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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版多变量表达式范围——消元法学案

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微专题46 多变量表达式的范围——消元法 一、基础知识:‎ ‎1、消元的目的:若表达式所含变量个数较多,则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取值共同影响),所以如果题目条件能够提供减少变量的方式,则通常利用条件减少变量的个数,从而有利于求表达式的范围(或最值),消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式,进而可构造函数求得值域 ‎2、常见消元的方法:‎ ‎(1)利用等量关系消元:若题目中出现了变量间的关系(等式),则可利用等式进行消元,在消元的过程中要注意以下几点:‎ ‎① 要确定主元:主元的选取有这样几个要点:一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数的定义域);二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂)‎ ‎② 若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。例如选择为主元,且有,则除了满足自身的范围外,还要满足(即解不等式)‎ ‎(2)换元:常见的换元有两种:‎ ‎①整体换元:若多元表达式可通过变形,能够将某一个含多变量的式子视为一个整体,则可通过换元转为一元表达式,常见的如等,例如在中,可变形为,设,则将问题转化为求的值域问题 注:在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围,即要确定新元的范围 ‎②三角换元:已知条件为关于的二次等式时,可联想到三角公式,从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同,所以在有些题目中可巧妙的解决问题,常见的三角换元有:‎ 平方和:联想到正余弦平方和等于1,从而有:‎ 推广:‎ 平方差:联想到正割() 与正切()的平方差为1,则有 ‎,‎ 推广:‎ 注:若有限定范围时,要注意对取值的影响,一般地,若的取值范围仅仅以象限为界,则可用对应象限角的取值刻画的范围 ‎3、消元后一元表达式的范围求法:‎ ‎(1)函数的值域——通过常见函数,或者利用导数分析函数的单调性,求得函数值域 ‎(2)均值不等式:若表达式可构造出具备使用均值不等式(等)的条件,则可利用均值不等式快速得到最值。‎ ‎(3)三角函数:‎ ‎① 形如的形式:则可利用公式转化为的形式解得值域(或最值)‎ ‎② 形如:则可通过换元将其转化为传统函数进行求解 ‎③ 形如:,可联想到此式为点和定点连线的斜率,其中为单位圆上的点,通过数形结合即可解得分式范围 二、典型例题:‎ 例1:设实数满足,则的取值范围是__________‎ 思路:考虑可用进行表示,进而得到关于的函数,再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围,再求出函数值域即可 解: ‎ 由及(*)可得:,‎ 解得: ‎ ‎ ‎ 小炼有话说:(*)为均值不等式的变形:‎ ‎ ‎ 例2:已知函数,对任意的,存在,使得,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由已知,可得:,考虑进行代入消元,但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母,形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁,分别表示,进而将变为关于的表达式再求最值。‎ 解:令 ‎ ‎,设 可得且为增函数 ‎ ‎ 在单调递减,在单调递增 答案:D 例3:设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为 ‎ 思路:首先要通过取得最小值,得到之间的关系,然后将所求表达式进行消元,再求最值即可。‎ 解: ①‎ 等号成立条件为:,代入到①可得:‎ ‎ ‎ 的最大值为2‎ 例4:已知,且,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:所求表达式为,考虑消元,由已知可得,从而,达到消元效果,所求表达式为,进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围,由可得,即,所以,所以当时,‎ 答案:A 小炼有话说:(1)本题处理的关键在于选择作为核心变量,这是因为在条件中可得到,从而可用表示,使得消元变得可能 ‎(2)在处理的最值时,也许会想到均值不等式:‎ ‎,但看一下等号成立条件:并不满足,故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。‎ 例5:已知,则的最大值为________‎ 解: 设 ‎ ,其中 ‎ 可知当时,‎ 答案: ‎ 例6:若实数满足条件,则的取值范围是_________‎ 思路一:考虑所求式子中可变为,所以原式变形为:,可视为关于的二次函数,设,其几何含义为与连线的斜率,则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率,即,则 思路二:本题也可以考虑利用三角换元。设,从而原式转化为:,由可知的范围为 答案:‎ 例7:已知函数有两个极值点,且,则 的取值范围是________‎ 解: ‎ 为方程的两个根 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入 可得: ‎ 设 ‎ 设 ‎ 在单调递减 ‎ ‎ 即 答案: ‎ 例8:对于,当非零实数满足且使最大时,的最小值是________‎ 思路:首先要寻找当最大时,之间的关系,以便于求多元表达式的范围 从方程入手,向靠拢进行变形,在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。‎ 解:由可得:‎ ‎ ‎ ‎(等号成立条件:‎ ‎ 最大值是,从而可得:‎ 解得:‎ 答案:的最小值为 例9:已知函数,其中且 ‎(1)若,求函数的极值 ‎(2)已知,设为的导函数,若存在使得成立,求的取值范围 解:(1)由已知可得: ‎ ‎ ‎ 令,即解不等式 ‎ 解得:或 ‎ 的单调区间为:‎ 的极大值为 的极小值为 ‎ ‎(2)由已知可得:‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 可得当时,恒成立 在单调递增 ‎,即 ‎ 例10:已知函数,其中 ‎(1)求的单调区间 ‎(2)若,且存在实数,使得对任意实数,恒有 成立,求的最大值 解:(1)‎ 当时, 在单调递增 当时,在单调递增,单调递减 ‎(2)‎ 思路:恒成立的不等式为:,即,设,可得:,从而通过讨论的符号确定的单调性,进而求出的最小值(含的表达式),进而将放缩成单变量表达式,求出的最大值 解:恒成立的不等式为:‎ ‎ ‎ 设 即 由(1)可得:在单调递减 ‎ ‎ ‎① 若 则 即在上单调递增 ‎ ‎ ‎② 若即 则 即在上单调递减 ‎,而 ‎③ 当时,‎ 在单调递减,在上单调递增 ‎ ‎ 单调递减 ‎ 综上所述:的最大值为

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