ 2sin B，则 c＝________． 解析∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b． 又 a＝2，∴b＝3． 由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c2＝22＋32－2×2×3× － 1 4 ＝16， ∴c＝4． 答案 4 7．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则 sin 2A sin C ＝________． 解析由正弦定理得 sin A sin C ＝ a c ， 由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ， ∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴ sin 2A sin C ＝ 2sin Acos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×4 6 × 52＋62－42 2×5×6 ＝1． 答案 1 8．(2017·云南统检)在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，如果△ABC 的面积等于 8，a＝5，tan B＝－ 4 3 ，那么 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝________． 解析∵tan B＝－ 4 3 ， ∴sin B＝4 5 ，cos B＝－ 3 5 ，又 S△ABC＝ 1 2 acsin B＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝ a2＋c2－2accos B ＝ 65， ∴ a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ b sin B ＝ 5 65 4 ． 答案 5 65 4 9．(2017·海口调研)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知(a－3b)cos C ＝c(3cos B－cos A)． (1)求sin B sin A 的值； (2)若 c＝ 7a，求角 C的大小． 解(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)， ∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B， 即 sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即 sin B＝3sin A，∴ sin B sin A ＝3． (2)由(1)知 b＝3a，∵c＝ 7a， ∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ a2＋9a2－7a2 2×a×3a ＝ 3a2 6a2 ＝ 1 2 ， ∵C∈(0，π)，∴C＝π 3 ． 10．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 S，已知 2acos2C 2 ＋2ccos2A 2 ＝ 5 2 b． (1)求证 2(a＋c)＝3b； (2)若 cos B＝1 4 ，S＝ 15，求 b． 解(1)证明由条件得 a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝5 2 b， 由于 acos C＋ccos A＝b，所以 a＋c＝3 2 b， 即 2(a＋c)＝3b． (2)在△ABC 中，因为 cos B＝1 4 ，所以 sin B＝ 15 4 ． 由 S＝1 2 acsin B＝1 8 15ac＝ 15，得 ac＝8， 又 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 2(a＋c)＝3b， 所以 5b2 4 ＝16× 1＋1 4 ，所以 b＝4． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角 A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的 对应边，若 sin2A－cos2A＝1 2 ，则下列各式正确的是( ) A．b＋c＝2a B．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a 解析选 C ∵sin2A－cos2A＝1 2 ，∴cos 2A＝－ 1 2 ． ∵00，∴x＝ 6－1． 答案 6－1 5．某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶， 在点 A处测得电视塔 S在电动车的北偏东 30°方向上，15 min后到 点 B处，测得电视塔 S在电动车的北偏东 75°方向上，则点 B与电 视塔的距离是________km． 解析如题图，由题意知 AB＝24×15 60 ＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知 BS sin 30° ＝ AB sin 45° ， ∴BS＝AB·sin 30° sin 45° ＝3 2(km)． 答案 3 2 二保高考，全练题型做到高考达标 1．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C两点间的距离是( ) A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 3 海里 D．20 2 海里 解析选 A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20海里，∠CAB＝30°， ∠ACB＝45°，根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， 解得 BC＝10 2(海里)． 2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0．6 km，一艘客 船从码头 A出发匀速驶往河对岸的码头 B．已知 AB＝1 km，水的 流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( ) A．8 km/h B．6 2 km/h C．2 34 km/h D．10 km/h 解析选 B 设 AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知， sin θ＝0.6 1 ＝ 3 5 ，从而 cos θ＝4 5 ，所以由余弦定理得 1 10 v 2＝ 1 10 ×2 2＋12－2× 1 10 ×2×1×4 5 ， 解得 v＝6 2． 3．(2014·四川高考)如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为 75°， 30°，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC等于( ) A．240( 3－1)m B．180( 2－1)m C．120( 3－1)m D．30( 3＋1)m 解析选 C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝ tan 60°－tan 45° 1＋tan 60°tan 45° ＝2－ 3，∴BC＝60tan 60° －60tan 15°＝120( 3－1)(m)，故选 C． 