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- 2021-06-16 发布
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微专题46 多变量表达式的范围——消元法
一、基础知识:
1、消元的目的:若表达式所含变量个数较多,则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取值共同影响),所以如果题目条件能够提供减少变量的方式,则通常利用条件减少变量的个数,从而有利于求表达式的范围(或最值),消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式,进而可构造函数求得值域
2、常见消元的方法:
(1)利用等量关系消元:若题目中出现了变量间的关系(等式),则可利用等式进行消元,在消元的过程中要注意以下几点:
① 要确定主元:主元的选取有这样几个要点:一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数的定义域);二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂)
② 若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。例如选择为主元,且有,则除了满足自身的范围外,还要满足(即解不等式)
(2)换元:常见的换元有两种:
①整体换元:若多元表达式可通过变形,能够将某一个含多变量的式子视为一个整体,则可通过换元转为一元表达式,常见的如等,例如在中,可变形为,设,则将问题转化为求的值域问题
注:在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围,即要确定新元的范围
②三角换元:已知条件为关于的二次等式时,可联想到三角公式,从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同,所以在有些题目中可巧妙的解决问题,常见的三角换元有:
平方和:联想到正余弦平方和等于1,从而有:
推广:
平方差:联想到正割() 与正切()的平方差为1,则有
,
推广:
注:若有限定范围时,要注意对取值的影响,一般地,若的取值范围仅仅以象限为界,则可用对应象限角的取值刻画的范围
3、消元后一元表达式的范围求法:
(1)函数的值域——通过常见函数,或者利用导数分析函数的单调性,求得函数值域
(2)均值不等式:若表达式可构造出具备使用均值不等式(等)的条件,则可利用均值不等式快速得到最值。
(3)三角函数:
① 形如的形式:则可利用公式转化为的形式解得值域(或最值)
② 形如:则可通过换元将其转化为传统函数进行求解
③ 形如:,可联想到此式为点和定点连线的斜率,其中为单位圆上的点,通过数形结合即可解得分式范围
二、典型例题:
例1:设实数满足,则的取值范围是__________
思路:考虑可用进行表示,进而得到关于的函数,再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围,再求出函数值域即可
解:
由及(*)可得:,
解得:
小炼有话说:(*)为均值不等式的变形:
例2:已知函数,对任意的,存在,使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:由已知,可得:,考虑进行代入消元,但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母,形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁,分别表示,进而将变为关于的表达式再求最值。
解:令
,设
可得且为增函数
在单调递减,在单调递增
答案:D
例3:设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为
思路:首先要通过取得最小值,得到之间的关系,然后将所求表达式进行消元,再求最值即可。
解: ①
等号成立条件为:,代入到①可得:
的最大值为2
例4:已知,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
思路:所求表达式为,考虑消元,由已知可得,从而,达到消元效果,所求表达式为,进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围,由可得,即,所以,所以当时,
答案:A
小炼有话说:(1)本题处理的关键在于选择作为核心变量,这是因为在条件中可得到,从而可用表示,使得消元变得可能
(2)在处理的最值时,也许会想到均值不等式:
,但看一下等号成立条件:并不满足,故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。
例5:已知,则的最大值为________
解: 设
,其中
可知当时,
答案:
例6:若实数满足条件,则的取值范围是_________
思路一:考虑所求式子中可变为,所以原式变形为:,可视为关于的二次函数,设,其几何含义为与连线的斜率,则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率,即,则
思路二:本题也可以考虑利用三角换元。设,从而原式转化为:,由可知的范围为
答案:
例7:已知函数有两个极值点,且,则
的取值范围是________
解:
为方程的两个根
代入 可得:
设
设
在单调递减
即
答案:
例8:对于,当非零实数满足且使最大时,的最小值是________
思路:首先要寻找当最大时,之间的关系,以便于求多元表达式的范围
从方程入手,向靠拢进行变形,在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。
解:由可得:
(等号成立条件:
最大值是,从而可得:
解得:
答案:的最小值为
例9:已知函数,其中且
(1)若,求函数的极值
(2)已知,设为的导函数,若存在使得成立,求的取值范围
解:(1)由已知可得:
令,即解不等式
解得:或
的单调区间为:
的极大值为 的极小值为
(2)由已知可得:
即
设
可得当时,恒成立
在单调递增
,即
例10:已知函数,其中
(1)求的单调区间
(2)若,且存在实数,使得对任意实数,恒有
成立,求的最大值
解:(1)
当时, 在单调递增
当时,在单调递增,单调递减
(2)
思路:恒成立的不等式为:,即,设,可得:,从而通过讨论的符号确定的单调性,进而求出的最小值(含的表达式),进而将放缩成单变量表达式,求出的最大值
解:恒成立的不等式为:
设
即
由(1)可得:在单调递减
① 若
则 即在上单调递增
② 若即
则 即在上单调递减
,而
③ 当时,
在单调递减,在上单调递增
单调递减
综上所述:的最大值为