4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A向北偏东 30°前进 100 m到 达点 B，在 B点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析选 A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60°，AC＝h，AB ＝100，BC＝ 3h，根据余弦定理得，( 3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即 h2＋50h－5 000 ＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水柱的高度是 50 m． 5．(2017·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 其中 a为最大边，如果 sin2(B＋C)0． 则 cos A＝b2＋c2－a2 2bc >0， ∵0π 3 ． 因此角 A的取值范围是 π 3 ， π 2 ． 6．如图所示，一艘海轮从 A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15°方向，与海轮相距 20海里的 B处，海轮按北偏西 60°的方向航行了 30分钟后到达 C处，又测得灯塔在海轮的 北偏东 75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟． 解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， 由正弦定理得 AC sin B ＝ AB sin∠ACB ， 所以 AC＝ AB·sin B sin∠ACB ＝ 20×sin 60° sin 45° ＝10 6， 所以海轮航行的速度为 10 6 30 ＝ 6 3 (海里/分钟)． 答案 6 3 7．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15°的看台 的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°， 第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国 歌时长为 50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗． 解析依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45° －105°＝30°． 由正弦定理可知 CE sin∠EAC ＝ AC sin∠CEA ， ∴AC＝ CE sin∠EAC ·sin∠CEA＝20 3 m． ∴在 Rt△ABC 中，AB＝AC·sin∠ACB＝20 3× 3 2 ＝30 m． ∵国歌时长为 50 s，∴升旗速度为 30 50 ＝0．6 m/s． 答案 0．6 8．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin∠ABC 2 ＝ 3 3 ，AB＝2， 点 D在线段 AC上，且 AD＝2DC，BD＝4 3 3 ，则 cos∠C＝________． 解析由条件得 cos∠ABC＝1 3 ，sin∠ABC＝2 2 3 ． 在△ABC中，设 BC＝a，AC＝3b， 则由余弦定理得 9b2＝a2＋4－4 3 a．① 因为∠ADB与∠CDB互补， 所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB， 所以 4b2＋16 3 －4 16 3 3 b ＝－ b2＋16 3 －a2 8 3 3 b ， 所以 3b2－a2＝－6，② 联立①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3． 在△ABC中，cos∠C＝BC2＋AC2－AB2 2BC·AC ＝ 32＋32－22 2×3×3 ＝ 7 9 ． 答案 7 9 9．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该 渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的 C处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的 航向和靠近渔轮所需的时间． sin 21.8°≈3 3 14 解如图所示，根据题意可知 AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h， 并在 B 处与渔轮相遇，则 AB＝21t，BC＝9t，在△ABC 中，根据余弦定理得 AB2＝AC2＋ BC2－2AC·BC·cos 120°，所以 212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×1 2 ，即 360t2－90t－100＝0，解 得 t＝2 3 或 t＝－ 5 12 (舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 2 3 h． 此时 AB＝14，BC＝6． 在△ABC中，根据正弦定理，得 BC sin∠CAB ＝ AB sin 120° ， 所以 sin∠CAB＝ 6× 3 2 14 ＝ 3 3 14 ， 即∠CAB≈21．8°或∠CAB≈158．2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为 45°＋21．8°＝66．8°． 所以舰艇以 66．8°的方位角航行，需 2 3 h 才能靠近渔轮． 10．(2016·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救 出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为 B， C，D)．当返回舱在距地面 1万米的 P点时(假定以后垂直下落，并在 A点着陆)，C救援中 心测得飞船位于其南偏东 60°方向，仰角为 60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西 30°方向， 仰角为 30°，D救援中心测得着陆点 A位于其正东方向． (1)求 B，C两救援中心间的距离； (2)求 D救援中心与着陆点 A间的距离． 解(1)由题意知 PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形． 在 Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得 AC＝ 3 3 ， 在 Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得 AB＝ 3， 又∠CAB＝90°，BC＝ AC2＋BC2＝ 30 3 万米． (2)sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝ 3 10 ，cos∠ACD＝－ 1 10 ， 又∠CAD＝30°，所以 sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝ 3 3－1 2 10 ， 在△ADC中，由正弦定理， AC sin∠ADC ＝ AD sin∠ACD ， 得 AD＝AC·sin∠ACD sin∠ADC ＝ 9＋ 3 13 万米． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s后看山顶的俯角为 45°，则山顶的海拔高度为________m．(取 2＝1．4， 3＝1．7) 解析如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知∠A＝ 15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)． 又在△ABC中， BC sin A ＝ AB sin∠ACB ， ∴BC＝ 21 000 1 2 ×sin 15°＝10 500( 6－ 2)． ∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500( 6－ 2)× 2 2 ＝10 500( 3－1)＝7 350． 故山顶的海拔高度 h＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案 2 650 2．已知在东西方向上有M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A，B，塔顶 A，B的 海拔高度分别为 AM＝100米和 BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点 P处测得 发射塔顶 A的仰角为 30°，该测量车向北偏西 60°方向行驶了 100 3米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量 tan θ＝2，求两发射塔顶 A，B之 间的距离． 解在 Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3，连接 QM，在△PQM中， ∠QPM＝60°，又 PQ＝100 3， ∴△PQM 为等边三角形， ∴QM＝100 3． 在 Rt△AMQ中，由 AQ2＝AM2＋QM2，得 AQ＝200． 在 Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝100 5，cos θ＝ 5 5 ． 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100 5)2， ∴BA＝100 5． 即两发射塔顶 A，B之间的距离是 100 5米． 命题点一 简单的三角恒等变换 命题指数☆☆☆☆☆ 难度中、低 题型选择题、填空题、解答题 1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－ 1 2 D．1 2 解析选 D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1 2 ，故选 D． 2．(2016·全国甲卷)若 cos π 4 －α ＝ 3 5 ，则 sin 2α＝( ) A． 7 25 B．1 5 C．－ 1 5 D．－ 7 25 解析选 D 因为 cos π 4 －α ＝ 3 5 ， 所以 sin 2α＝cos π 2 －2α ＝cos 2 π 4 －α ＝2cos2 π 4 －α －1＝2× 9 25 －1＝－ 7 25 ． 3．(2016·全国丙卷)若 tan θ＝－ 1 3 ，则 cos 2θ＝( ) A．－ 4 5 B．－ 1 5 C．1 5 D．4 5 解析选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝ 1－tan2θ 1＋tan2θ ， 又∵tan θ＝－ 1 3 ，∴cos 2θ＝ 1－1 9 1＋1 9 ＝ 4 5 ． 4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且 sin θ＋π 4 ＝ 3 5 ，则 tan θ－π 4 ＝________． 解析由题意知 sin θ＋π 4 ＝ 3 5 ，θ是第四象限角， 所以 cos θ＋π 4 ＞0， 所以 cos θ＋π 4 ＝ 1－sin2 θ＋π 4 ＝ 4 5 ． tan θ－π 4 ＝tan θ＋π 4 － π 2 ＝－ sin π 2 － θ＋π 4 cos π 2 － θ＋π 4 ＝－ cos θ＋π 4 sin θ＋π 4 ＝－ 4 5 × 5 3 ＝－ 4 3 ． 答案－ 4 3 5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若 tan θ＋π 4 ＝ 1 2 ，则 sin θ＋cos θ＝________． 解析由θ在第二象限，且 tan θ＋π 4 ＝ 1 2 ，得 sin θ＋π 4 ＝－ 5 5 ，故 sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π 4 ＝－ 10 5 ． 答案－ 10 5 6．(2015·四川高考)已知 A，B，C为△ABC 的内角，tan A，tan B是关于 x的方程 x2 ＋ 3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根． (1)求 C的大小； (2)若 AB＝3，AC＝ 6，求 p的值． 解(1)由已知，方程 x2＋ 3px－p＋1＝0 的判别式Δ＝( 3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－ 4≥0， 所以 p≤－2或 p≥2 3 ． 由根与系数的关系， 有 tan A＋tan B＝－ 3p，tan Atan B＝1－p， 于是 1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0， 从而 tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－ 3p p ＝－ 3． 所以 tan C＝－tan(A＋B)＝ 3，所以 C＝60°． (2)由正弦定理，得 sin B＝ACsin C AB ＝ 6sin 60° 3 ＝ 2 2 ， 解得 B＝45°或 B＝135°(舍去)． 于是 A＝180°－B－C＝75°． 则 tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝ tan 45°＋tan 30° 1－tan 45°tan 30° ＝ 1＋ 3 3 1－ 3 3 ＝2＋ 3． 所以 p＝－ 1 3 (tan A＋tan B) ＝－ 1 3 (2＋ 3＋1) ＝－1－ 3． 命题点二 解三角形 命题指数☆☆☆☆☆ 难度中、低 题型选择题、填空题、解答题 1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，c＝2， cos A＝2 3 ，则 b＝( ) A． 2 B． 3 C．2 D．3 解析选 D 由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×2 3 ， 解得 b＝3或 b＝－ 1 3 (舍去)，故选 D． 2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝π 4 ，BC边上的高等于 1 3 BC，则 cos A＝( ) A．3 10 10 B． 10 10 C．－ 10 10 D．－ 3 10 10 解析选 C 法一设△ABC 中角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 则由题意得 S△ABC＝ 1 2 a·1 3 a＝1 2 acsin B，∴c＝ 2 3 a． 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋2 9 a2－2×a× 2 3 a× 2 2 ＝ 5 9 a2，∴b＝ 5 3 a． ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 5 9 a2＋2 9 a2－a2 2× 5 3 a× 2 3 a ＝－ 10 10 ．故选 C． 法二如图，AD为△ABC中 BC边上的高．设 BC＝a，由题意知 AD＝1 3 BC＝1 3 a，B＝π 4 ， 易知 BD＝AD＝1 3 a，DC＝2 3 a． 在 Rt△ABD中，由勾股定理得， AB＝ 1 3 a 2＋ 1 3 a 2＝ 2 3 a． 同理，在 Rt△ACD中，AC＝ 1 3 a 2＋ 2 3 a 2＝ 5 3 a． ∴cos A＝ 5 9 a2＋2 9 a2－a2 2× 5 3 a× 2 3 a ＝－ 10 10 ． 3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC的面积是 1 2 ，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝( ) A．5 B． 5 C．2 D．1 解析选 B 由题意可得 1 2 AB·BC·sin B＝1 2 ，又 AB＝1，BC＝ 2，所以 sin B＝ 2 2 ，所以 B＝45°或 B＝135°．当 B＝45°时，由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1， 此时 AC＝AB＝1，BC＝ 2，易得 A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以 B＝ 135°．由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝ 5． 4．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝4 5 ，cos C ＝ 5 13 ，a＝1，则 b＝________． 解析因为 A，C为△ABC的内角，且 cos A＝4 5 ，cos C＝ 5 13 ， 所以 sin A＝3 5 ，sin C＝12 13 ， 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝3 5 × 5 13 ＋ 4 5 × 12 13 ＝ 63 65 ． 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝asin B sin A ＝ 63 65 × 5 3 ＝ 21 13 ． 答案 21 13 5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点．从 A点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测 得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，则山高MN＝________m． 解析在△ABC 中，AC＝100 2 m，在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，由 正弦定理得 MA sin 60° ＝ AC sin 45° ，解得 MA＝100 3 m，在△MNA 中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为 150 m． 答案 150 6．(2016·全国乙卷)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B ＋bcos A)＝c． (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC的面积为 3 3 2 ，求△ABC的周长． 解(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故 2sin Ccos C＝sin C． 可得 cos C＝1 2 ，所以 C＝π 3 ． (2)由已知得 1 2 absin C＝3 3 2 ． 又 C＝π 3 ，所以 ab＝6． 由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7， 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25． 所以△ABC的周长为 5＋ 7． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是 BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的 2倍． (1)求sin B sin C ； (2)若 AD＝1，DC＝ 2 2 ，求 BD和 AC的长． 解(1)S△ABD＝ 1 2 AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝ 1 2 AC·ADsin∠CAD． 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC． 由正弦定理，得 sin B sin C ＝ AC AB ＝ 1 2 ． (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2． 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC． 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6． 由(1)，知 AB＝2AC，所以 AC＝1． 命题点三 三角函数与解三角形的综合问题 命题指数☆☆☆☆ 难度高、中 题型解答题 1．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcos C＋ csinB． (1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC面积的最大值． 解(1)由已知及正弦定理得， sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又 A＝π－(B＋C)， 故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B． 又 B∈(0，π)，所以 B＝π 4 ． (2)△ABC的面积 S＝1 2 acsin B＝ 2 4 ac． 由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－2accosπ 4 ． 又 a2＋c2≥2ac，故 ac≤ 4 2－ 2 ＝4＋2 2，当且仅当 a＝c时等号成立． 因此△ABC面积的最大值为 2 4 (4＋2 2)＝ 2＋1． 2．(2015·山东高考)设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π 4 ． (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 f A 2 ＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值． 解(1)由题意知 f(x)＝sin 2x 2 － 1＋cos 2x＋π 2 2 ＝ sin 2x 2 － 1－sin 2x 2 ＝sin 2x－1 2 ． 由－ π 2 ＋2kπ≤2x≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 可得－ π 4 ＋kπ≤x≤π 4 ＋kπ，k∈Z； 由 π 2 ＋2kπ≤2x≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 可得 π 4 ＋kπ≤x≤3π 4 ＋kπ，k∈Z． 所以 f(x)的单调递增区间是 － π 4 ＋kπ，π 4 ＋kπ (k∈Z)； 单调递减区间是 π 4 ＋kπ，3π 4 ＋kπ (k∈Z)． (2)由 f A 2 ＝sin A－1 2 ＝0，得 sin A＝1 2 ， 由题意知 A为锐角，所以 cos A＝ 3 2 ． 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc， 即 bc≤2＋ 3，当且仅当 b＝c时等号成立． 因此 1 2 bcsin A≤2＋ 3 4 ． 所以△ABC面积的最大值为 2＋ 3 4 ．